Fiche de physique - chimie
> >

MOUVEMENT D'UN PROJECTILE DANS UN CHAMP DE PESANTEUR

Partager :


I. Le champ de pesanteur uniforme - Chute libre

* Sur Terre, dans une région de l'espace de quelques kilomètres de long, de large et de haut, le vecteur champ de pesanteur \overrightarrow{g} est un vecteur constant : on parle de champ de pesanteur uniforme.

* À chaque instant t, ce vecteur a :
un même sens,
une même direction
et une même norme.

Définition
La chute libre est le mouvement d'un objet uniquement soumis à son poids.

II. Étude préliminaire

* On étudie la chute libre d'un projectile de masse m lancé avec un vecteur \vec{v_{0}} quelconque faisant un angle \theta avec le plan horizontal.

* Système : projectile de masse m.

* Référentiel : le sol, référentiel terrestre supposé galiléen.

* Bilan des forces extérieures :
       le poids de l'objet : \overrightarrow{P} = m \overrightarrow{g} ;
       la poussé d'Archimède et les frottements de l'air sont négligés.

III. Équation de la vitesse et équations horaires

* Schéma de la situation :

Mouvement d'un projectile dans le champ de pesanteur : image 1

* L'objet est représenté par un point G de coordonnées (x ; y) qui est son centre d'inertie.

* Conditions initiales : à t = 0, la balle est au point O de coordonnées (0 ; 0) et son vecteur vitesse initial est \vec{v_{0}} que l'on projette sur les deux axes du repère (cf. schéma) :

\boxed{\overrightarrow{v_0}\left(v_0.\cos(\theta) ~ ; v_0.\sin (\theta) \right)}

* D'après la deuxième loi de Newton :

\overrightarrow{P} = m \overrightarrow{a}

\Leftrightarrow -m . g \overrightarrow{j} = m\overrightarrow{a}

\Leftrightarrow -g \overrightarrow{j} = \overrightarrow{a}

Finalement :

\boxed{\overrightarrow{a}\left(0 ; -g\right)}

\Rightarrow On dit que le mouvement est uniformément accéléré suivant l'axe (Oy).

On sait que \overrightarrow{a} = \dfrac{d\overrightarrow{v}}{dt}

On en déduit que \dfrac{d\overrightarrow{v}}{dt}\left(0 ; -g \right) et en intégrant, on obtient \overrightarrow{v}\left(K_1 ; -g . t + K_2 \right)

Pour déterminer les constantes d'intégrations K_1 et K_2, on utilise les conditions initiales : à t = 0, on a \overrightarrow{v_0}\left(v_0.\cos(\theta) ; v_0.\sin(\theta) \right)

Ce qui nous permet de trouver K_1 et K_2 tels que \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} K_1 & v_0.\cos(\theta) \\ K_2 & v_0.\sin(\theta) \\ \end{array} \right.

Finalement :

\boxed{\overrightarrow{v}\left(v_0.\cos(\theta) ; -g . t + v_0.\sin(\theta) \right)}

On sait que \overrightarrow{v} = \dfrac{d\overrightarrow{OG}}{dt}

Finalement : \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} \dfrac{dx}{dt} & v_0.\cos(\theta) \\ \dfrac{dy}{dt} & -g . t + v_0.\sin(\theta) \\ \end{array} \right.

En intégrant, on obtient : \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x(t) & v_0.\cos(\theta) . t + K_3 \\ y(t) & \dfrac{-1}{2}g . t^2 + v_0 .\sin(\theta) . t + K_4 \\ \end{array} \right.

À t = 0, x = 0 et y = 0.

On en déduit que K_3 = 0 et K_4 = 0.

Les équations horaires du mouvement sont donc :

\boxed{\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x(t) & v_0.\cos(\theta) . t \\ y(t) & \dfrac{-1}{2}g . t^2  +v_0 . \sin(\theta) . t \\ \end{array} \right}

IV. Équation de la trajectoire

* Pour obtenir une équation de la trajectoire, il faut exprimer y(t) en fonction non plus de t, mais de x.

x = v_0.\cos(\theta) . t\Leftrightarrow t = \dfrac{x}{v_0 . \cos(\theta)}.

* On peut maintenant exprimer y en fonction de x en remplaçant t par la valeur trouvée ci-dessus.

* Finalement : y(x) = \dfrac{-1}{2} g \left(\dfrac{x}{v_0.\cos(\theta)}\right)^2 + v_0.\sin(\theta) \left(\dfrac{x}{v_0.\cos(\theta)}\right)

* En simplifiant on trouve finalement :

\boxed{y(x) = \dfrac{-g}{2v_0^2 . \cos^2(\theta)}\times x^2+ \tan(\theta) \times x}

* Finalement, on obtient une équation du second degré ce qui concorde avec sa trajectoire parabolique.

V. Flèche et portée de la trajectoire

1. Flèche de la trajectoire

Définition
La flèche de la trajectoire correspond au moment où la balle a atteint sa hauteur maximale H (voir le schéma).

* Quand la balle a atteint sa hauteur maximale, le vecteur vitesse a une direction horizontale.

* Sa composante sur l'axe des ordonnées (v_y) est donc égale à 0.

v_y(t_f) = 0

\Leftrightarrow -g . t_f + v_0 . \sin(\theta) = 0

\Leftrightarrow \boxed{t_f = \dfrac{v_0 . \sin(\theta)}{g}}

* On réinsère cette valeur de t dans l'équation de la trajectoire ce qui nous donne :

H = y(t_f) = \dfrac{-1}{2} g \left(\dfrac{v_0.\sin(\theta)}{g}\right)^2 + v_0. \sin(\theta) \left(\dfrac{v_0.\sin(\theta)}{g}\right)

* Ce qui, en simplifiant, donne :

\boxed{H = \dfrac{v_0^2 . \sin^2(\theta)}{2g}}

2. Portée de la trajectoire

Définition
La portée de la balle est la distance D séparant le point de départ de la balle et le point d'arrivée P (voir le schéma).

* L'ordonnée au point de chute est nulle : y_p = y(t_p) = 0 \Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}g . t^2_p + v_0 . \sin(\theta) .  t_p = 0.

* Comme t_p est non nulle alors on a : -\dfrac{1}{2}g . t_p + v_0 . \sin(\theta) = 0 \Leftrightarrow t_p = \dfrac{2v_0 . \sin(\theta)}{g}.

* On insère la valeur de t_p dans l'équation x(t).

D = x(t_p) = v_0 \cos(\theta) \times \dfrac{2v_0 . \sin(\theta)}{g}

* Ce qui, simplifié, donne :

\boxed{D = \dfrac{v_0^2 . \sin(2\theta)}{g}}


(car 2 \sin (\theta). \cos(\theta) = \sin(2 \theta) )

Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter
Merci à
gbm Webmaster
pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche


Mentions légales - Retrouvez cette page sur l'île de la physique - chimie
© digiSchool 2021

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 236 fiches de physique

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !