MOUVEMENT D'UN PROJECTILE DANS UN CHAMP DE PESANTEUR
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I. Le champ de pesanteur uniforme - Chute libre
* Sur Terre, dans une région de l'espace de quelques kilomètres de long, de large et de haut, le vecteur champ de pesanteur
est un vecteur constant : on parle de champ de pesanteur uniforme.
* À chaque instant t, ce vecteur a :
un même sens,
une même direction
et une même norme.
Définition
La chute libre est le mouvement d'un objet uniquement soumis à son poids.
II. Étude préliminaire
* On étudie la chute libre d'un projectile de masse lancé avec un vecteur
quelconque faisant un angle avec le plan horizontal.
*Système : projectile de masse m.
*Référentiel : le sol, référentiel terrestre supposé galiléen.
*Bilan des forces extérieures :
le poids de l'objet : ;
la poussé d'Archimède et les frottements de l'air sont négligés.
III. Équation de la vitesse et équations horaires
*Schéma de la situation :
* L'objet est représenté par un point de coordonnées qui est son centre d'inertie.
*Conditions initiales :
à , la balle est au point de coordonnées
et son vecteur vitesse initial est que l'on projette sur les deux axes du repère (cf. schéma) :
* D'après la deuxième loi de Newton :
Finalement :
On dit que le mouvement est uniformément accéléré suivant l'axe .
On sait que
On en déduit que
et en intégrant, on obtient
Pour déterminer les constantes d'intégrations et , on utilise les conditions initiales :
à t = 0, on a
Ce qui nous permet de trouver et tels que
.
Finalement :
On sait que
Finalement :
.
En intégrant, on obtient :
.
À t = 0, et .
On en déduit que et .
Les équations horaires du mouvement sont donc :
IV. Équation de la trajectoire
* Pour obtenir une équation de la trajectoire, il faut exprimer en fonction non plus de , mais de .
.
* On peut maintenant exprimer en fonction de en remplaçant par la valeur trouvée ci-dessus.
* Finalement :
* En simplifiant on trouve finalement :
* Finalement, on obtient une équation du second degré ce qui concorde avec sa trajectoire parabolique.
V. Flèche et portée de la trajectoire
1. Flèche de la trajectoire
Définition
La flèche de la trajectoire correspond au moment où la balle a atteint sa hauteur maximale (voir le schéma).
* Quand la balle a atteint sa hauteur maximale, le vecteur vitesse a une direction horizontale.
* Sa composante sur l'axe des ordonnées () est donc égale à .
* On réinsère cette valeur de dans l'équation de la trajectoire ce qui nous donne :
* Ce qui, en simplifiant, donne :
2. Portée de la trajectoire
Définition
La portée de la balle est la distance séparant le point de départ de la balle et le point d'arrivée (voir le schéma).
* L'ordonnée au point de chute est nulle : .
* Comme est non nulle alors on a :
.
* On insère la valeur de dans l'équation .
* Ce qui, simplifié, donne :
(car )
Publié par gbm / relue par krinn
le
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est un vecteur constant : on parle de champ de pesanteur uniforme.
lancé avec un vecteur 
quelconque faisant un angle 
avec le plan horizontal.
;
de coordonnées )
qui est son centre d'inertie.
, la balle est au point 
de coordonnées )
et son vecteur vitesse initial est  ~ ; v_0.\sin (\theta) \right)})
})
On dit que le mouvement est uniformément accéléré suivant l'axe )
.
)
et en intégrant, on obtient )
et 
, on utilise les conditions initiales :
à t = 0, on a  ; v_0.\sin(\theta) \right))
 \\ K_2 & v_0.\sin(\theta) \\ \end{array} \right)
.
 ; -g . t + v_0.\sin(\theta) \right)})
 \\ \dfrac{dy}{dt} & -g . t + v_0.\sin(\theta) \\ \end{array} \right)
.
 & v_0.\cos(\theta) . t + K_3 \\ y(t) & \dfrac{-1}{2}g . t^2 + v_0 .\sin(\theta) . t + K_4 \\ \end{array} \right)
.
et 
.
et 
.
 & v_0.\cos(\theta) . t \\ y(t) & \dfrac{-1}{2}g . t^2 +v_0 . \sin(\theta) . t \\ \end{array} \right})
)
en fonction non plus de 
, mais de 
.
 . t\Leftrightarrow t = \dfrac{x}{v_0 . \cos(\theta)})
.
en fonction de  = \dfrac{-1}{2} g \left(\dfrac{x}{v_0.\cos(\theta)}\right)^2 + v_0.\sin(\theta) \left(\dfrac{x}{v_0.\cos(\theta)}\right))
 = \dfrac{-g}{2v_0^2 . \cos^2(\theta)}\times x^2+ \tan(\theta) \times x})
) est donc égale à 
.
 = 0)
 = 0)
}{g}})
 = \dfrac{-1}{2} g \left(\dfrac{v_0.\sin(\theta)}{g}\right)^2 + v_0. \sin(\theta) \left(\dfrac{v_0.\sin(\theta)}{g}\right))
}{2g}})
 = 0 \Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}g . t^2_p + v_0 . \sin(\theta) . t_p = 0)
.
est non nulle alors on a :
 = 0 \Leftrightarrow t_p = \dfrac{2v_0 . \sin(\theta)}{g})
.
)
.
 = v_0 \cos(\theta) \times \dfrac{2v_0 . \sin(\theta)}{g})
}{g}})
. \cos(\theta) = \sin(2 \theta))
)
(voir le schéma).
séparant le point de départ de la balle et le point d'arrivée 
(voir le schéma).
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