Fiche de physique - chimie
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DÉCRIRE UN MOUVEMENT

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Cette fiche précise les notions de base de cinématique déjà introduites en classes de 2nde et de 1ère :
la notion de référentiel (relativité du mouvement) ;
la position, la vitesse et l'accélération d'un point ;
et les caractéristiques de certains mouvements particuliers.

En cas de besoin, on pourra réviser les fiches suivantes :

fiches Relativité du mouvement ;
fiches Mouvement d'un système .

I. Référentiel

Définition
* On appelle référentiel :
un solide de référence par rapport auquel on décrit le mouvement ;
ou encore un ensemble de points immobiles les uns par rapport aux autres.

* Pour définir un référentiel, il faut se donner au minimum quatre points (non coplanaires), l'un servant d'origine et les trois autres définissant trois axes fixes issus de cette origine.

* D'autre part, on suppose qu'un référentiel peut être muni d'horloges, c'est-à-dire de dispositifs servant à mesurer les durées et dater les événements (un chronomètre par exemple).

* Exemples de référentiels :
L'ensemble des objets fixes par rapport à la Terre constitue le référentiel terrestre (exemple : la salle de classe) ;
Référentiel géocentrique : solide imaginaire formé par le centre de la Terre et le centre de 3 étoiles lointaines considérées comme fixes (les 4 points doivent être non coplanaires) ;
Référentiel héliocentrique : solide imaginaire formé par le centre du Soleil et le centre de 3 étoiles lointaines considérées comme fixes (les 4 points doivent être non coplanaires).

* Utilisation des référentiels : on choisit le référentiel de manière à ce que le mouvement soit le plus simple possible. Au lycée, on utilise généralement :
le référentiel terrestre lorsque les mouvements ont lieu à proximité de la surface du globe, par exemple le mouvement de voitures, d'avions, etc. ;
le référentiel géocentrique pour étudier les mouvements de satellites autour de la Terre ;
le référentiel héliocentrique pour étudier les mouvements à l'intérieur du système solaire (mouvement des planètes ou d'une sonde spatiale).

* Remarques :
Parler de mouvement sans préciser le référentiel n'a aucun sens en physique.
Certains énoncés peuvent définir et utiliser un référentiel différent de ceux mentionnés ci-dessus (par exemple le référentiel lié à un train).

II. Cinématique du point

* Dans toute la suite, le système étudié est assimilé à un point matériel, appelé le mobile. Ce point est en général le centre de gravité G du système, ou encore son centre de masse (ou d'inertie), supposé confondu avec G dans les situations traitées au lycée.

* On suppose d'autre part que le système a un mouvement non relativiste c'est-à-dire que sa vitesse reste très inférieure à c environegal 300 000 km/s (vitesse de la lumière dans le vide), ce qui est le cas de tous les systèmes étudiés au lycée.

1. Repérage d'un mobile / vecteur position

* Après avoir défini le système et choisi le référentiel, il faut repérer le mobile dans l'espace et dans le temps.


a. Repérage dans le temps

* On suppose que le temps est absolu, c'est-à-dire qu'il ne dépend pas du référentiel. Le temps est représenté par une variable réelle, notée t, et on procède comme suit :
on choisit un instant précis comme origine des dates, càd que sa date vaut: t = 0. Exemple: l'origine des dates (ou des temps) peut être le moment où une voiture démarre.
on choisit une durée étalon. L'unité S.I de durée est la seconde.
un instant (ou un événement) quelconque est repéré par sa date t. Exemple: la moto croise la voiture à l'instant t = 5 s.
la durée entre deux instants t_1 et t_2 (t_2 > t_1) est par définition : \Delta t = t_{2} - t_{1} : elle s'exprime dans la même unité que t_1 et t_2.


b. Repérage dans l'espace

* L'espace physique étant assimilé à un espace euclidien de dimension 3, on procède comme suit :
on associe un repère au référentiel choisi.
à tout instant t, les coordonnées du point G dans ce repère déterminent la position du mobile.

* En pratique, on attache souvent un repère cartésien orthonormé (O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}) au référentiel d'étude.
A tout instant t, le point G est alors repéré :
par le vecteur position \overrightarrow{OG}, noté \overrightarrow{OG} (x(t), y(t), z(t)) ou encore \overrightarrow{OG} = x(t) \overrightarrow{i} + y(t) \overrightarrow{j}+ z(t)\overrightarrow{k}}
ou par les coordonnées du point G( x(t), y(t), z(t)), comme indiqué sur la figure suivante:

Décrire un mouvement : image 6

* Remarques :
Le mouvement dépend du référentiel, mais pas du repère utilisé (repère cartésien, repère de Frenet ou autre).
En cinématique, les coordonnées d'un point sont en général des fonctions du temps t, par exemple x(t), y(t) et z(t), alors que ce sont des constantes en mathématiques. La variable est le temps t tandis que x est une fonction de t. Toutefois on note souvent x au lieu de x(t) pour alléger l'écriture.
La date d'un événement est une valeur algébrique (elle peut être négative). Une date négative indique seulement que l'événement s'est passé AVANT l'instant t = 0 (origine des dates).
De même les coordonnées d'un point sont des valeurs algébriques, ainsi que les composantes des vecteurs vitesse et accélération que nous allons aborder.
L'espace étant supposé euclidien, tous les théorèmes et résultats vus en cours de mathématiques s'appliquent : théorème de Pythagore, calcul de la distance entre 2 points, etc.
Les notations peuvent varier d'un énoncé à l'autre : le point G devient alors M, le repère devient (O,\vec u_x,\vec u_y, \vec u_z), etc. Il faudra alors transposer les relations en conséquence.


c. Cas des mouvements plan ou rectilignes

* Dans le cas d'un mouvement plan, on peut repérer un point avec deux coordonnées (notées souvent x et y) et le repère cartésien se réduit par exemple à (O, \vec{i}, \vec{j}), ce qui simplifie l'étude.

* Dans le cas d'un mouvement rectiligne, on peut repérer un point avec une seule coordonnée (notée souvent x ou z) et le repère cartésien se réduit à (O, \vec{i}) par exemple (voir figures ci-après).

Décrire un mouvement : image 4


2. Vecteur vitesse instantanée \overrightarrow{v}(t)}

Définition
La vitesse du point G caractérise la variation du vecteur position \overrightarrow{OG} au cours du temps.

a. Détermination expérimentale (rappels de 1ère)
Décrire un mouvement : image 1

Le vecteur vitesse en G_2, à la date t_2, a pour valeur approchée la vitesse moyenne calculée entre G_1 et G_3 :

\boxed{\overrightarrow{v}(t_{2}) \approx \dfrac{\overrightarrow{G_{1}G_{3}}}{(t_{3}-t_{1})} = \dfrac{\overrightarrow{OG}_{3} - \overrightarrow{OG_{1}}}{(t_{3}-t_{1})} = \dfrac{\Delta \overrightarrow{OG}}{\Delta t}}

* Cette valeur approchée du vecteur \overrightarrow{v}(t_{2}) a :
pour origine G_2 ;
pour direction et sens \overrightarrow{G_{1}G_{3}} ;

pour valeur \dfrac{G_{1}G_{3}}{(t_{3}-t_{1})} .


b. Détermination par le calcul

* La vitesse moyenne entre G_1 et G_3 ne permet pas de préciser le mouvement exact du mobile entre G_1 et G_3. L'idée est donc de calculer la vitesse moyenne entre deux point G_1 et G_3 infiniment proches de G_2 de manière à obtenir une valeur qui ne dépend plus du choix de G_1 et de G_3.
Calcul
Si t_3 \longrightarrow t_1, \Delta t \longrightarrow 0 alors G_3 \longrightarrow G_1 et donc \Delta \overrightarrow{OG} \longrightarrow \vec{0}.

\dfrac{\Delta \overrightarrow{OG}}{\Delta t} tend vers une valeur limite qui est la dérivée par rapport au temps t du vecteur position \overrightarrow{OG}, et notée \dfrac{d \overrightarrow{OG}}{dt}.

On pose alors : \overrightarrow{v}(t_{2}) = \left( \dfrac{d\overrightarrow{OG}}{dt}  \right)_{en\; t_{2}} .

Décrire un mouvement : image 2


c. Généralisation

Vitesse instantanée
Le vecteur vitesse instantanée est défini comme la dérivée du vecteur position par rapport au temps :

\overrightarrow{v__G} = \dfrac{d\overrightarrow{OG}}{dt}

* Le vecteur vitesse \vec{v__G} a :
pour origine la position de G à la date t ;
pour direction la tangente en G à la trajectoire ;
pour sens celui du mouvement ;
pour composantes, dans un repère cartésien :
v_{x} = \dot{x} = \dfrac{dx}{dt}

v_{y} = \dot{y} =  \dfrac{dy}{dt}

v_{z} = \dot{z} =  \dfrac{dz}{dt}

pour valeur : v = ||\vec{v}|| =  \sqrt{v^2_{x}+v^2_{y}+v^2_{z}}.

* Remarques :
Lorsqu'il n'y a aucune ambigüité, \vec{v__G} est simplement noté \vec{v}.
\dot{x} (prononcer "x point") et \dfrac{dx}{dt} sont deux notations de la même chose : la dérivée de x(t) par rapport à t, notée x'(t) en mathématiques.
Dans le cas d'un mouvement plan, on peut choisir un repère cartésien de telle manière que ces expressions se simplifient (voir figure) : \vec{v__G} = v_{x} \overrightarrow{i} + v_{y} \overrightarrow{j} et v = \sqrt{v^2_{x}+v^2_{y}}.
De même pour un mouvement rectiligne : on peut choisir un repère cartésien de telle manière que : \vec{v__G} = v_{x} \overrightarrow{i} et v = \sqrt{v^2_{x}} = |v_{x}|.

* ATTENTION !
Il ne faut pas confondre le vecteur vitesse \vec{v} (avec une flèche !) et sa valeur v = ||\vec{v}|| (qui est un nombre positif).

3. Vecteur accélération instantanée \overrightarrow{a}(t)

Définition
L'accélération du point mobile G caractérise la variation du vecteur vitesse de G au cours du temps.

a. Détermination expérimentale (rappel de 1ère)

Décrire un mouvement : image 7

Définition
Le vecteur accélération en G_2, à la date t_2, a pour valeur approchée l'accélération moyenne calculée entre G_1 et G_3 :

\boxed{\vec{a}(t_{2}) \approx \dfrac{\vec{v}(t_{3}) - \vec{v}(t_{1})}{(t_{3}-t_{1})} = \dfrac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}}

* Cette valeur approchée du vecteur \vec{a}(t_{2})} a :
pour origine G2 ;
même direction et sens que le vecteur variation de vitesse: \Delta \vec{v} = \vec{v}(t_3) - \vec{v}(t_1) ;

et pour valeur  \dfrac{\text{ } ||\Delta \vec{v} || }{(t_{3}-t_{1})} .


b. Détermination par le calcul

* L'accélération moyenne entre G_1 et G_3 ne permet pas de déterminer le mouvement exact du mobile entre G_1 et G_3. L'idée est donc de calculer l'accélération moyenne entre deux point G_1 et G_3 infiniment proches de G_2 de manière à obtenir une valeur qui ne dépend plus du choix de G_1 et de G_3.
Calcul
Si t_3 \longrightarrow t_1, \Delta t \longrightarrow 0 alors \vec{v}(t_{3}) \longrightarrow \vec{v}(t_{1}) et donc \Delta \vec{v} \longrightarrow \vec{0}.

\dfrac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} tend vers une valeur limite qui est la dérivée par rapport au temps t du vecteur vitesse \vec{v}, notée \dfrac{d \vec{v}}{dt}.

On pose alors : \vec{a}(t_{2}) = \left(\dfrac{d\vec{v}}{dt}\right)_{en\;t_{2}}.


c. Généralisation

Accélération instantanée
Le vecteur accélération instantanée est défini comme la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps :

\overrightarrow{a__G} = \dfrac{d \vec{v__G}}{dt}

* Le vecteur accélération \overrightarrow{a__G} a :
pour origine la position de G à la date t
pour composantes, dans un repère cartésien :
a_{x} = \dfrac{d V_x}{dt } = \ddot{x} = \dfrac{d^2x}{dt^2 }
a_{y} = \dfrac{d V_y}{dt } = \ddot{y} =  \dfrac{d^2y}{dt^2}
a_{z} = \dfrac{d V_z}{dt } = \ddot{z} =  \dfrac{dz^2}{dt^2}

pour valeur : a = || \overrightarrow{a__G} || =  \sqrt{a^2_{x}+a^2_{y}+a^2_{z}}.

* Remarques :
la direction et le sens du vecteur accélération ne sont pas aussi simples à déterminer que dans le cas de la vitesse, sauf dans certains cas simples que nous allons voir.
a_{x} = \dfrac{d V_x}{dt } donc a_{x} est la dérivée de  V_x(t) par rapport au temps, et comme V_x(t) = \dfrac{dx}{dt} on peut aussi écrire : a_{x} = \dfrac{d^2x}{dt^2 } c'est-à-dire la dérivée seconde de x(t), notée x''(t) en mathématiques.

* ATTENTION !

\boxed{\vec{a} = \dfrac{d \vec{v}}{dt} } (relation entre vecteurs) mais en module, a \ne \dfrac{dv}{dt} (sauf cas particulier).


d. Récapitulatif des grandeurs cinématiques

* La figure suivante regroupe les grandeurs cinématiques qui caractérisent le mouvement d'un mobile G à tout instant  t (dans le cas d'un mouvement plan).
Décrire un mouvement : image 10

4. Équations horaires du mouvement

* Pour caractériser le mouvement d'un mobile assimilé à un point matériel, il suffit de connaitre la position du point à tout instant. En effet, la vitesse et l'accélération du point se déduisent alors par dérivations successives par rapport au temps.

* On appelle équations horaires du mouvement la ou les relations exprimant la position du point en fonction du temps, dans un repère donné.

* Ainsi, dans un repère cartésien (O,x,y,z), les équations horaires du mouvement s'écriront par exemple :

x_G(t) = 3t
y_G(t) = t^2
z_G(t) = e^{-t}

Ce sont les composantes du vecteur position \vec{OG} (exprimées dans le repère cartésien).

* Remarque : hormis le modèle simplifié du point matériel, la trajectoire d'un seul point ne suffit pas, dans le cas général, à caractériser le mouvement d'un système (un solide par exemple), car les points du système n'ont pas forcément la même trajectoire.

5. Equation de la trajectoire

* Pour trouver l'équation cartésienne de la trajectoire d'un point, il faut éliminer le paramètre t des équations horaires.

* Si, dans un repère cartésien (O,x,y), les équations horaires d'un mouvement (plan) sont par exemple :

x(t) = 2t
y(t) = 4t^2
il suffit de remarquer que  t = \dfrac{x}{2} pour en déduire l'équation de la trajectoire : y = 4 t^2 = \dfrac{4x^2}{4}
c'est-à-dire \boxed{y = x^2} ce qui est l'équation d'une parabole.

III. Mouvement rectiligne

* Un mobile est en mouvement rectiligne si la trajectoire du point est une droite (ou une portion de droite).

* On peut alors toujours définir un repère (O, \vec{i}) de telle manière que le mobile se déplace sur l'axe (O,x). Ceci simplifie l'expression des vecteurs position, vitesse et accélération de G, et à tout instant t :

\overrightarrow{OG}(t) = x(t) \overrightarrow{i}
\overrightarrow{v__G}(t) = v_x \overrightarrow{i}  = \dfrac{dx}{dt} \overrightarrow{i}
\overrightarrow{a__G}(t) = \dfrac{dv_x}{dt} \overrightarrow{i} = \dfrac{d^2x}{dt^2} \overrightarrow{i}

Propriété
Lors d'un mouvement rectiligne, les vecteurs position, vitesse et accélération sont colinéaires.
Et leur direction est celle de la trajectoire (qui est droite).

1. Mouvement rectiligne uniforme

* Un mobile est en mouvement rectiligne uniforme si et seulement si le vecteur vitesse \vec{v_G} est constant (il ne dépend pas du temps).

* La trajectoire du point G est une droite (ou une portion de droite) qui est parcourue à vitesse constante.

* Le vecteur vitesse étant indépendant du temps, nous pouvons écrire : \overrightarrow{a__G} = \dfrac{d\overrightarrow{v__G}}{dt} = \overrightarrow{0}

Propriété
Le mouvement du mobile est rectiligne uniforme si et seulement si l'accélération du point est nulle.

* Dans un repère (O, \vec{i}) choisi de telle manière que le mobile se déplace sur l'axe (O,x), on peut alors écrire :

\overrightarrow{OG}(t) = x(t) \overrightarrow{i}
\overrightarrow{v__G}(t) = v_x \overrightarrow{i} avec vx = cste = vitesse du mobile
\overrightarrow{a__G}(t) = \dfrac{dv_x}{dt} \overrightarrow{i} =  \overrightarrow{0}

* D'autre part, l'équation horaire du mouvement se réduit à :

\boxed{x(t) = v_x . t + x_0}x_0 est la position initiale du mobile.

2. Mouvement rectiligne uniformément varié

* Un mobile est en mouvement rectiligne uniformément varié si la trajectoire du point G est une droite et si le vecteur accélération \overrightarrow{a__G}   est constant. La vitesse est donc variable.

* Dans un repère (O, \vec{i}) choisi de telle manière que le mobile se déplace sur l'axe (O,x), on peut alors écrire :

\overrightarrow{OG}(t) = x(t) \overrightarrow{i}
\overrightarrow{v__G}(t) = v \overrightarrow{i} (en posant vx = v pour simplifier)
\overrightarrow{a__G}(t) = \dfrac{dv}{dt} \overrightarrow{i}  = a \overrightarrow{i} avec a = cste = accélération du point

* Cette accélération constante implique que :

la vitesse v a pour expression : \boxed{v(t) = a . t + v_0}v_0 est la vitesse initiale du mobile.

l'équation horaire du mouvement s'écrit :

\boxed{x(t) = \dfrac{a . t^2}{2} + v_0 . t + x_0}x_0 est la position initiale du mobile.

* Si la valeur de la vitesse augmente au cours du temps, on parle aussi de mouvement accéléré.

* Si la valeur de la vitesse diminue, on parle aussi de mouvement retardé.

* Les deux équations précédentes peuvent être déterminées par la recherche de primitives en identifiant les constantes d'intégration à l'aide des conditions initiales du mouvement :

En effet : \boxed{\dfrac{dv}{dt} = a = cste}

\Rightarrow \boxed{v(t) = \dfrac{dx}{dt} = a . t + C_1} en intégrant une première fois

\Rightarrow \boxed{x(t) = \dfrac{a . t^2}{2} + C_1 . t + C_2} en intégrant une seconde fois

* Si, à l'instant t = 0, on pose : v(0) = C_1 = v_0 et x(0) = C_2 = x_0, on retrouve bien les relations précédentes.

IV. Mouvement circulaire

* Un mobile est en mouvement circulaire si la trajectoire du point est un cercle (ou un arc de cercle). Le mouvement est donc plan. Pour simplifier l'étude, on introduit un nouveau repère.

1. Repère de Frenet

* Comme indiqué sur la figure suivante, le repère de Frenet est centré sur le mobile (G) et associé aux deux vecteurs de base :
\overrightarrow{T} : vecteur unitaire tangent à la trajectoire, orienté dans le sens du mouvement ;
\overrightarrow{N} : vecteur unitaire, orthogonal à la trajectoire et dirigé vers le centre du cercle.
Décrire un mouvement : image 8

* Remarque : le repère de Frenet est mobile. Il change à chaque instant puisqu'il est centré sur le point mobile !

2. Expression de la vitesse

* Le vecteur vitesse étant toujours tangent à la trajectoire, il s'exprime très simplement dans le repère de Frenet :

\boxed{ \vec{v} = v \; \vec{T}} (où v est la valeur de la vitesse)

* Le vecteur vitesse est donc colinéaire à \overrightarrow{T} et de même sens.

3. Expression de l'accélération

* Dans le cas d'un mouvement circulaire, le vecteur accélération a pour expression générale dans le repère de Frenet (voir figure) :

\boxed{ \vec{a} = a_T \; \vec{T} + a_N  \; \vec{N} =  \dfrac{d v}{dt} \; \vec{T} + \dfrac{v^2}{R}  \; \vec{N}} (où R est le rayon du cercle)

a_T = \dfrac{d v}{dt} est appelée l'accélération tangentielle: elle caractérise les variations de la valeur de la vitesse (\dfrac{dv}{dt}) ;

a_N  = \dfrac{v^2}{R} est appelée l'accélération normale: elle caractérise les changements de direction du vecteur vitesse.

Décrire un mouvement : image 9

4. Cas du mouvement circulaire uniforme

* Le mouvement circulaire est uniforme si la valeur v de la vitesse est constante (donc \dfrac{d v}{dt} = 0).

* C'est le mouvement des planètes du système solaire (en 1ère approximation) dans le référentiel héliocentrique, ainsi que le mouvement de nombreux satellites autour de la terre dans le référentiel géocentrique.

* C'est pourquoi il faut en connaître les caractéristiques (voir figure) :

Le vecteur vitesse \vec{v} garde la même expression: \boxed{ \vec{v} = v \; \vec{T}}
En revanche le vecteur accélération a une expression plus simple car  a_T = \dfrac{d v}{dt} = 0 :

\boxed{ \vec{a} =  a_N  \; \vec{N} =  \dfrac{v^2}{R}  \; \vec{N}} (où R est le rayon du cercle)

\boxed{\text{Le vecteur accélération est colinéaire et de même sens que} ~ \vec{N} ~ \text{et donc normal à la vitesse}}

\boxed{\text{L'accélération est dite centripète (c'est-à-dire dirigée vers le centre du cercle)}}

\boxed{\text{La valeur de l'accélération (} a = \dfrac{v^2}{R} \text{) est constante (car v est constante)}}

Décrire un mouvement : image 5
* ATTENTION ! : lors d'un mouvement circulaire uniforme, la valeur de la vitesse et celle de l'accélération sont constantes, mais les vecteurs vitesse et accélération ne le sont pas, car ils changent constamment de direction!

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