Fiche de physique - chimie
> >

MOUVEMENT DANS UN CHAMP DE GRAVITATION

Partager :


I. Rappels : notions fondamentales

1. Choix du référentiel d'étude et mouvement circulaire


* Pour revoir ces notions, il est recommandé de prendre le temps de réviser la fiche suivanteI et IV):

fiches Décrire un mouvement

2. Loi de gravitation universelle


Loi de gravitation universelle énoncée par Newton
Deux objets ponctuels T et S, de masses M_T et m_s, s'attirent avec des forces opposées dont la valeur est proportionnelle aux masses de T et S et inversement proportionnelles au carré de la distance qui sépare T et S (voir le schéma ci-après):

\boxed{\overrightarrow{F}_{_{T/S}} = -G \dfrac{M_T\times m_{s}}{d^2}\overrightarrow{n}}

* Pour plus de détails, il est conseillé de réviser la fiche suivante :

fiches La gravitation universelle


II. Mouvement d'un satellite soumis au champ de gravitation terrestre


* Considérons l'étude du mouvement d'un satellite en mouvement autour de la Terre ;
Système : un satellite de masse m_s et de centre d'inertie S.
Référentiel : géocentrique, référentiel supposé galiléen.
Bilan des forces : la force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur le satellite.

* Schéma de la situation : on représente la force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur le satellite

Mouvement dans un champ de gravitation : image 5

III. Les lois de Kepler

* Considérons désormais l'étude d'une mouvement d'une planète quelconque autour du Soleil :
Système : planète quelconque.
Référentiel : héliocentrique (= référentiel de Kepler).
Bilan des forces : la force d'attraction gravitationnelle exercée par le Soleil sur cette planète.

1ère loi de Kepler (LOI DES TRAJECTOIRES)


1ère loi de Kepler (loi des trajectoires)
Dans le référentiel héliocentrique, les planètes décrivent des ellipses dont le centre S du Soleil est l'un des foyers.

Mouvement dans un champ de gravitation : image 6

2ème loi de Kepler (LOI DES AIRES)


2ème loi de Kepler (loi des aires)
Pendant une durée \Delta t, le rayon qui joint le centre S du Soleil au centre de la planète balaie une aire \Delta A constante quelle que soit la position de la planète sur son orbite.

\dfrac{\Delta A}{\Delta t} dépend de la planète considérée.

Mouvement dans un champ de gravitation : image 3


\boxed{A_1 = A_2 = A_3}

3ème loi de Kepler (LOI DES PERIODES)


3ème loi de Kepler (loi des périodes)
Le rapport entre le carré de la période de révolution T et le cube du demi grand axe a est le même :

\boxed{\dfrac{T^2}{a^3} = K}

avec :
T : période de révolution de la planète (en s) ;
a : demi-grand axe de l'ellipse (en m) ;
K : constante qui dépend de l'astre autour duquel la planète est en mouvement.

Démonstration (dans le cas d'un mouvement circulaire uniforme)

On considère une planète de masse m en mouvement circulaire uniforme autour du Soleil de masse M_S. La distance entre le Soleil et la planète vaut r.

* Système : planète de masse m.

* Référentiel : héliocentrique, référentiel supposé galiléen.

* Bilan des forces : force d'attraction gravitationnelle exercée par le Soleil sur la planète étudiée, de valeur

Mouvement dans un champ de gravitation : image 7

* On se place dans un repère de Frenet (repère mobile), on a :

\overrightarrow{a} = \dfrac{v^2}{r}\overrightarrow{N} + \dfrac{dv}{dt}\overrightarrow{T}

Ici, la vitesse est constante donc \overrightarrow{a} = \dfrac{v^2}{r}\overrightarrow{N}

* Appliquons la deuxième loi de Newton :

\overrightarrow{F}_{_{S/P}} = m \overrightarrow{a}

Or \overrightarrow{F}_{_{S/P}} = G\times\dfrac{m\times M_S}{r^2}\overrightarrow{N} et \overrightarrow{a} = \dfrac{v^2}{r}\overrightarrow{N}

On a donc G\times\dfrac{m \times M_S}{r^2}\overrightarrow{N} = m\dfrac{v^2}{r}\overrightarrow{N}

Ce qui équivaut à \boxed{v^2 = \dfrac{G \times M_S}{r}}

* Exprimons désormais sa période de révolution T en fonction de v et r.

Par définition de la vitesse v = \dfrac{d}{t}, on trouve v = \dfrac{2 \pi . r}{T} (en effet, d = périmètre du cercle de rayon r)

En élevant au carré, on obtient \boxed{v^2 = \dfrac{4\pi^2 . r^2}{T^2}}

En égalisant les deux relations que l'on vient de trouver, \dfrac{4\pi^2 . r^2}{T^2} = \dfrac{G\times M_S}{r}

En simplifiant, on trouve :

\boxed{\dfrac{T^2}{r^3} = \dfrac{4\pi^2}{G \times M_S}}

Remarque : les lois de Kepler sont aussi applicables aux mouvements des satellites de la Terre étudiés dans le référentiel géocentrique.

Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter
Merci à
gbm Webmaster
/
Skops
pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche


Mentions légales - Retrouvez cette page sur l'île de la physique - chimie
© digiSchool 2021

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 236 fiches de physique

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !