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Chute de deux billes
Bonjour, aidez-moi svp
Problème : On étudie la chute de deux billes ponctuelles B1 et B2. La résistance de l'air est négligée. On prendra g = 10 SI. L'origine des dates correspond à l'instant où les billes quittent le plan horizontal contenant O et A. On donne OA = 1,8 m ; OH = 1,5 m.
La bille B1 de masse m1 = 10 g est lancée horizontalement en O avec une vitesse horizontale, tandis qu'au même instant la bille B2 de masse m2 = 20 g est lâchée sans vitesse en A. 
1) Faire une étude dynamique du mouvement de chaque bille et en déduire l'expression de leur vecteur accélération dans le repère choisi.
2) Etablir les équations des trajectoires des billes. On donne V1 = 2 m/s.
3) Calculer les coordonnées de chaque bille à l'instant t = 0,30 s. Généraliser le résultat obtenu.
4) Calculer la durée de chute de chaque bille jusqu'au sol.
5) En utilisant le théorème de l'Energie Cinétique, calculer pour chaque bille la variation d'énergie cinétique au cours de la chute.
6) Quelle est pour chaque bille la variation d'énergie mécanique totale au cours de la chute ?
7) Calculer la plus petite valeur qu'il faudrait donner à V1 pour que les deux billes se rencontrent au cours de leur chute.
Bonjour,
La chute libre verticale est abordée ici : 
Mouvement dans un champ de pesanteur : chute libre verticale
Le mouvement dans un champ de pesanteur ici : Mouvement d'un projectile dans le champ de pesanteur
=> dans ton cas
Enfin, concernant le théorème de l'énergie cinétique, c'est par ici : [lien]
1) Etude dynamique
- système : bille de masse m ;
- référentiel : terrestre (supposé galiléen)
- bilan des forces : le poids
Application du Théorème du centre d'inertie :
Donc le vecteur accélération est constamment égal au vecteur champ de pesanteur. Le mouvement est indépendant de la masse de la bille.
conclusion : les deux billes ont même vecteur accélération :
2) Équations horaires des trajectoires
En intégrant 2 fois le vecteur accélération, j'obtiens le vecteur position de la bille :
Dans le repère (Ox, Oy), je projete cette équation vectorielle pour chaque bille, je trouve ceci :
- pour la bille B1 :
et
En éliminant le temps t entre x et y, j'obtiens l'équation de la trajectoire pour la bille B1 :
- pour la bille B2, je fais la même chose et je trouve :
et
La trajectoire de B2 est . Une trajectoire verticale.
3) Coordonnées de chaque bille à t = 0,30 s
- pour B1 :
x = V1t = 2(0,30) = 0,6 m
y = ½gt² = ½(10)(0,30)² = 0,45 m
- pour B2 :
x = OA = 1,8 m
y = ½gt² = ½(10)(0,30)² = 0,45 m
Généralisation : à un instant t quelconque, B1 et B2 se trouvent à la même hauteur par rapport au sol horizontal.
4) Durée de chute de chaque bille :
y = ½gt² 
t = 
(2y/g)
Au sol, y = OH ; donc
Soit t1 = t2 = 0,55 s
5) Calcul de la variation de l'énergie cinétique :
Pour une bille de masse m, on a :
Ec = +mg.OH
- pour B1 : smb]deltamaj[/smb]Ec1 = +m1g.OH
AN : Ec1 = 0,15 J
- pour B2 : smb]deltamaj[/smb]Ec2 = +m2g.OH
AN : Ec2 = 0,30 J
6) Calcul de la variation de l'énergie mécanique
Em = Ec + Ep
Or la variation de l'énergie potentielle de pesanteur est égale à l'opposé du travail du poids.
Donc Em = Ec -(mgh)
Em = +mgh - mgh
D'où Em = 0 ; l'énergie mécanique se conserve au cours de la chute.
Question 7) : c'est là que je n'ai pas compris comment faire.
J'ai qu'à même tenté par dire de l'énergie mécanique de B1 est égale à l'énergie mécanique de B2.
Mais cette hypothèse me semble fausse, puisque les masses sont différentes. C'est vrai que l'énergie mécanique de chaque bille se conserve, mais les énergies mécaniques de B1 et B2 sont différentes.
Bonjour,
7) c'est une question de cinématique: quelle est la condition pour que les billes se rencontrent lors de la chute?
Bonjour krinn, j'ai écrit quelque chose pour les 1ères questions. Je ne sais pas si j'ai trouvé.
Maintenant la question 7), il y'a rencontre si :
y1 = y2 et x1 = x2
Les ordonnées étant égales, on se concentre sur les abscisses.
Au bout de combien de temps l'abscisse de B1 sera-t-elle égale à celle de B2 ?
Pour B1 : x = V1t
Pour B2 : x = OA
Alors x = x 
V1t = OA t = OA/V1 = 0,9 s
Avec méthode je ne m'en sors pas...
J'essaie ça aussi : pour que les deux billes se rencontrent, il faut que les trajectoires coupent. En ce point, les coordonnées de B1 et B2 sont égales.
Pour t = 0,9 s, les abscisses sont égales et vaut OA = 1,8 m.
À cette date, l'ordonnée correspondante est y1 = y2 = ½*10*0,9² = 4,05 m
Je suis toujours bloqué...
Tes résultats me semblent bons.
Pour la 6) pour chaque bille, on a un système qui est conservatif car ...... donc Em se conserve (aucun calcul!)
Dans la 7) v1 est l'inconnue!
La collision a lieu effectivement si :
x1 =x2 et
y1= y2
pour les ordonnées on sait que c'est vrai à tout instant durant la chute d'après 3)
Et pour les abscisses, on doit avoir à l'instant de la collision tc:
x1 (tc)=x2 (tc)
Et ceci donne une condition sur v1
x1 (tc)=x2 (tc)
J'ai posé cette condition et j'ai trouvé tc = 0,9 s, car x1 = OA et x2 = V1t
En posant x1 = x2 et avec la valeur de V1 donnée dans l'énoncé, je trouve tc = 0,9 s
Encore une fois, dans la 7) v1 NE VAUT PAS 2 m/s , c'est v1 que tu cherches!
D'ailleurs on voit tout de suite que ce n'est pas bon: les billes ne se rencontrent pas pour v1 = 2 m/s (tc = 0,9 s ? est-ce possible? )
Encore une fois, dans la 7) v1 NE VAUT PAS 2 m/s , c'est v1 que tu cherches!
D'accord !
Donc x1 = x2
OA = v1tc, avec v1 et tc inconnusIl y a encore une autre condition, sur tc
La collision a lieu DURANT la chute..., ni avant, ni après!
les vitesses ne sont pas les mêmes lors de la collision.
Quelle est la durée de la chute?
Donc tc ......
Donc V1 ....
Franchement krinn, je suis perdu.
La 1ère condition est : OA = v1tc
La 2ème condition, c'est là que je peine à trouver. La seule équation horaire qui reste est y = ½gt²
On va essayer autrement.
Sur ton dessin plus haut, on voit bien qu il n'y a pas collision car B1 arrive au sol "trop à gauche".
Quelle est la condition pour qu'il y ait collision avant la fin de la chute?
Quelle est la condition pour qu'il y ait collision avant la fin de la chute?
La trajectoire de B1 doit intercepter celle de B2 au même instant
Oui, mais au-dessus du sol (ou à la limite juste au moment de l'impact) donc avec tes notations x1(t1) >= ...
Pour qu'il y ait collision, il faut que S1 soit "à droite" de S2 (point d'impact de B2) , cf croquis
Mais on connaît l'abscisse de S1, c'est x1(t1)
où t1 est la durée de chute, donc
donc x1(t1) = v1 t1 >= ....
v1 >= ...
Et la façon "algébrique" de trouver ce résultat est d'écrire que
la collision a lieu si :
x1 =x2 et
y1= y2
pour les ordonnées on sait que c'est vrai à tout instant durant la chute d'après 3)
Et pour les abscisses, on doit avoir à l'instant de la collision tc:
x1 (tc)=x2 (tc)
Et ceci donne une condition sur v1 car on sait aussi que tc < t1 , tout simplement, ce qui redonne v1 >= x2 / t1
A l'instant de la collision (tc), on a :
x1(tc) = x2(tc) OA = v1tc tc = OA/v1
Mais tc <= t1 OA/v1 <= (2.OH)/(g)
Donc
AN :
Le cas limite correspondant à v1 = 3,3 m/s
kinn, pour répondre à cette question, une seule condition aurait suffit, à mon avis
• A l'impact au sol :
Et la durée de la chute est
On trouvera le même résultat
la collision entre B1 et B2 a lieu s'il existe tc tel que :
x1 (tc)=x2 (tc)
y1 (tc)=y2 (tc)
ET
0 < tc <= t1 (contrainte due au fait que la collision doit se faire avant l'impact au sol )
si tu retires la 3e condition, il y a toujours collision (car v1 >0)
Oui, c'est la vitesse v1 correspondant au cas limite où les billes se rencontrent au moment de toucher le sol (S1 confondu avec S2 sur mon dessin)
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