Fiche de physique - chimie
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La mécanique de Newton

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I. Les lois de Newton

1. Première loi de Newton ou principe de l'inertie

" Dans un référentiel galiléen, le centre d'inertie G d'un système isolé ou pseudo-isolé a un vecteur vitesse \vec{v}_{\text{G}} constant. "


si \vec{v}_{\text{G}} = \vec{0}, G est immobile.
si \vec{v}_{\text{G}} \neq \vec{0}, G est animé d'un mouvement rectiligne et uniforme.

2. Deuxième loi de Newton ou principe fondamental de la dynamique ou théorème du centre d'inertie

" Dans un référentiel galiléen, la somme des forces extérieures appliquée à un solide est égale au produit de la masse m de ce solide et du vecteur accélération \overrightarrow{a_{\text{G}}} de son centre d'inertie G. "


\sum \overrightarrow{\text{F}_{\text{ext}}} = m \overrightarrow{a_{\text{G}}}.

3. Troisième loi de Newton ou principe de actions réciproques

" Quand un corps A exerce sur un corps B une force \vec{F}_{A/B}, simultanément B exerce sur A la force \vec{F}_{B/A} opposée à \vec{F}_{A/B}. "


\vec{F}_{A/B} et \vec{F}_{B/A} ont la même droite d'action et \vec{F}_{A/B} = -\vec{F}_{B/A} :
même direction
sens contraires
même valeur.

II. Importance du référentiel

Définition :
Un référentiel est un système de coordonnées de l'espace-temps lié à un observateur.


Les lois de Newton ne sont valables que dans un référentiel galiléen.

Exemples de référentiels galiléens :
un référentiel terrestre pour nos expériences
le référentiel géocentrique pour les satellites
le référentiel héliocentrique pour les planètes.

III. Vecteur vitesse \vec{v} et vecteur accélération \vec{a} du point mobile G

1. Repérage du point mobile G


dans l'espace :
- on attache un repère au référentiel choisi (par exemple (O,x,y,z) si G a un mouvement dans l'espace).
- on repère la position occupée par G à la date t par le vecteur position \overrightarrow{OG} :
La mécanique de Newton : image 1

dans le temps :
- on choisit un instant comme origine des dates : sa date est t0 = 0.
- on choisit une durée. L'unité S.I de durée est la seconde.
* un instant quelconque est repéré par sa date t.
* la durée entre deux instants t1 et t2 (t2 > t1) est \Delta t = t_{2} - t_{1}.

2. Vecteur vitesse instantanée \overrightarrow{v_{t}}

Le point G a une vitesse si son vecteur position \overrightarrow{OG} varie au cours du temps.



détermination expérimentale :
La mécanique de Newton : image 2

Le vecteur vitesse à la date t2 est \overrightarrow{v_{t_{2}}} = \dfrac{\overrightarrow{G_{1}G_{3}}}{(t_{3}-t_{1})} = \dfrac{\overrightarrow{OG}_{3} - \overrightarrow{OG_{1}}}{(t_{3}-t_{1})} = \dfrac{\Delta \overrightarrow{OG}}{\Delta t}.



Le vecteur \overrightarrow{v_{t_{2}}} a :
- pour origine G2
- pour direction et sens \overrightarrow{G_{1}G_{3}}

- pour valeur v_{t_{2}} = \dfrac{G_{1}G_{3}}{(t_{3}-t_{1})}

Remarque : \overrightarrow{v_{t_{2}}} est tangent à la trajectoire G au point G2.

détermination par le calcul :
Définition :
si t3 \longrightarrow t1, \Delta t \longrightarrow 0 alors G3 \longrightarrow G1, \Delta \overrightarrow{OG} \longrightarrow \vec{0}.
\dfrac{\Delta \overrightarrow{OG}}{\Delta t} tend vers une valeur limite qu'est la dérivée par rapport au temps t du vecteur position \overrightarrow{OG}, notée \dfrac{d \overrightarrow{OG}}{dt}.
Ainsi, \overrightarrow{v_{t_{2}}} = \left( \dfrac{d\overrightarrow{OG}}{dt} \right)_{t_{2}}.


La mécanique de Newton : image 3


généralisation :

\vec{v}=\dfrac{d\overrightarrow{OG}}{dt}



\vec{v} a :
- pour origine la position de G à la date t
- pour direction la tangente en G à la trajectoire
- pour sens celui du mouvement
- pour coordonnées v_{x} = \dot{x} et v_{y} = \dot{y}
- pour valeur \sqrt{v^2_{x}+v^2_{y}}.

3. Vecteur accélération instantanée \overrightarrow{a_{t}}



détermination expérimentale :
La mécanique de Newton : image 4

Le vecteur accélération à la date t2 est \vec{a}_{t_{2}} = \dfrac{\vec{v}_{t_{3}} - \vec{v}_{t_{1}}}{(t_{3}-t_{1})} = \dfrac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}.



Le vecteur \vec{a}_{t_{2}} a :
- pour origine G2
- pour direction et sens \Delta \vec{v} = \vec{v}_{t_{3}} - \vec{v}_{t_{1}}

- pour valeur a_{t_{2}} = \dfrac{\text{valeur de }\Delta \vec{v} }{(t_{3}-t_{1})}

détermination par le calcul :
Définition :
si t3 \longrightarrow t1, \Delta t \longrightarrow 0 alors \vec{v}_{t_{3}} \longrightarrow \vec{v}_{t_{1}}, \Delta \vec{v} \longrightarrow \vec{0}.
\dfrac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} tend vers une valeur limite qu'est la dérivée par rapport au temps t du vecteur vitesse \vec{v}, notée \dfrac{d \vec{v}}{dt}.
Ainsi, \vec{a}_{t_{2}} = \left(\dfrac{d\vec{v}}{dt}\right)_{t_{2}}.



généralisation :

\vec{a}=\dfrac{d \vec{v}}{dt}



\vec{a} a :
- pour origine la position de G à la date t
- la direction et le sens de \Delta \vec{v}
- pour valeur at.
La mécanique de Newton : image 5

IV. Résolution d'un problème de mécanique

Tous les problèmes de mécanique suivent un ordre de résolution précis :
1. Définir le système.
2. Choisir un référentiel galiléen et un repère pour l'étude.
3. Faire un inventaire des forces qui s’appliquent sur celui-ci.
4. Appliquer une loi de Newton.
5. Projeter l’équation obtenue sur les axes afin de supprimer les vecteurs.
6. Ecrire les équations de la vitesse et de la position du système.

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