Fiche de physique - chimie
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Condensateurs et circuits RC

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I. Le condensateur: définition et propriétés

Définition:

Le condensateur est constitué de deux armatures métalliques séparées par un isolant appelé diélectrique.



Représentation dans un montage


Condensateurs et dipôles RC : image 1
L'intensité arrive sur l'armature positive et sort par l'armature négative.


II. Le dipôle RC:

Relation entre la charge et l'intensité du courant:

L'intensité électrique correspond à la quantité de charges électriques qui traverse une section de conducteur par unité de temps.



i=\dfrac{dq}{dt}

La charge s'exprime en coulomb (C), l'intensité en ampère (A) et le temps en seconde (s).
L'intensité est une grandeur algébrique. Selon le sens du courant, elle peut être positive (charge) ou négative (décharge).

Relation entre charge, capacité du condensateur et tension à ses bornes

Soit un montage contenant un générateur de courant constant, une résistance et un condensateur.

Le graphique représentant la tension en fonction du temps du condensateur (Uc) à courant constant est une droite passant par l'origine.
Ainsi, on a Uc(t)=kt avec k, un réel.

On sait notamment que i=\dfrac{dq}{dt}
On intègre pour trouver la primitve ce qui nous donne q(t)=it+A
Pour trouver A (constante d'intégration), on utilise les conditions initiales.
A t=0, on a q=0
Soit 0=i\times 0+A\Longleftrightarrow A=0
Egalisons les deux dernières égalités, on trouve que \dfrac{Uc}{k}=\dfrac{q}{i}
Soit q=\dfrac{i}{k}\times Uc
On note C=\dfrac{i}{k} ; C est la capcité du condensateur et s'exprime en Farads (F)
On a la relation suivante : \boxed{q=C\times U_c}

Constante de temps

Elle dépend de la valeur de la résistance R du conducteur ohmique et de la valeur de la capacité C du condensateur.
\tau =RC


Détermination de la dimension de tau

Pour déterminer la dimension de RC, on fait une analyse dimensionnelle.

Rappel des grandeurs fondamentales :
Grandeur Dimension Unité (Système International)
Temps T seconde (s)
Intensité I Ampère (A)


On cherche à déterminer la dimension de RC:

\tau = RC \Longleftrightarrow \tau = \frac{[U]}{[I]} \times{\frac{[Q]}{[U]}} \Longleftrightarrow \tau = \frac{[Q]}{[I]}
Or [I]=\frac{[Q]}{[T]} \Longleftrightarrow \frac{[Q]}{[I]} = [T] d'où \tau = [T]
RC est donc homogène à une durée.


III. Réponse du dipôle RC à un échelon de tension: établissement des équations différentielles

Cas de la charge d'un condensateur :

On réalise le circuit RC suivant (le condensateur est initialement déchargé) :
Condensateurs et dipôles RC : image 9
On cherche à modéliser l'équation différentielle de la charge du condensateur.
Mise en équation différentielle :
A t=0, on ferme l'interrupteur K
On a la relation U_c+U_r=E.
On sait que U_r=Ri et que i=\dfrac{dq}{dt}.
D'où U_r=R\dfrac{dq}{dt}.
De plus, on a la relation q=C\times U_c.

Donc U_r=R\dfrac{dC\times Uc}{dt}\Longleftrightarrow U_r=RC\dfrac{dU_c}{dt} car C est constante.
On a finalement l'équation suivante : RC\dfrac{dU_c}{dt}+U_c=E.
Puis en divisant le tout par RC, on obtient :
\boxed{\dfrac{dU_c}{dt}+\dfrac{U_c}{RC}=\dfrac{E}{RC}}

Solution de l'équation différentielle :
La solution de cette équation différentielle est : \boxed{U_c(t)=E\left(1-e^{\frac{-t}{RC}}\right)}.
Vérification :
\displaystyle \frac{dU_c}{dt}=0\times (1-e^{\frac{-t}{RC}})+E\times \frac{1}{RC}e^{\frac{-t}{RC}}\Longleftrightarrow \frac{dU_c}{dt}=\frac{E}{RC}e^{\frac{-t}{RC}}
\displaystyle \frac{dUc}{dt}+\frac{U_c}{RC}=\frac{E}{RC}e^{\frac{-t}{RC}}+\frac{E}{RC}-\frac{E}{RC}e^{\frac{-t}{RC}}=\frac{E}{RC}
La solution est juste.

En ce qui concerne l'intensité :
On a la relation i=\dfrac{dq}{dt} soit i=C\dfrac{dU_c}{dt}

En remplacant Uc par son expression, on trouve que
\boxed{i(t)=\dfrac{E}{R}e^{\frac{-t}{RC}}}

Cas de la décharge d'un condensateur :

On réalise le circuit suivant (le condensateur est initialement chargé) :
Condensateurs et dipôles RC : image 10
Mise en équation différentielle :
On a la relation U_c+U_r=0.
En procédant exactement de la même manière pour la tension aux bornes de la résistance durant la charge, on trouve que l'équation différentielle est :
\fbox{u_c + RC\dfrac{du_c}{dt}=0}.

Solution de l'équation différentielle :
La solution de cette équation différentielle est : \boxed{U_c(t)=Ee^{\frac{-t}{RC}}}.
Vérification :
\dfrac{Ee^{\frac{-t}{RC}}}{RC}+\dfrac{dU_c}{dt}=\dfrac{Ee^{\frac{-t}{RC}}}{RC}-\dfrac{Ee^{\frac{-t}{RC}}}{RC}=0.
La solution est juste.

En ce qui concerne l'intensité :
On a la relation i=\dfrac{dq}{dt} soit i=C\dfrac{dU_c}{dt}

En remplacant Uc par son expression, on trouve que
\boxed{i(t)=\dfrac{-E}{R}e^{\frac{-t}{RC}}}


IV. Résolutions graphiques des tensions du condensateur et intensité dans le circuit

Tension du condensateur intensité du courant pendant la charge en fonction du temps :

Condensateurs et dipôles RC : image 4

La constante \tau du circuit RC caractérise la vitesse de la charge du condensateur.
Il y a 3 méthodes pour la retrouver.

1er : On utilise la relation \tau=RC

2ème : On trace la tangente à l'origine.\tau est l'absicsse de l'intersection entre la tangente et la droite E.

3ème : Pendant la charge, on a Uc(t)=E(1-e^{\frac{-t}{\tau}}).
Quand t=\tau, on a Uc(\tau)=0,63E
Lorsque t=\tau, la tension du condensateur a atteint 63% de la tension du générateur (E).
Après de brefs calculs, on peut voir que lorsque t=5\tau, la tension du condensateur a quasiment atteint E (quasiment car la droite E est asymptote horizontale à la courbe).
Condensateurs et dipôles RC : image 11
On peut aperçevoir une discontinuité au temps t=0.

Tension du condensateur et intensité du courant pendant la décharge en fonction du temps :

Condensateurs et dipôles RC : image 5
La constante \tau du circuit RC caractérise la vitesse de la charge du condensateur.
Il y a 3 méthodes pour la retrouver.

1er : On utilise la relation \tau=RC

2ème : On trace la tangente à l'origine. \tau est l'absicsse de l'intersection entre la tangente et l'axe des abscisses.

3ème : Pendant la décharge, on a Uc(t)=Ee^{\frac{-t}{\tau}}
Quand t=\tau, on a Uc(\tau)=0,37E

Lorsque t=\tau, la tension du condensateur a atteint 37% de la tension du générateur (E)
Après de brefs calculs, on peut voir que lorsque t=5\tau, la tension du condensateur a quasiment atteint 0. (quasiment car l'axe des absicsses est asymptote horizontale à la courbe).
Condensateurs et dipôles RC : image 12
On aperçoit une nouvelle fois la discontinuité au temps t=0.

La tension d'un condensateur est une fonction continue du temps.
L'intensité du courant dans un circuit RC est une fonction discontinue du temps.


V. Energie enmagasiné dans un condensateur.

L'énergie E enmagasiné dans un condensateur de capacité C et de tension U à ses bornes est donné par la relation :
E_c=\dfrac{1}{2}C\times U^2
L'énergie s'exprime en Joule, la capacité du condensateur en Farads et la tension en Volt.

Démonstration (hors programme) :
P=\dfrac{dE}{dt}\\dE=P\times dt\\dE=Ui\times dt\\dE=U\times\dfrac{dq}{dt}\times dt\\dE=U\times dq\\dE=U\times d(CU)\\dE=U\times CdU\\\dfrac{dE}{dU}=\dfrac{U\times CdU}{dU}\Longleftrightarrowd\dfrac{dE}{dU}=UC

D'où \boxed{E=\dfrac{1}{2}C\times U^2}
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