Bonjour,

La mécanique

équations horaires

Bonjour.

Déjà il faut savoir ce qu'est une équation horaire :
Un référentiel, c'est l'association d'un repère et d'une horloge. Le repère permet de connaître la position de l'objet, et l'horloge permet de connaître l'évolution temporelle de cette position. Dans la plupart des cas (probablement dans 100% des cas en terminale), le repère est simplement un repère cartésien, avec les trois coordonnées que l'on connaît : l'abscisse x, l'ordonnée y, la cote z. À chaque instant, le système que l'on étudie se trouve à un point M qui a pour coordonnée (x,y,z). Or, a priori, la position de M dépend du temps. Par exemple, si mon système est une balle de ping pong qui tombe en chute libre, on se doute bien que la position va varier, et donc les coordonnées varient.
Il est donc plus correct de noter M(t) au lieu de M seulement, pour bien montrer que la position de M dépend du temps.
Les coordonnées de M(t) sont donc (x(t), y(t), z(t)). Les expressions x(t), y(t) et z(t) sont justement ce qu'on appelle les équations horaires du mouvement.

Par exemple, si je sais que M(t) a pour coordonnées à tout instant : (2t,t²,6), alors les équations horaires sont :
x(t)=2t
y(t)=t²
z(t)=6

Intéressons-nous maintenant au vecteur position. On vient de dire que l'on repère la position de notre système grâce à un point M qui a pour coordonnées (x,y,z). On définit alors le vecteur position comme étant le vecteur ayant pour origine O (l'origine du repère) et pour extrémité le point M, c'est donc le vecteur .
Le vecteur est construit de telle sorte qu'il ait pour coordonnées à chaque instant : (x,y,z).
Donc déterminer le vecteur position , c'est connaître les équations horaires.

Mais parfois (souvent), on ne connaît pas , mais seulement sa vitesse. Les années précédentes, on s'intéressait à la vitesse moyenne, et on utilisait donc simplement l'équation : v=d/t.
En terminale, c'est la vitesse instantanée à l'instant t qui compte. Elle est définie comme étant la vitesse moyenne entre les instants t et t+dt (dt représente une variation infinitésimale de temps). Donc :
vitesse à l'instant t = (distance parcourue entre les instants t et (t+dt) ) / (temps qui s'est écoulé entre t et (t+dt) )
À l'instant t, on se trouve au point M(t). À l'instant (t+dt), on se trouve au point M(t+dt).
D'où la distance parcourue entre les instants t et t+dt qui vaut : d=M(t)M(t+dt)
Vectoriellement, cela s'écrit : , qui représente le vecteur d'origine M(t) et d'extrémité M(t+dt).
Le temps qui s'est écoulé entre t et t+dt est tout simplement : t+dt-t = dt.
D'où la vitesse qui vaut : v(t)=M(t)M(t+dt)/dt
Vectoriellement, cela s'écrit :
Or (c'est la relation de Chasles)
D'où :
On reconnaît la limite du taux d'accroissement, donc lorsque dt0 :
.
est donc la dérivée du vecteur à l'instant t.
Or on sait que le vecteur a pour coordonnées (x(t),y(t),z(t)).
Donc le vecteur a pour coordonnées à l'instant t : (x'(t), y'(t), z'(t)).
Remarquons qu'on se permet de dériver les coordonner, car celles-ci sont vues comme des fonctions du temps, et non pas des simples réel (car on dérive toujours une fonction, et dériver un réel n'a pas de sens).

Par conséquent, s'il l'on connaît la vitesse, alors on connaît l'équation horaire à une dérivation près. Il faudra donc intégrer les coordonnées du vecteur vitesse pour déterminer les équations horaires, d'où l'importance de ne pas sécher les cours de maths !

Intéressons-nous maintenant au vecteur accélération : .
En fait, l'accélération joue exactement le même rôle pour la vitesse que le rôle joué par la vitesse pour la position, c'est-à-dire :
.
Donc, les coordonnées du vecteur accélération sont : (x''(t), y''(t), z''(t)). Il faut donc intégrer deux fois ces coordonnées pour retrouver l'équation horaire du mouvement.

Alors pourquoi s'intéresse-t-on au vecteur accélération ? Tout simplement parce qu'il intervient dans le principe fondamental de la dynamique, ou seconde loi de Newton :
En notant la somme de toutes les forces appliquées à un système de masse m et d'accélération :


D'où le schéma classique pour déterminer l'équation horaire :
*Faire l'inventaire des forces appliquées au système
*Appliquer la seconde loi de Newton pour en déduire le vecteur accélération
*Intégrer deux fois les coordonnées du vecteur accélération pour retomber sur les équations horaires
*Lorsque l'on intègre, des constantes apparaissent. On utilise alors les conditions initiales pour les déterminer.

Merci beaucoup !! Ça m'a beaucoup éclairé !