Fiche de physique - chimie
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CONDENSATEURS ET DIPÔLES RC

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I. Le condensateur

1. Notion

Définition
Le condensateur est un dipôle électrique constitué de deux armatures métalliques séparées par un isolant appelé diélectrique (par exemple de l'air ou de la céramique).

2. Représentation dans un montage


Condensateurs et dipôles RC : image 9

3. Propriétés

* Un condensateur peut stocker des charges électriques opposées sur ses armatures.

* Un condensateur chargé est un condensateur dont la tension aux bornes (Uc) est maximale.

* Un condensateur est déchargé lorsque la tension à ses bornes est nulle (Uc = 0 et q = 0).

* A tout instant, la charge électrique portée par l'armature négative (- q) est l'inverse de la charge portée par l'armature positive (+ q). La quantité q est appelée la charge du condensateur : elle dépend du temps lors de la charge ou de la décharge du condensateur.

* L'intensité arrive sur l'armature positive et sort par l'armature négative (en convention récepteur).

4. Remarques

* Le fait que des charges opposées puissent être emmagasinées sur les armatures d'un condensateur s'appelle l'effet capacitif.

* Le courant circule physiquement toujours à l'extérieur du condensateur, aucun électron ne traverse l'isolant du condensateur (sauf en cas de claquage si la tension entre les armatures est trop élevée !).

II. Le dipôle RC

1. Notion

Définition
Un dipôle RC est l'association en série d'un condensateur et d'un conducteur ohmique (ou résistor).

2. Relation entre la charge et l'intensité du courant


Définition
L'intensité électrique correspond au débit de charges électriques qui traverse une section de conducteur, ce qui s'écrit :

\boxed{i =\dfrac{dq}{dt}}
avec :

i : intensité du courant électrique (en A) ;
q : charge du condensateur (en C) ;
t : temps (en s).

Remarques :
i et q sont des fonctions du temps t et \dfrac{dq}{dt} est la dérivée de q(t) par rapport à t ;
L'intensité est une grandeur algébrique. Selon le sens réel du courant, elle peut être positive ou négative.

3. Capacité d'un condensateur

Propriété
Expérimentalement, on constate que la charge électrique emmagasinée par un condensateur est proportionnelle à la tension appliquée aux armatures. Le rapport entre la charge et la tension est appelé la capacité du condensateur, ce qui s'écrit :

\boxed{C = \dfrac{q}{U_c}}  \Longleftrightarrow \boxed{q = C \times U_c}
avec :

q : charge du condensateur (en C) ;
U_c : tension aux bornes du condensateur (en V) ;
C : capacité du condensateur, exprimée en farad (F).

4. Constante de temps (ou temps caractéristique)


a. Notion

Définition
La constante de temps, notée \tau , dépend de la valeur de la résistance R du conducteur ohmique et de la valeur de la capacité C du condensateur :

\boxed{\tau = R \times C}

b. Détermination de la dimension de tau

* Pour vérifier que \tau =R \times C est bien homogène à un temps, on fait une analyse dimensionnelle.

* Rappel des grandeurs fondamentales :

Grandeur Dimension Unité (Système International)
Temps T seconde (s)
Intensité I Ampère (A)


* On cherche à déterminer la dimension de R \times C :

\tau = R \times C \Longleftrightarrow \tau = \dfrac{[U]}{[I]} \times{\dfrac{[Q]}{[U]}} \Longleftrightarrow \tau = \dfrac{[Q]}{[I]}

Or [I] = \dfrac{[Q]}{[T]} \Longleftrightarrow \dfrac{[Q]}{[I]} = [T]

d'où \tau = [T]

RC est donc homogène à une durée.

III. Evolution temporelle dans un circuit RC : établissement des équations différentielles

1. Notion d'échelon de tension


Définition
On parle d'échelon de tension lorsque la tension passe instantanément de 0 à une valeur constante non nulle (par ex. 30 V).

2. Charge d'un condensateur


* On réalise le circuit RC suivant :

Condensateurs et dipôles RC : image 3

* On cherche la réponse du dipôle RC à un échelon de tension, c'est à dire l'équation différentielle qui régit la tension aux bornes du condensateur lorsqu'on ferme l'interrupteur.


a. Mise en équation

* État initial : à t = 0, le condensateur est déchargé (Uc = 0) et on ferme l'interrupteur K.

* D'après la loi des mailles, on a la relation (1) :  U_c + U_R = E .

* On sait que U_R = R \times i et que i = \dfrac{dq}{dt}.

D'où U_R = R \times \dfrac{dq}{dt}.

De plus, on a la relation : q = C \times U_c.

Donc U_R = R . \dfrac{d(C. U_c)}{dt}\Longleftrightarrow U_r = R . C .\dfrac{dU_c}{dt} car C est une constante.

* En reportant dans (1), on trouve : R . C . \dfrac{dU_c}{dt} + U_c = E.

Puis, en divisant le tout par RC, on obtient finalement l'équation différentielle :

\boxed{\dfrac{dU_c}{dt} + \dfrac{U_c}{R . C} = \dfrac{E}{R . C}}



b. Solution de l'équation différentielle

* L'équation peut s'écrire sous la forme générale :

\boxed{\dfrac{d U_c}{dt} + \dfrac{ U_c}{\tau} = \dfrac{E}{\tau}  \;  \text{ (en posant } \tau = R . C = \text{cste}) }


* La constante {\tau} s'interprète comme un temps caractéristique d'évolution du système car nous allons voir que la charge est terminée (à 1 % près) au bout d'une durée de 5 {\tau} .

* Nous admettrons que la solution générale de cette équation est de la forme :

\boxed{ U_c(t) = E + K \; e^{\frac{-t}{\tau}}} , où K est une constante

K est déterminé par la condition initiale: Uc (0) = 0 (car le condensateur est déchargé à l'instant t = 0).

On en déduit que 0 = E + K . e^0 = E + K donc  K = - E

La solution de cette équation différentielle est donc : \boxed{U_c(t) = E\left(1-e^{\frac{-t}{RC}}\right)}.

* Vérification :

\displaystyle \dfrac{dU_c}{dt} = 0\times (1-e^{\frac{-t}{RC}})+E\times \dfrac{1}{RC}e^{\frac{-t}{RC}} \Longleftrightarrow \dfrac{dU_c}{dt} = \dfrac{E}{RC}e^{\frac{-t}{RC}}

\displaystyle \dfrac{dUc}{dt} + \dfrac{U_c}{RC} = \dfrac{E}{RC}e^{\frac{-t}{RC}} + \dfrac{E}{RC} - \dfrac{E}{RC}e^{\frac{-t}{RC}} = \dfrac{E}{RC}

L'équation différentielle est donc bien vérifiée.


c. Calcul de l'intensité dans le circuit

On a la relation i = \dfrac{dq}{dt} ou encore : i = C \dfrac{dU_c}{dt} (car q = C\times U_c).

En remplacant Uc par son expression, on trouve : \boxed{i(t) = \dfrac{E}{R} . e^{\frac{-t}{RC}}}

3. Décharge d'un condensateur :


* On réalise le circuit RC suivant :

Condensateurs et dipôles RC : image 4

* Le condensateur étant initialement chargé, on peut le décharger dans une résistance en fermant l'interrupteur. On cherche l'équation différentielle qui régit la tension aux bornes du condensateur durant la décharge.


a. Mise en équation

* A t = 0, le condensateur est chargé (Uc(0) = E) et on ferme l'interrupteur K.

* On utilise la même méthode que pour l'étude de la charge du condensateur au paragraphe précédent :

D'après la loi des mailles, on a la relation (1) : U_c + U_R = 0 .

On sait que U_R = R \times i et que i = \dfrac{dq}{dt}.

D'où U_R = R . \dfrac{dq}{dt}.


De plus, on a la relation : q = C\times U_c.

Donc U_R = R\;\dfrac{d(C. U_c)}{dt}\Longleftrightarrow U_R = R . C . \dfrac{dU_c}{dt} car C est une constante.

En reportant dans (1), on a trouve : R . C . \dfrac{dU_c}{dt} + U_c = 0.

Puis, en divisant le tout par RC, on obtient finalement l'équation différentielle :

\boxed{\dfrac{dU_c}{dt} + \dfrac{U_c}{R . C} = 0}



b. Solution de l'équation différentielle

* L'équation peut s'écrire sous la forme générale :

\boxed{\dfrac{d U_c}{dt} + \dfrac{ U_c}{\tau} = 0 \;  \text{ (en posant } \tau = R . C = cste) }

* La constante  {\tau} s'interprète comme un temps caractéristique d'évolution du système car nous allons voir que la décharge est terminée (à 1 % près) au bout d'une durée de 5  {\tau} .

* Nous admettrons que la solution générale de cette équation est de la forme :

\boxed{ U_c(t) =  K . e^{\frac{-t}{\tau}}  } , où K est une constante


K est déterminé par la condition initiale : Uc (0) = E (car le condensateur est chargé à l'instant t = 0).

* On en déduit que E = K . e^0 donc  K = E

* La solution de cette équation est donc : \boxed{U_c(t) = E. e^{\frac{-t}{R . C}}}.


c. Calcul de l'intensité dans le circuit

* On a la relation i = \dfrac{dq}{dt}, soit i = C . \dfrac{dU_c}{dt}

* En remplaçant Uc par son expression, on trouve : \boxed{i(t) = \dfrac{-E}{R} . e^{\frac{-t}{RC}}}.

IV. Evolution temporelle dans un circuit RC : interprétation graphique

1. COURBES DE CHARGE D'UN CONDENSATEUR


* Lors de la charge d'un condensateur initialement déchargé,

la tension aux bornes du condensateur est donnée par : \boxed{U_c(t) = E . (1-e^{\frac{-t}{\tau}}\right)}

et l'intensité dans le circuit vaut : \boxed{i(t) = \dfrac{E}{R} . e^{\frac{-t}{\tau}}}
(où E est la tension fournie par le générateur)

* Représentation graphique de la tension Uc(t) :

Condensateurs et dipôles RC : image 1

* Détermination de la constante de temps tau :

La constante de temps \tau du circuit RC caractérise la vitesse de la charge du condensateur.

Il y a 3 méthodes pour la trouver:

1) On utilise la relation \tau = R . C

2) On trace la tangente à l'origine (en rouge sur le graphique). \tau est l'abscisse de l'intersection de la tangente et de la droite E.

3) Pendant la charge, nous savons que : Uc(t) = E . (1-e^{\frac{-t}{\tau}}).

Pour t = \tau, on a donc : U_c(\tau) = E. (1-e^{-1}) = 0,63 E (rappel : eenvironegal2,718)

Lorsque t = \tau, la tension du condensateur a atteint 63% de la tension du générateur (E).


* Temps de charge :

La droite E est asymptote horizontale à la courbe, donc Uc(t) n'atteint jamais la valeur E.
Toutefois, pour t = 5 tau, on a :  U_c(5 \tau) = E . (1-e^{-5}) = 0,993 E\approx E .

Au bout d'une durée égale à 5\tau, on estime que la charge est terminée.
(car la tension du condensateur a atteint son maximum E à moins de 1% près)


ATTENTION ! La constante de temps (tau = R.C) n'est pas le temps de charge (= 5tau) !

* Représentation graphique de l'intensité dans le circuit i(t) :

Condensateurs et dipôles RC : image 5

* On peut remarquer une discontinuité de l'intensité lors de la fermeture de l'interrupteur (à t = 0).

2. COURBES DE DECHARGE D'UN CONDENSATEUR


* Lors de la décharge d'un condensateur initialement chargé,

la tension aux bornes du condensateur est donnée par : \boxed{U_c(t) = E. e^{\frac{-t}{\tau}}}.

et l'intensité dans le circuit vaut : \boxed{i(t) = \dfrac{-E}{R}e^{\frac{-t}{\tau}}}
(où E est la tension initiale aux bornes du condensateur)


Condensateurs et dipôles RC : image 7

* Détermination de la constante de temps tau

La constante \tau du circuit RC caractérise la vitesse de décharge du condensateur.

Il y a 3 méthodes pour la trouver:

1) On utilise la relation \tau = R . C

2) On trace la tangente à l'origine (en rouge sur le graphique). \tau est l'abscisse de l'intersection de la tangente avec l'axe des abscisses.

3) Pendant la décharge, on a U_c(t) = E . e^{\frac{-t}{\tau}}

Quand t = \tau, on a donc : U_c(\tau) = E . e^{-1} = 0,37 E

Lorsque t = \tau, la tension du condensateur a atteint 37% de la tension initiale (E).


* Temps de décharge :
L'axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe, donc Uc(t) ne s'annule jamais.
Toutefois, pour t = 5 tau, on a :  U_c(5 \tau)=E.e^{-5} = 0,007 E\approx 0 .

Au bout d'une durée égale à 5\tau, on estime que la décharge est terminée.
(car la tension aux bornes du condensateur a diminué de plus de 99%)

ATTENTION ! La constante de temps (tau = R.C) n'est pas le temps de décharge (= 5tau) !

* Représentation graphique de l'intensité dans le circuit i(t) :

Condensateurs et dipôles RC : image 8

* On remarque une nouvelle fois la discontinuité à l'instant t = 0.

* La tension d'un condensateur est une fonction continue du temps.

* L'intensité du courant dans un circuit RC est une fonction discontinue du temps.

V. Énergie électrique emmagasinée dans un condensateur.

* L'énergie électrique  \mathcal{E} stockée dans un condensateur de capacité C et de tension U à ses bornes est donnée par la relation :

\boxed{\mathcal{E} = \dfrac{1}{2} C \times U^2}

* L'énergie s'exprime en joule (J), la capacité du condensateur en farad (F) et la tension en volt (V).

* Cette énergie est fournie par le générateur lors de la charge du condensateur.

* Lors de la décharge, elle est ensuite restituée au circuit par le condensateur (dans le cas d'un circuit RC, l'énergie est alors dissipée par effet Joule dans la résistance).

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