Fiche de physique - chimie
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MOUVEMENT DANS UN CHAMP ÉLECTRIQUE UNIFORME

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* Cette fiche traite du mouvement des particules dans un champ uniforme.



* Elle aborde les sujets suivants :
Champ électrique d'un condensateur plan ;
Mouvement d'une particule dans un champ électrique uniforme ;
Principe de l'accélérateur linéaire de particules ;
Aspects énergétiques du mouvement.

* Cette fiche est une application des lois de la mécanique de Newton, traitées dans la fiche suivante :

fiches Statique et Dynamique - Les lois de Newton

I. Condensateur plan

Définition
* Un condensateur plan est formé de deux plaques (ou armatures) métalliques parallèles, séparées d'une distance d et soumises à une tension (ou différence de potentiel) U_{AB} à l'aide d'un générateur (voir figure).

* Le champ électrique \vec{E} qui règne alors entre ces plaques est considéré comme uniforme, et son expression est la suivante, dans le repère (O,\vec{i},\vec{j}) de la figure :

\boxed{\vec{E} = -E \vec{j} = - \dfrac{U__{AB}}{d} \vec{j}}

* Rappelons les caractéristiques de ce champ électrique \vec{E} :
sa direction est perpendiculaire à la surface des plaques ;
il est orienté de la plaque positive vers la plaque négative ;
il est uniforme : sa norme est constante et vaut

\dfrac{|U_{AB}|}{d} (en V/m)

Mouvement dans un champ électrique uniforme : image 6

* ATTENTION !
L'expression ci-dessus dépend de l'orientation de \vec{j} qui est arbitraire.
Si \vec{j} était inversé (c'est-à-dire orienté de la plaque positive vers la plaque négative), il faudrait écrire :

\boxed{\vec{E} = E \vec{j} =  \dfrac{U__{AB}}{d} \vec{j}}

car le vecteur champ électrique \vec{E} est toujours orienté de la plaque positive vers la plaque négative.

* Remarque : en réalité, le champ n'est uniforme que si on se place "loin du bord" des plaques. La figure ci-dessus n'est donc valable qu'en première approximation.

II. Particule chargée dans un champ électrique uniforme

* Dans ce chapitre, nous allons étudier le comportement d'une particule chargée dans un champ électrique uniforme.

* La particule est assimilée à un point matériel dont on négligera le poids (ce qui sera justifié par la suite).

* On se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen et on choisit le repère cartésien (O,\vec{i},\vec{j}) pour faire l'étude, comme indiqué sur les figures qui suivent.

1. Bilan des forces

* Une particule de charge q (non nulle) et de masse m est placée dans un champ électrique est soumise :
à la force de Coulomb \vec{F} = q \vec{E} ;
et à son poids \vec{P} = m \vec{g} ;


a. Le poids

* Il se trouve qu'à l'échelle atomique l'interaction gravitationnelle est totalement négligeable devant l'interaction électromagnétique.

* En effet, si on considère un proton soumis à un champ E de 1 V/m, le rapport \dfrac{E}{P} = \dfrac{E}{mg} = \dfrac{1}{10 \times 1,67  \;  10^{-27}}  \approx  6.10^{25} , ce qui montre que la force de Coulomb est déjà 10 25 fois plus forte (!) que le poids dans un champ faible de 1 V/m.

* Même pour un ion lourd, le poids est une force infime dont les effets ne sont pas mesurables s'il règne un champ électrique.


b. La force électrique (force de Coulomb)

* En présence d'un champ électrique \vec{E}, toute particule de charge q subit la force de Coulomb \vec{F} dont l'expression est :

\vec{F} = q \vec{E}

\vec{F} est donc colinéaire à \vec{E} et le sens de \vec{F} dépend du signe de la charge (voir figure)

La force électrique a le même sens que le champ \vec{E} si la charge est positive.

La force électrique est opposée au champ si la charge est négative.

Mouvement dans un champ électrique uniforme : image 1

* Remarques :
ce bilan des forces n'est valable qu'aux conditions suivantes :
\rightarrow le champ magnétique est nul (ou négligeable, comme celui de la Terre) ;
\rightarrow les particules n'interagissent pas avec la matière (grâce à l'utilisation d'une enceinte sous vide par exemple). Ces conditions seront toujours remplies dans les situations étudiées au lycée.

les particules neutres (q = 0), comme les neutrons, ne subissent pas la force de Coulomb.

2. Équation du mouvement

* Considérons une charge ponctuelle soumise à la seule force de Coulomb, le poids étant négligeable.
* En appliquant la 2ème loi de Newton on obtient alors l'équation du mouvement de la particule :

\vec{F} = q \vec{E} = m \; \vec{a} \; \Leftrightarrow \;  \boxed{ \vec{a}  = \frac{q}{m} \vec{E}}


\vec{a} désigne l'accélération de la particule, m sa masse et q sa charge.
q et m sont des constantes propres à la particule tandis que le champ électrique est uniforme (donc \vec{E} est constant) : on en déduit que le mouvement se fait avec une accélération \vec{a} constante.

3. Déviation de particules chargées

* Les condensateurs plan peuvent servir à dévier un faisceau de particules chargées.

* Considérons un électron qui, à l'instant t = 0, entre dans le champ d'un condensateur plan en O, avec la vitesse horizontale \vec_{v_0} :

Mouvement dans un champ électrique uniforme : image 4

a. Bilan des forces / Équation du mouvement

 Teste-toi !


b. Équations horaires de la particule

 Teste-toi !


* Remarque importante : on peut vérifier la cohérence du résultat sur la figure en remarquant que la particule M part de O vers la droite et est soumise à une force \vec{F} = q\vec{E} = -e \vec{E} qui est opposée au champ : elle est donc déviée vers la plaque positive, donc x(t) et y(t) doivent être ici positifs (compte tenu de l'orientation des axes), ce qui est bien le cas (pour t supegal 0).


c. Équation cartésienne de la trajectoire

 Teste-toi !


d. Calcul de la déviation

 Teste-toi !


4. Accélération d'une particule chargée

* Un champ électrique uniforme peut aussi servir à accélérer linéairement un faisceau de particules chargées.

* La figure suivante schématise un dispositif pouvant accélérer des charges positives (l'ion potassium K+ par exemple)

* Remarque : en inversant le champ on pourrait accélérer des particules négatives.

Mouvement dans un champ électrique uniforme : image 3


a. Principe

* On utilise des tubes métalliques qui se font face et entre lesquels on peut établir une forte différence de potentiel.

* Les deux faces en regard étant assimilables aux plaques d'un condensateur, on peut ainsi créer entre les tubes un champ électrique uniforme.

* On admettra par ailleurs que le champ électrique est nul à l'intérieur des tubes.

* Une source produisant les particules est placée à l'intérieur du 1er tube (à gauche sur la figure). Dans l'intervalle séparant les tubes, le champ électrique va alors accélérer les particules sortant de la source (vers la droite sur la figure). Après avoir été accélérées, les particules entrent dans le second tube qu'elles traversent à vitesse constante, comme nous allons le voir.

* Le dispositif est placé sous vide pour éviter toute interaction avec l'air ainsi que les phénomènes de claquage à haute tension entre les tubes.


b. Étude du mouvement de la particule entre les tubes

* Considérons un ion K+ qui, à l'instant t = 0, sort de la source en O, avec la vitesse horizontale vectvo (voir schéma) et qui se déplace dans le champ \vec{E} (entre O et A).

* Bilan des forces / Équation du mouvement :

 Teste-toi !


* Équations horaires de la particule :

 Teste-toi !


* Nature du mouvement (entre les tubes) :

 Teste-toi !


c. Calcul de la vitesse à l'entrée du 2ème tube (en A)

 Teste-toi !


d. Nature du mouvement dans le tube (entre A et B)

 Teste-toi !


III. Accélérateur linéaire de particules (LINAC)

* L'accélération de particules chargées permet de produire des particules ayant une très grande énergie cinétique.

* Les applications sont nombreuses, citons par exemple :
la production de rayons X pour la radiothérapie, l'industrie ou la recherche (en bombardant une cible avec des électrons préalablement accélérés) ;
l'étude des particules en physique (collisionneur de protons par exemple) ;
la production d'isotopes (pour des traitements médicaux notamment).

* Des milliers d'accélérateurs de particules sont en service dans le monde entier.

1. Principe de fonctionnement

* Nous avons vu comment accélérer des charges grâce à un champ électrique régnant entre des tubes métalliques (voir §II.4). L'idée est alors d'aligner une série de tubes et de créer ainsi plusieurs champs électriques qui vont chacun à leur tour accélérer les charges au cours de leur progression.

* C'est le physicien norvégien Wilderoe qui, le premier, conçut en 1928 un tel dispositif, appelé accélérateur linéaire ou en abrégé, LINAC pour "LINear ACcelerator" (voir figure).

* Même si la technologie a fortement évolué depuis, ce type d'accélérateur a encore des applications dans certains domaines.

Mouvement dans un champ électrique uniforme : image 2


* Description :
On remarque que le sens du champ électrique est alterné ! Il faut donc inverser le sens du champ pendant que la particule traverse un tube (sinon elle sera accélérée puis freinée et l'effet sera nul). E n pratique, on utilise une tension alternative U haute fréquence et le champ électrique oscille donc avec une certaine période T.
La figure montre l'accélération d'une charge négative et représente l'accélérateur lorsque la valeur du champ est maximale dans un sens, puis dans l'autre (ce qui correspond à U = + Um et U = -Um). Ces deux états particuliers sont séparés d'une alternance (T/2).
Si on cherche à accélérer une charge sortant de la source, il faut que le champ s'inverse entre la sortie du tube 1 (schéma du haut) et la sortie du tube 2 (schéma du bas) ce qui détermine en fait la longueur du tube 2. Ce raisonnement s'applique aussi aux tubes 2 et 3 et ainsi de suite: la longueur des tubes doit donc être soigneusement calculée pour que l'appareil fonctionne.
Enfin, la particule étant accélérée, la longueur des tubes doit augmenter au fur et à mesure de la progression de la charge (car celle-ci parcourt de plus en plus de distance durant une alternance).

Cette animation permet de mieux visualiser la situation : fiches Article sur le fonctionnement d'un accélérateur linéaire .

IV. Aspects énergétiques

1. Rappels

* Deux théorèmes importants, déjà appris en classe de 1ère, se démontrent à partir des lois de Newton :
le théorème de l'énergie cinétique ;
le théorème de l'énergie mécanique.

* Plus faciles d'emploi que la 2ème loi de Newton, ces théorèmes permettent une approche énergétique du problème et simplifient souvent l'étude du mouvement, notamment dans le cas de systèmes conservatifs qui ont une énergie mécanique constante.

* Pour réviser ces notions, il est possible de consulter cette fiche : fiches Aspects énergétiques des phénomènes mécaniques .

* Remarque: ces deux théorèmes sont équivalents, il est inutile de les appliquer tous les deux à un même problème car ils donneront alors le même résultat.

2. Travail de la force électrique

* La force électrique (force de Coulomb) est une force conservative : le travail de cette force ne dépend donc pas du chemin suivi par la particule mais uniquement du point de départ et du point d'arrivée.

Travail de la force électrique
Le travail de la force électrique \vec{F} qui s'exerce sur une particule chargée entre les points A et B, ne dépend que de la charge q et de la différence de potentiel entre A et B, ce qui s'écrit :

\boxed{W_{AB} (\overrightarrow{F}) = q  .  U_{AB}}

avec :
W_{AB}(\overrightarrow{F}) : travail de la force électrique fourni entre A et B (en J) ;
q : charge de la particule ou de l'ion (en C) ;
U_{AB} : différence de potentiel, ou tension, entre A et B (en V).

* Application au condensateur :

Dans un condensateur plan tous les points d'une même plaque (ou armature) sont au même potentiel électrostatique. Entre un point quelconque de la plaque A et un point quelconque de la plaque B la différence de potentiel est donc UAB.
Si des particules se déplacent d'une plaque à l'autre, on peut alors exprimer très facilement le travail de la force électrique (voir figure).

Mouvement dans un champ électrique uniforme : image 5

Cas d'une charge positive P

 Teste-toi !


Cas d'une charge négative N

 Teste-toi !


Remarques
sommedirecte Si une particule positive entre par la plaque négative B, la force électrique la freine, ce qui n'est pas voulu dans un accélérateur.
sommedirecte Il en serait de même pour une particule négative entrant par la plaque positive A.

3. Exemple d'approche énergétique

* Pour illustrer l'utilisation du théorème de l'énergie cinétique, reprenons l'étude de l'accélération linéaire d'une charge dans un condensateur plan, faite au §II.4 (voir figure).

* Une particule positive part de O avec une vitesse vectvo et arrive en A avec une vitesse vectvA.

Mouvement dans un champ électrique uniforme : image 3

* Calcul de la vitesse en fin d'accélération (en A) :

Déjà effectué au §II.4.3, ce calcul est beaucoup plus simple si on applique le théorème de l'énergie cinétique à la particule entre O et A.

La variation d'énergie cinétique de la particule entre O et A est égale au travail des forces exercées sur la particule. Ici, seule la force électrique \vec{F} travaille et nous savons que :

\boxed{W_{OA} (\overrightarrow{F}) = q  .  U_{OA}}

Nous en déduisons la relation :

\Delta E_c = E_c(A) - E_c(O) =  W_{OA} (\overrightarrow{F}) \Rightarrow \boxed{ \dfrac{m . v_A^2}{2} - \dfrac{m . v_o^2}{2} =  q  .  U_{OA}} \Rightarrow \boxed{ v_A ^2 = v_0^2 + \dfrac{2q . U}{m} }

Nous retrouvons, en quelques lignes, l'expression obtenue laborieusement avec la 2ème loi de Newton au §II.4.3.

4. Cas du mouvement dans un champ de pesanteur

* L'approche énergétique est très générale, elle s'applique aussi au cas de la chute libre dans un champ de pesanteur par exemple.

* On trouvera des exemples d'application dans la fiche citée dans les rappels.

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Merci à
krinn Correcteur
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