Fiche de physique - chimie
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ASPECTS ÉNERGÉTIQUES DE PHÉNOMÈNES MÉCANIQUES

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Après un bref rappel des notions d'énergie et de travail d'une force, cette fiche présentera les aspects énergétiques du mouvement, à savoir :



l'énergie cinétique et le théorème de l'énergie cinétique ;
les forces conservatives et l'énergie potentielle ;
l'énergie mécanique et sa conservation dans certaines conditions ;
les forces dissipatives et le théorème de l'énergie mécanique.


IMPORTANT : dans cette fiche, les systèmes sont assimilés à des points matériels de masse constante.


I. Rappels primordiaux à connaître

1. Notion d'énergie

* La notion d'énergie a déjà été abordée au collège :

L'énergie est une grandeur physique qui exprime la capacité d'un système à produire des actions.
L'unité internationale d'énergie est le joule (J).
L'une des principales lois de la physique est que l'énergie d'un système isolé se conserve : il n'est pas possible de créer ni de détruire (ou de perdre) de l'énergie, il est seulement possible de la transférer ou de la transformer (dans le respect des lois de la physique).
Au sein d'un système isolé, des transferts d'énergie peuvent se produire (mais l'énergie totale du système reste constante).
Un système non isolé peut échanger de l'énergie avec l'extérieur. Par abus de langage on dira parfois qu'un système "perd" ou "produit" de l'énergie, mais il faut bien garder à l'esprit que l'énergie est seulement transférée d'un système à l'autre.
L'énergie peut prendre plusieurs formes : énergie cinétique, énergie thermique, travail d'une force, énergie nucléaire et bien d'autres encore. La forme de l'énergie peut changer dans certaines circonstances.

* Exemples :

Le corps humain échange de l'énergie thermique avec l'air ambiant.
A l'intérieur d'un calorimètre (considéré comme un système isolé), des échanges d'énergie peuvent avoir lieu entre les corps en présence, mais l'énergie totale du calorimètre et de son contenu reste constante.
Une voiture qui freine transforme de l'énergie cinétique en énergie thermique.
Lors d'une collision, l'énergie cinétique peut provoquer des dégâts en se transformant en énergie de déformation.

* Dans la suite de cette fiche nous allons revenir sur les diverses formes d'énergie liées au mouvement :

l'énergie cinétique (énergie de mouvement) ;
l'énergie potentielle (énergie de position) ;
et l'énergie mécanique.

2. Travail d'une force

* La notion de travail d'une force est traitée dans la fiche suivante :fiches Travail d'une force .

* Le travail mécanique est une forme d'énergie liée notamment à l'action des forces.

* Le travail peut se transformer en d'autres formes d'énergie, par exemple :

en énergie cinétique (lorsqu'on pousse un caddie) ;
en énergie potentielle (lorsqu'on monte des escaliers) ;
en énergie interne (lorsqu'on comprime un gaz).

II. L'énergie cinétique

1. Notion d'énergie cinétique

Définition
L'énergie cinétique est la forme d'énergie liée au mouvement d'un système : dans le cas d'un point matériel, elle est définie par la relation:

\boxed{E_c = \dfrac{1}{2}\; \text{m v}^2}

avec :
E_c : énergie cinétique (en J) ;
m : masse du point matériel (en kg) ;
v : vitesse du point matériel (en m.s^{-1}).

* Remarques :
Un corps immobile n'a pas d'énergie cinétique (E_c = 0 si v = 0) ;
L'énergie cinétique (comme la vitesse) est relative au référentiel d'étude ;
L'énergie cinétique est un scalaire (un nombre) positif ou nul ;
La formule est aussi valable pour un solide de masse m en translation à la vitesse vectv ;
Cette formule n'est valable que si la vitesse v est négligeable devant celle de la lumière dans le vide (c environegal300 000 km/s), ce qui est le cas sauf lors de l'étude des particules relativistes (v > 0,1 c).

* Exemple :
Une balle de tennis peut être assimilée à un point matériel de 57 g environ.
Lors d'un service à 200 km/h (environegal56 m/s), un champion communique à la balle une énergie cinétique valant :

E_c (\text{balle}) = \dfrac{1}{2}\; \text{m.v}^2 = \dfrac{1}{2} \times 57.10^{-3} \times 56^2 = 89 \;J

2. Théorème de l'énergie cinétique

* Les lois du mouvement permettent de démontrer une relation très importante entre travail des forces et variation de l'énergie cinétique d'un système.
Théorème de l'énergie cinétique
La variation d'énergie cinétique d'un point matériel entre les points A et B, est égale à la somme des travaux de toutes les forces appliquées au mobile sur le trajet \widehat{AB} :

\boxed{\Delta E_c = \dfrac{1}{2} . \text{m} . v_B^2-\dfrac{1}{2}\text{m} . v _A^2 = \sum W_{AB} (\overrightarrow{F})}

avec :
\Delta E_c : variation d'énergie cinétique (en J) ;
m : masse du point matériel (en kg) ;
v_A et v_B : vitesse du point matériel en A et en B (en m.s-1) ;
\sum W_{AB}(\overrightarrow{F}) : somme des travaux des forces sur le trajet \widehat{AB}.

Ce théorème n'est toutefois valable que si le référentiel d'étude est galiléen.

* Remarques :

Ce théorème montre que le travail des forces peut se transformer en énergie cinétique.
L'énergie cinétique ne dépend que de la valeur de la vitesse (= la norme du vecteur vitesse vectv). Elle ne dépend pas de la direction ni du sens de la vitesse vectv.
Ce théorème est plus simple que la loi fondamentale de la dynamique (2ème loi de Newton) : il sert à déterminer la (valeur de la) vitesse d'un système lorsque celui-ci est soumis à des forces connues.
Inversement, connaissant les vitesses en A et en B d'un système, on peut en déduire des informations sur les forces : ceci permet notamment d'évaluer les forces de frottement.
Le théorème peut être généralisé aux systèmes non ponctuels (les solides par exemple).
A est appelé la position initiale, B la position finale ; v_A est parfois noté v_i (pour vitesse initiale) et v_B est parfois noté v_f (pour vitesse finale).

3. Application: le caddie

* Enoncé

Considérons le mouvement d'un caddie poussé par un client sur un sol horizontal, entre les points A et B, avec une force constante horizontale F de 100 ~ N.
Le caddie, de masse m = 40 ~ kg, est à l'arrêt en A et assimilé à son centre de gravité G. Les frottements seront négligés durant le mouvement.

Calculer la vitesse atteinte par le caddie en B situé à 5 ~ m de A.

* Solution

Etape 1 : Faire un dessin
Aspects énergétiques des phénomènes mécaniques  : image 5
Remarque : les forces indiquées s'appliquent tout au long du trajet de A à B.

Etape 2 : Définir le système, choisir un référentiel, faire le bilan des forces

Système étudié : le caddie assimilé au point matériel G (de masse m) ;
Référentiel : terrestre (supposé galiléen) ;
Bilan des forces :
* le poids \overrightarrow{P} ;
* la réaction normale \overrightarrow{R_{N}} ;
* la force motrice horizontale \overrightarrow{F}.

Etape 3 : Calculer la somme des travaux des forces appliquées au système (ici le caddie)

\overrightarrow{R_{N}} et le poids sont orthogonaux au déplacement donc leur travail est nul.

Il ne reste que le travail de la force constante \overrightarrow{F} :

\boxed{W_{AB} (\overrightarrow{F}) = F \times AB \times  cos(0°)  = F \times AB}

car la force \overrightarrow{F} est colinéaire au déplacement \overrightarrow{AB} et de même sens.

On en déduit la somme des travaux des forces entre A et B :

\boxed{\sum\; W_{AB} (\overrightarrow{F}) = W_{AB} (\overrightarrow{R_{N}}) + W_{AB} (\overrightarrow{P}) + W_{AB} (\overrightarrow{F}) = 0 + 0 + F \times AB =  F \times AB}

Etape 4 : Appliquer le théorème de l'énergie cinétique au caddie entre A et B

En A le caddie est à l'arrêt, donc la valeur de sa vitesse est nulle en A : v_A = 0.
En B la valeur de la vitesse du caddie est v_B (c'est ce que l'on cherche).
Entre A et B, nous pouvons alors écrire :

\boxed{\Delta E_c = \dfrac{1}{2}\text{m} . v_B^2-\dfrac{1}{2}\text{m} . v_A^2 = \sum\; W_{AB} (\overrightarrow{F}) }

ce qui donne pour le caddie entre A et B :

\boxed{\Delta E_c = \dfrac{1}{2}\text{m} . v_B^2 - 0  = F \times AB }

et enfin la (valeur de la) vitesse du caddie en B :

\boxed{v_B = \sqrt{\dfrac{2 \times  F \times AB}{m} } = 5 ~ m/s }


III. Forces conservatives et énergie potentielle

1. Définitions

Force conservative
Une force est conservative lorsque le travail effectué par cette force entre deux points A et B ne dépend pas du trajet suivi, mais uniquement de la position de A et de B.
Dans le cas contraire, la force est dite non conservative.

* Remarques :

On en déduit que le travail d'une force conservative est nul si le système revient à sa position initiale (B = A).
Le terme "forces conservatives" vient du fait que de telles forces conservent (= ne modifient pas) l'énergie mécanique d'un système, comme nous allons le voir dans la suite.

Energie potentielle liée à une force conservative
Une force conservative peut toujours être associée à une énergie potentielle, souvent notée Ep, qui est une forme d'énergie liée à la position relative des corps en interaction. On dit que la force dérive d'une énergie potentielle.

L'énergie potentielle est définie de façon à ce que le travail de la force conservative \overrightarrow{F_c} entre les points A et B, soit l'opposé de la variation d'énergie potentielle du système :

\boxed{W_{AB}(\overrightarrow{F_c}) = -\Delta E_{p} = E_{p}(A) - E_{p}(B) }

* Remarque : l'intérêt de ces définitions apparaîtra plus clairement lorsque nous découvrirons l'énergie mécanique.

2. Les forces conservatives

Parmi les forces conservatives, nous pouvons citer :

Force conservative Énergie potentielle associée
Poids Énergie potentielle de pesanteur (Epp)
Force gravitationnelle Énergie potentielle gravitationnelle
force électrostatique Énergie potentielle électrostatique
Force de rappel élastique (d'un ressort) Énergie potentielle élastique (Epe)

Remarques :

En physique moderne, la notion d'énergie potentielle permet de modéliser un très grand nombre d'interactions, et généralise en quelque sorte la notion de force.
Toutes les forces ne sont pas conservatives : notamment les forces de frottement.
Si un système est soumis à plusieurs interactions (conservatives), il faut alors additionner les énergies potentielles correspondantes pour obtenir l'Ep totale du système : par exemple une masse attachée au bout d'un ressort vertical est soumis à la pesanteur et à la force élastique du ressort et il faudra donc écrire :
Ep(système) = Epp + Ep élastique


3. Application : le poids et l'énergie potentielle de pesanteur

* Tant que les déplacements se font dans une zone limitée à proximité de la surface terrestre, nous savons que le poids \vec{P} d'un système est constant (si sa masse ne varie pas).
Comme le travail d'une force constante ne dépend pas du chemin suivi, nous en déduisons que :

Le poids est une force conservative.

* Il est donc possible de lui associer une énergie potentielle dite de pesanteur, notée Epp, et nous retrouvons un résultat déjà connu :
Définition
L'énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel M au voisinage de la Terre est une énergie associée à l'altitude du point M dans le champ de pesanteur. Elle est donnée par la relation :

\boxed{E_{pp}(M) = \text{mg}(z_M - z_0)}

avec:
E_{pp} : énergie potentielle de pesanteur (en J) ;
\text{m} : masse du point matériel (en kg) ;
\text{g} : intensité de la pesanteur terrestre en N.kg-1 ;
z_M : altitude du point M (en m) ;
z_{0} : (lire z zéro) altitude de référence (en m) où l'énergie potentielle est nulle.

Aspects énergétiques des phénomènes mécaniques  : image 2
* ATTENTION :

Le choix des axes est arbitraire et ne change pas les résultats physiques.
Dans toute cette fiche, l'axe vertical est l'axe (Oz) orienté positivement VERS LE HAUT.
Si l'axe vertical était orienté positivement VERS LE BAS, il faudrait alors écrire : E_{pp}(M) = - \text{mg}(z_M - z_0) }.

* Remarques :

L'Epp ne dépend que de l'altitude du point M dans le champ de pesanteur: elle augmente avec l'altitude mais ne varie pas si le déplacement est horizontal ;
L'Epp est déterminée par rapport à un niveau de référence z_0, tel que Epp(z_0) = 0. Ce niveau peut être choisi arbitrairement. On prend souvent z_0 = 0 pour simplifier, comme sur la figure ci-dessus: on dit alors que l'on prend le point O comme origine de l'Epp.
La valeur de l'énergie potentielle n'a donc pas de sens physique puisque le niveau z_0 est arbitraire: seule la variation d'Epp a une interprétation physique (cette remarque vaut pour toutes les énergies potentielles).
On peut enfin vérifier la relation entre la variation d'Epp et le travail du poids entre A et B : en effet,

\Delta E_{pp} = E_{pp}(B) - E_{pp}(A) = \text{mg}(z_B-z_0) - \text{mg}(z_A-z_0) = \text{mg}(z_B-z_A)

et donc

\boxed{W_{AB}(\overrightarrow{P}) = \text{mg}(z_A-z_B) = -\Delta E_{pp}}


IV. Énergie mécanique et systèmes conservatifs

1. Introduction

* Nous allons voir dans ce paragraphe tout l'intérêt des forces conservatives et de la notion d'énergie potentielle.

* Considérons un point matériel, de masse m, qui est soumis :

à une force conservative \overrightarrow{F_c} dérivant de l'énergie potentielle Ep
et éventuellement à d'autres forces dont le travail est nul (par exemple la réaction normale du sol \overrightarrow{R_N})
et appliquons-lui le théorème de l'énergie cinétique entre deux points A et B de sa trajectoire :

\Delta E_c = \dfrac{1}{2}\text{m} . v_B^2-\dfrac{1}{2}\text{m}v_A^2 = \sum\; W_{AB} (\overrightarrow{F}) = W_{AB} (\overrightarrow{F_c}) + 0  =  E_{p}(A) - E_{p}(B)

ce que nous pouvons réécrire :

\dfrac{1}{2}\text{m} . v_B^2-\dfrac{1}{2}\text{m} . v_A^2 + E_{p}(B) - E_{p}(A) = 0

\Leftrightarrow E_c(B) - E_c(A) + E_{p}(B) - E_{p}(A) = 0

\Leftrightarrow \boxed{E_c(B) + E_{p}(B) = E_c(A) + E_{p}(A)}

* Nous constatons que la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle est la même en A et en B, et donc en tout point de la trajectoire (puisque le calcul vaut pour n'importe quels points A et B).

* Ceci nous amène à introduire une nouvelle notion: l'énergie mécanique.

2. L'énergie mécanique

Définition
L'énergie mécanique Em d'un point matériel en M désigne la somme de son énergie cinétique Ec et de son énergie potentielle Ep en M :

\boxed{E_m(M) = E_c(M) + E_{p}(M)}

Remarque : l'expression de l'énergie potentielle Ep dépend de la ou des interactions en jeu: la pesanteur, l'interaction électrostatique etc.

3. Conservation de l'énergie mécanique

Conservation de l'énergie mécanique
L'énergie mécanique Em d'un point matériel soumis uniquement à une ou plusieurs forces conservatives est constante.
On dit que l'énergie mécanique du système se conserve ou encore que le système est conservatif.

Ce résultat reste valable si le point matériel subit aussi une ou plusieurs forces dont le travail est nul quel que soit le déplacement.

4. Exemples de systèmes conservatifs

* En général,

si les frottements sont négligés (ou absents comme dans l'espace !)
et si le système est abandonné à lui-même dans un champ de pesanteur (ou autre), c'est-à-dire que le système n'est ni poussé, ni tracté, ni propulsé (par un moteur par exemple), alors le système est conservatif.

* Par exemple :

un système en chute libre (= soumis seulement à son poids), car le poids est conservatif ;
un système soumis uniquement à son poids et à la réaction normale du support (donc pas de frottement !), comme un objet qui dévale une pente ;
le pendule simple (sans frottement), car la tension du fil est normale à la trajectoire et donc ne travaille pas ;
une particule chargée en mouvement dans un champ électrostatique ;
le Soleil et son cortège de planètes (avec une très bonne approximation).

* Dans un exercice, il faudra justifier que le système est conservatif en faisant le bilan des forces et en vérifiant que celles-ci sont conservatives (ou qu'elles ne travaillent pas).

5. Propriétés des systèmes conservatifs

* L'énergie mécanique d'un système conservatif est constante, elle caractérise le mouvement du système et se déduit souvent des conditions initiales du mouvement (vitesse et position initiales).

* L'énergie mécanique ne dépend que de la masse, de la vitesse et de la position : elle fournit donc une relation simple entre vitesse et position du point matériel, valable en tout point de la trajectoire.

* Les forces conservatives peuvent uniquement transformer l'énergie potentielle en énergie cinétique et vice versa : elles ne modifient pas l'énergie totale du système.

En effet, nous avons la relation : \Delta E_m = \Delta E_c + \Delta E_p = 0 \Leftrightarrow \boxed{\Delta E_c = - \Delta E_p}

Si un système est conservatif, l'Ep et l'Ec varient donc en sens inverse l'un de l'autre.
Ainsi au ski ou à vélo (sans pédalage!), si on remonte une pente, la vitesse diminue et inversement en descente la vitesse augmente, essentiellement du fait que la pesanteur provoquent des transformations mutuelles d'Ep et d'Ec lorsque l'altitude du système varie.

* Exemple de la chute libre d'un corps
Aspects énergétiques des phénomènes mécaniques  : image 1

Considérons une balle, assimilée à un point matériel, en chute libre de A à B dans le champ de pesanteur terrestre (genvironegal10 N/kg). La seule force agissante étant le poids, qui est conservatif, nous pouvons écrire que l'énergie mécanique Em du système est constante :

\boxed{ E_m = E_c + E_{pp} = \frac{1}{2} m v^2 + mg(z - z_0)} valable en tout point M d'altitude z où la vitesse du point est v

Si l'origine de l'énergie potentielle de pesanteur est prise en O, l'expression se simplifie puisque z0 = 0 et on trouve :

\boxed{ E_m = \frac{1}{2} m v^2 + mgz}

Appliquons cette relation en A puis en B :
en A : la vitesse du point est vA et son altitude zA = h, donc : \boxed{ E_m(A) = \dfrac{1}{2} m . v_A^2 + m.g.h}

en B : la vitesse du point est vB et son altitude zB = 0, donc : \boxed{ E_m(B) = \dfrac{1}{2} m . v_B^2 + 0 = \dfrac{1}{2} m . v_B^2}

La conservation de l'énergie mécanique nous permet d'en déduire une relation simple entre vA, vB et h :

\boxed{ E_m(B) = E_m(A)} \Leftrightarrow  \boxed{ \dfrac{1}{2} m . v_B^2  = \dfrac{1}{2} m . v_A^2 + m.g.h }  \Leftrightarrow \boxed{v_B^2 = v_A^2 + 2g.h } (en multipliant par \dfrac{2}{m} de chaque côté)
(on note que m se simplifie : on retrouve que la chute libre est universelle)
[nl
]Ce type de raisonnement permet de résoudre de nombreux problèmes :

1) Si la balle est lâchée en A d'une hauteur h = 5 m, quelle sera sa vitesse en arrivant au sol en B ?
Il suffit d'appliquer la formule trouvée plus haut, compte tenu des conditions initiales :

en A : vA = 0 et h = 5 m (lâcher une balle signifie qu'elle n'a aucune vitesse initiale)

en B : la vitesse de la balle est vB et on peut écrire : \boxed{v_B^2  = v_A^2 + 2g.h} \Leftrightarrow \boxed{v_B^2  =  2g.h } \Leftrightarrow \boxed{v_B  =  \sqrt{2g.h} = 10 ~ m/s}

2) Si la balle est lâchée en A d'une hauteur h = 5 m, quelle est la vitesse de la balle lorsqu'elle est à 1 m au-dessus du sol ?

Soit C le point situé entre A et B, d'altitude zC = 1 m.

En C l'énergie mécanique de la balle est la même qu'en A : \boxed{  E_m(C) = E_m(A)} \Leftrightarrow \boxed{\dfrac{1}{2} m . v_C^2 + m.g.z_C = 0 +  m.g.h }

on en déduit vC : \boxed{\dfrac{1}{2} m v_C^2  =  mg(h - z_C)} \Leftrightarrow \boxed{v_C^2  =  2g(h - z_C) } \Leftrightarrow \boxed{v_C = \sqrt{ 2g.(h - z_C) } = 8,9 ~ m/s }

3) De quelle hauteur h faut-il lâcher la balle en A si on veut qu'elle arrive au sol en B avec une vitesse vB = 5 m/s ?

en A : vA = 0 et h est inconnu

en B : vB = 5 m/s et on peut écrire: \boxed{ v_B^2  =  v_A^2 + 2gh} \Leftrightarrow  \boxed{  v_B^2  =  2g.h} \Leftrightarrow \boxed{ h = \dfrac{v_B^2}{2g} = 1,25 ~ m }

4) Si la balle est lancée en A d'une hauteur h = 5m avec une vitesse VA = 5 m/s vers le haut, quelle sera sa vitesse en arrivant au sol en B ?

On part toujours de la même formule mais avec des données initiales différentes :

en A : vA = 5 m/s et h = 5 m

en B : la vitesse de la balle est vB et on écrit : \boxed{ v_B^2  = v_A^2 +  2g.h } \Leftrightarrow \boxed{v_B  =  \sqrt{ v_A^2  + 2g.h} = 11,2 ~ m/s }


Remarques :
on notera que le dernier résultat vaut quelle que soit la direction dans laquelle la balle est lancée! La vitesse en B ne dépend que de la valeur vA de la vitesse initiale et de la hauteur de chute (h).
ces résultats restent valable si le système glisse sur le sol (sans frottement) car la réaction normale ne travaille pas. Donc pour un skieur qui démarre en A d'une altitude h, on trouvera la même formule entre vA, vB et h, quelle que soit la trajectoire suivie! La formule n'est qu'une approximation puisqu'un skieur est soumis aux frottements dans la réalité.

V. Forces non conservatives et théorème de l'énergie mécanique

Nous venons de voir que les forces conservatives permettaient de caractériser certains systèmes par leur énergie mécanique constante.
Il reste à traiter le cas où un système subit des forces qui ne sont pas conservatives, grâce à un théorème important qui fait le lien entre forces non conservatives et variation de l'énergie mécanique d'un système.

1. Forces non conservatives / forces dissipatives

* Le travail des forces non conservatives entre deux points A et B dépend du chemin suivi par le système de A à B. Il y a alors conversion du travail mécanique en une autre forme d'énergie.

* Font partie des forces non conservatives :

les forces de frottement (solide ou fluide) : le travail est converti en chaleur ;
les forces de viscosité : le travail est converti en turbulences dans le fluide extérieur puis en chaleur ;
les forces de déformation lors d'un choc ;
les forces de poussée, de traction, de propulsion ;
la tension d'un fil ou d'une corde ;
les actions de liaison (réaction du support).

* Les force dissipatives sont des forces non conservatives dont le travail est résistant (donc négatif) : nous allons voir qu'elles font diminuer l'énergie mécanique du système.
Les forces de frottement sont toujours dissipatives.

2. Théorème de l'énergie mécanique

Théorème de l'énergie mécanique
La variation d'énergie mécanique d'un point matériel entre les points A et B, est égale à la somme des travaux des forces non conservatives appliquées au mobile sur le trajet \widehat{AB} :

\boxed{\Delta E_m = \Delta E_c + \Delta E_p = \sum W_{AB} (\overrightarrow{F_{nc}})}

avec :
\Delta E_m : variation d'énergie mécanique (en J) ;
\Delta E_c : variation d'énergie cinétique (en J) ;
\Delta E_p : variation d'énergie potentielle (en J) ;
\sum W_{AB}(\overrightarrow{F_{nc}}) : somme des travaux des forces non conservatives.

Ce théorème n'est toutefois valable que si le référentiel d'étude est galiléen.

* ATTENTION : dans le terme de droite n'apparaît que la somme des travaux des forces NON conservatives. Il ne faut surtout pas ajouter le travail des forces conservatives (comme le poids) car ce travail est déjà pris en compte dans la variation d'énergie potentielle.

* Démonstration:
Ce théorème découle directement du théorème de l'énergie cinétique.

Considérons un point matériel, de masse m, qui est soumis :
à une ou plusieurs forces conservatives \overrightarrow{F_c}
et à d'autres forces non conservatives \overrightarrow{F_{nc}}

et appliquons-lui le théorème de l'énergie cinétique entre deux points A et B de sa trajectoire :

\Delta E_c = E_c(B) - E_c(A) = \sum\; W_{AB} (\overrightarrow{F}) = \sum W_{AB} (\overrightarrow{F_c}) + \sum W_{AB} (\overrightarrow{F_{nc}})  =  E_{p}(A) - E_{p}(B) + \sum W_{AB} (\overrightarrow{F_{nc}})


car, par définition de l'énergie potentielle :  \sum W_{AB} (\overrightarrow{F_c}) =  E_{p}(A) - E_{p}(B)

Nous en déduisons le résultat :

E_c(B) - E_c(A) + E_{p}(B) - E_{p}(A) = \sum W_{AB} (\overrightarrow{F_{nc}})


\Leftrightarrow \Delta E_c + \Delta  E_{p} = \sum W_{AB} (\overrightarrow{F_{nc}})


\Leftrightarrow \boxed{\Delta E_m  = \sum W_{AB} (\overrightarrow{F_{nc}}) }


3. Application : mouvement d'une luge avec/sans frottement

* Considérons un enfant sur une luge dévalant une pente rectiligne (AB) sans vitesse initiale, et cherchons la vitesse atteinte en B :
(1) si on néglige tous les frottements
(2) si on modélise les frottements par une force \overrightarrow{f} constante, de valeur 30 N sur tout le trajet.

* Données : genvironegal10 N/kg ; AB = 20 m ; alpha = 25° ; masse totale : m = 25 kg (enfant + luge).

Aspects énergétiques des phénomènes mécaniques  : image 4

PARTIE 1 : Etude du mouvement sans frottement (figure 1)

- Système étudié : la luge et l'enfant de masse m

- Référentiel : terrestre supposé galiléen

- Bilan des forces:
le poids \overrightarrow{P} qui est conservatif
la réaction normale du sol \overrightarrow{R_N} qui est non conservative

- Calculons l'énergie mécanique du système en A et en B, en prenant B comme origine des altitudes et de l'énergie potentielle de pesanteur (z_0 = z_B = 0) :

en A :  \boxed{E_m(A) = \frac{1}{2} m . v_A^2 + m.g.h = m.g.h } car VA = 0 et A est à l'altitude h par rapport à B

en B :  \boxed{E_m(B) = \dfrac{1}{2} m . v_B^2 + 0  } car zB = 0

- Appliquons le théorème de l'énergie mécanique entre A et B :

Le travail de la réaction normale du sol étant nul (car elle est toujours perpendiculaire à la piste) nous pouvons écrire :

\boxed{\Delta E_m = E_m(B) - E_m(A) = \frac{1}{2} m . v_B^2 - m.g.h = W_{AB}(\overrightarrow{R_{N})} = 0}

On retrouve que le système est conservatif puisqu'il est soumis à une force conservative et à une autre force qui ne travaille pas.

On en déduit : \boxed{v_B^2 = 2g.h} \Leftrightarrow \boxed{v_B = \sqrt{2g.h}}

Il suffit de remarquer sur la figure que : \boxed{\sin{\alpha} = \dfrac{h}{AB} } pour trouver la réponse : \boxed{v_B = \sqrt{2g . AB . \sin{\alpha}} = 13 m/s}

Ce résultat est une surestimation car une luge glissant sur de la neige n'est pas un système conservatif.

PARTIE 2 : Etude du mouvement avec frottements (figure 2)

- Le bilan des forces change :
le poids \overrightarrow{P} qui est conservatif
la réaction normale du sol \overrightarrow{R_N} qui est non conservative
et la force de frottement \overrightarrow{f} qui est non conservative


- Appliquons de nouveau le théorème de l'énergie mécanique entre A et B :

Le travail de la réaction normale du sol est toujours nul ; en revanche la force de frottement travaille et nous pouvons écrire:

\boxed{\Delta E_m = E_m(B) - E_m(A) = \frac{1}{2} m . v_B^2 - m.g.h = W_{AB}(\overrightarrow{f)} + 0 }


La force de frottement est constante donc nous pouvons appliquer la formule :

\boxed{ W_{AB}(\overrightarrow{f}) = f \times AB \times cos(\overrightarrow{f},\overrightarrow{AB})}

 \Leftrightarrow \boxed{ W_{AB}(\overrightarrow{f}) = f \times AB \times cos(180°) = - f \times AB} car \overrightarrow{f} s'oppose toujours au déplacement


On en déduit la relation : \boxed{ \Delta E_m  = \frac{1}{2} m . v_B^2 - m.g.h = -f \times AB < 0}

On remarque que Em diminue bien à cause des frottements qui sont toujours dissipatifs.

On conclut enfin en écrivant: \boxed{ v_B^2 = 2(gh - \dfrac{f \times AB}{m})} \Leftrightarrow \boxed{ v_B = \sqrt{2 AB . (g . sin(\alpha) - \dfrac{f }{m}) } = 11 ~ m/s}

Ce résultat est inférieur à celui obtenu dans la partie 1 car les frottements ont dissipé une partie de l'énergie mécanique du système lors du mouvement.

VI. Le principe de conservation de l'énergie selon Richard Feynman

Extrait du cours de physique de Feynman (prix Nobel de physique), mécanique tome 1 :

« Imaginons un enfant, par exemple "Denis la terreur" qui possède des cubes absolument indestructibles, et qui ne peuvent pas être divisés en morceaux. Tous les cubes sont identiques. Supposons qu'il y ait 28 cubes. Sa mère le met dans sa chambre au début de la journée avec ses 28 cubes. À la fin de la journée, étant curieuse, elle compte les cubes avec attention et découvre une loi phénoménale - quoi qu'il fasse avec ses cubes, il en reste toujours 28 ! Ceci se répète plusieurs jours durant, jusqu'au jour où il n'y a que 27 cubes, mais un peu de recherche montre qu'il y en a un sous le tapis - elle doit regarder partout pour s'assurer que le nombre de cubes n'a pas changé. Un jour, cependant, le nombre semble changer : il n'y a que 26 cubes. Une recherche attentive montre que la fenêtre était ouverte, et en regardant dehors, elle retrouve les deux autres cubes. Un autre jour, un compte précis indiqua qu'il y en avait 30 ! Ceci la troubla au plus haut point, jusqu'au moment où elle réalisa que Bruce était passé, amenant ses cubes avec lui, et qu'il en avait laissé quelques-uns à la maison de Denis [...]
En conclusion, dans son cas, elle trouve une quantité qui doit être calculée, et qui reste toujours la même
».

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