Cette fiche précise les lois de la mécanique de Newton, déjà introduites en classe de 2nde et de 1ère,
et présente leur application à l'étude de l'équilibre ou du mouvement d'un système soumis des forces.
1. Centre de masse (ou d'inertie) & centre de gravité
* Les lois de la mécanique privilégient certains points lors de l'étude du mouvement.
Ces points ont en général une trajectoire plus simple que celle des autres points formant le système.
Centre de masse
Pour un système homogène (= masse volumique constante) ou qui possède une symétrie centrale, il correspond au centre géométrique :
par exemple, le centre de masse d'une plaque métallique (homogène) de forme carrée est le centre du carré.
On parle aussi de centre d'inertie pour désigner ce point.
Centre de gravité
Le centre de gravité est défini comme le point du système où s'applique la résultante des forces de gravitation (c'est-à-dire son poids).
Il est souvent noté G.
*Remarque: au lycée, le centre de gravité et le centre de masse (ou centre d'inertie) des systèmes étudiés sont supposés confondus :
c'est la raison pour laquelle on utilise les 3 termes indistinctement.
2. Système isolé & système pseudo-isolé
Système isolé
Un système physique est isolé s'il n'est soumis à aucune force.
Système pseudo-isolé
Un système physique est pseudo-isolé s'il est soumis à des forces qui se compensent,
c'est-à-dire à des forces dont la somme (vectorielle) est nulle.
II. Les lois de Newton
1. Première loi de Newton (ou principe d'inertie)
1ère loi de Newton (principe d'inertie)
Il existe des référentiels, dits galiléens, dans lesquels le centre d'inertie G d'un système isolé ou pseudo-isolé
a un vecteur vitesse constant.
*Conséquences :
si , G est immobile et le reste.
si , G est animé d'un mouvement rectiligne et uniforme.
* On admettra que :
le référentiel héliocentrique peut être considéré comme galiléen
pour étudier les mouvements ayant lieu dans le système solaire ;
le référentiel géocentrique peut être considéré comme galiléen
pour les mouvements de satellites autour de la Terre ;
le référentiel terrestre peut être considéré comme galiléen
pour les mouvements à proximité de la surface terrestre si la durée du mouvement est très inférieure à 24h.
* D'autre part, on démontre qu'un référentiel en translation uniforme par rapport à un référentiel galiléen, est aussi galiléen.
* Les référentiels (fortement) accélérés ou en rotation (par rapport à un référentiel galiléen) ne sont pas galiléens :
par exemple le référentiel lié à un manège ou à un véhicule qui freine.
2. Deuxième loi de Newton (ou principe fondamental de la dynamique)
2ème loi de Newton (principe fondamental de la dynamique)
Dans un référentiel galiléen, la somme des forces extérieures appliquée à un système de masse constante,
est égale au produit de cette masse et du vecteur accélération du centre d'inertie G du système.
3. Troisième loi de Newton (ou principe des actions réciproques)
3ème loi de Newton (principe des actions réciproques)
Quand un corps A exerce sur un corps B une force , simultanément B exerce sur A la force
opposée à .
*Remarque : et ont la même droite d'action
et .
Les vecteurs et ont donc :
même direction ;
même valeur ;
mais un sens contraire.
III. Étude de l'équilibre des corps (statique)
* La première application des lois de Newton est la statique des corps, c'est-à-dire l'étude de l'équilibre des corps.
1. Condition d'équilibre
* Dans un référentiel galiléen, le principe d'inertie stipule qu'un système immobile reste immobile tant que les forces se compensent.
* On en déduit une condition d'équilibre d'un système :
*Remarques :
Cette condition est suffisante pour un point matériel, mais pour un solide il y a une deuxième condition pour maintenir l'équilibre (hors programme).
Un système soumis à une seule force ne peut donc pas être à l'équilibre !
ATTENTION ! Si un corps est déjà lancé à une certaine vitesse , il gardera cette vitesse tant que les forces se compensent (en vertu du principe d'inertie) !
2. Application
a. Enoncé
* Une caisse est posée sur un plan incliné :
1) Si le sol est très glissant, les forces de frottements sont négligeables.
Faire le bilan des forces exercées sur la caisse et montrer qu'elle ne peut pas rester en équilibre.
2) On suppose maintenant que le sol n'est pas glissant. Calculer la force de frottement nécessaire à maintenir la caisse en équilibre sur le plan incliné.
* Le référentiel d'étude est le référentiel terrestre supposé galiléen et muni du repère cartésien .
*Données :
masse de la caisse : ;
inclinaison de la pente : ;
accélération de la pesanteur : .
b. Solution
Corrige-toi !
* Le système étudié est la caisse.
1) En l'absence de frottement, la caisse est soumise à deux forces :
son poids , vertical dirigé vers le bas ;
la réaction normale du plan incliné, dirigée vers le haut (voir figure ci-dessous).
Ces deux forces n'ayant pas la même direction, elles ne peuvent pas se compenser () :
la condition d'équilibre n'étant pas respecté, la caisse ne peut rester au repos et va dévaler la pente.
2) S'il y a frottement, la caisse est soumise à 3 forces :
son poids ;
la réaction normale du plan incliné ;
et la force de frottement , qui retient la caisse (voir figure ci-dessous).
* Pour maintenir la caisse en équilibre il faut que ces 3 forces se compensent, c'est-à-dire que leur somme soit nulle :
*Calcul de la force de frottement
Il faut projeter la relation précédente sur l'axe (G,x) ce qui permet d'éliminer la réaction .
Sur :
la projection de vaut (car ) ;
la projection de vaut ;
et la projection de est nulle (car la direction de est perpendiculaire à l'axe de projection).
La projection sur de la relation permet donc d'écrire :
Application numérique : .
IV. Dynamique des corps
1. Introduction
* L'application la plus importante des lois de Newton est la dynamique des corps, c'est-à-dire
l'étude du mouvement des corps soumis à des forces.
* En effet, la 2ème loi de Newton relie l'accélération du centre d'inertie d'un système à
la résultante des forces appliquées, ce qui permet deux grands types de raisonnement :
Connaissant les forces, on en déduit l'accélération, et il est alors possible de déterminer les équations horaires du mouvement,
par intégrations successives (si on précise les conditions initiales).
Inversement, connaissant la trajectoire et la vitesse, il est alors possible de déduire des informations sur l'accélération
puis sur les forces.
2. Méthode de résolution d'un problème en dynamique
Démarche à suivre
Lorsqu'on aborde un problème de mécanique il est primordial de suivre systématiquement la démarche qui suit :
1) Faire un croquis de la situation.
2) Définir le système d'étude : "le système étudié est ... de masse ... et de centre d'inertie ...".
3) Choisir un référentiel et définir un repère d'étude (le représenter sur le croquis).
4) Faire le bilan des forces appliquées au système et les représenter sur le croquis.
5) Appliquer la 2ème loi de Newton pour trouver la relation entre l'accélération du mobile et la résultante
des forces appliquées au système.
6)Projeter cette relation (vectorielle) sur un ou plusieurs axes afin d'obtenir les équations du mouvement.
7a) Si les forces sont connues : intégrer les composantes de l'accélération (ax, ay),
puis celles de la vitesse (vx, vy) pour obtenir les lois horaires du mouvement (x(t) et y(t))
en exploitant les conditions initiales (voir § IV.3).
7b) Si l'accélération est connue, il est alors possible d'en déduire des informations sur les forces (voir § IV.4).
*Remarques :
Très souvent l'énoncé donne déjà des éléments de réponse (par exemple le repère d'étude) ;
Il faut exploiter les informations connues pour simplifier l'étude. Par exemple :
si le mouvement est rectiligne, la direction de la vitesse et celle de l'accélération sont connues,
si le mouvement est circulaire uniforme, l'expression de l'accélération est connue (dans le repère de Frenet).
Si toutes les forces sont connues, le mouvement est complètement déterminé dès lors que les conditions initiales sont précisées.
Si une force est inconnue (réaction du sol par exemple) il est possible malgré tout de projeter sur un axe perpendiculaire
à cette force, ce qui l'élimine lors de la projection.
3. Etude du mouvement d'une luge
a. Enoncé
* Jean fait faire de la luge à son frère Paul sur un sol horizontal.
Il tire sur la ficelle avec une force de :
* On souhaite étudier le mouvement du système formé par la luge et Paul, qu'on assimilera à son centre d'inertie , de masse totale .
* On négligera par ailleurs les frottements (dus à la neige et à l'air).
1) Quel référentiel galiléen peut-on choisir pour étudier le mouvement de la luge ? Justifier.
2) Faire le bilan des forces appliquées au système.
3) Exprimer le vecteur accélération du point dans repère cartésien
en fonction de , et , en appliquant la 2ème loi de Newton.
4) Etablir l'équation horaire du mouvement, sachant qu'à l'instant , la luge (c'est-à-dire le point )
est au repos en et Jean commence à tirer.
5) Quelle est la position de à l'instant ? Sa vitesse ?
*Données :
masse du système {luge + enfant} : ;
angle de la ficelle avec l'axe horizontal : (noté sur les figures) ;
intensité de la pesanteur : .
b. Solution
Corrige-toi !
1) le mouvement étudié a lieu à la surface de la terre et dure bien moins de 24h : on peut donc choisir le référentiel terrestre
et le supposer galiléen.
2) le système est soumis à 3 forces (voir figure ci-dessous) :
son poids ;
la réaction normale du sol ;
et la force exercée par Jean ;
Remarque : on peut représenter toutes les forces en car le système est assimilé à un point matériel.
3) D'après la 2ème loi de Newton, nous avons la relation suivante :
où est le vecteur accélération de .
Nous savons par ailleurs que suit une trajectoire rectiligne selon l'axe .
Son accélération est donc dirigée selon (propriété du mouvement rectiligne) et nous en déduisons que est nul.
Il reste à calculer en projettant les forces sur l'axe :
(voir figure) :
la projection de vaut ;
et la projection de et de est nulle
(car les directions de ces vecteurs sont perpendiculaires à l'axe de projection)
La projection sur de la relation permet donc d'écrire :
L'expression de l'accélération est donc :
Corrige-toi ! (suite)
4) Pour trouver les lois horaires, c'est-à-dire l'expression des coordonnées de ,
on peut tout d'abord remarquer que puisque a une trajectoire rectiligne selon .
Pour calculer , il faut partir de l'expression de l'accélération :
Une première intégration par rapport à t donne:
où C1 est une constante déterminée par la vitesse initiale de (à ) qui est nulle : on en déduit que
et finalement :
Une seconde intégration nous donne alors :
où est une constante déterminée par la position initiale de
(à ) qui est aussi nulle (car est en ) : on en déduit que
et finalement :
Les équations horaires du mouvements sont donc :
G:
| |
5) A l'instant ,
et .
4. Calcul d'une force de frottement
a. Enoncé
* On considère une moto qui freine sur une distance d puis s'arrête. La moto est assimilé à un point matériel de masse
et son mouvement est supposé uniformément varié, d'accélération .
* Pour l'étude on utilisera un repère tel que la moto se deplace sur l'axe des abscisses dans le sens des croissants :
A l'instant la moto passe en avec la vitesse et commence à freiner.
1) Quelle est l'équation horaire du mouvement de la moto ? et l'expression de sa vitesse ?
2) La moto parcourt une distance d avant de s'immobiliser : en déduire une relation entre , et .
Que vaut ?
3) Quelle est l'expression du vecteur accélération dans le repère 4) Faire le bilan des forces qui s'appliquent sur la moto durant le freinage. On supposera que la moto subit
une force de frottement constante opposée à sa vitesse.
5) En appliquant la 2ème loi de Newton, calculer la valeur de .
*Données masse de la moto : ;
distance de freinage : ;
vitesse initiale : .
b. Solution
Corrige-toi !
1) Le mouvement de la moto est rectiligne uniformément varié selon et on sait que : .
En intégrant une première fois par rapport au temps on trouve :
où est la vitesse initiale de la moto.
En intégrant une seconde fois on obtient :
où est la position initiale de la moto qui vaut
car la moto est en à .
On obtient finalement l'équation horaire du mouvement : .
2) Soit la date à laquelle la moto s'immobilise. On peut alors écrire :
et
ce qui nous fournit les deux égalités :
et
on en déduit que et en reportant dans l'autre égalité :
ou encore
.
3) Le vecteur accélération a pour expression : .
4) La moto est soumise à 3 forces (voir figure ci-dessous) :
son poids ;
la réaction normale du sol ;
et la force de frottement .
5) D'après la 2ème loi de Newton, nous avons la relation suivante :
où est le vecteur accélération de .
Si nous projettons cette relation sur l'axe , nous obtenons :
(car le poids et la réaction sont perpendiculaires à l'axe de projection).
On en déduit la valeur de :
Corrige-toi ! (suite)
Remarque :
En projettant la relation sur l'axe vertical (orienté positivement vers le haut), on trouve la réaction R.
En effet la projection des forces sur la verticale donne : car l'accélération est dirigée selon .
On en déduit : .
Publié par gbm / relue par gbm
le
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Décrire un mouvement .
, G est immobile et le reste.
, G est animé d'un mouvement rectiligne et uniforme.
et 
ont la même droite d'action
et 
.
Les vecteurs 
et 
ont donc :
, il gardera cette vitesse tant que les forces se compensent (en vertu du principe d'inertie) !
)
.
;
;
.
Corrige-toi !
si le mouvement est rectiligne, la direction de la vitesse et celle de l'accélération sont connues,
de 
:
, de masse totale 
.
)
en fonction de 
, 
, en appliquant la 2ème loi de Newton.
, la luge (c'est-à-dire le point 
et Jean commence à tirer.
? Sa vitesse ?
;
(noté )
.
)
tel que la moto se deplace sur l'axe des abscisses dans le sens des 
croissants :
et commence à freiner.
)
du mouvement de la moto ? et l'expression de sa vitesse )
?
et 
.
Que vaut 
constante opposée à sa vitesse.
.
;
;
.
constant.
du centre d'inertie G du système.
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