Niveau reprise d'études

Produit vectoriel

Posté par
bakar 23-11-24 à 19:05

Bonjour,

On étudie le mouvement d'un point M dans un référentiel galiléen et on considère un axe D orienté fixe. On fait coïncider l'axe (Oz) avec D et on repère M grâce à ses coordonnées cylindriques :

$\vec{OM} = r\vec{u_{r}} + z\vec{u_{z}}$

$\vec{v} = \dot{r}\vec{u_{r}} + r\dot{\theta }\vec{u_{\theta }} + \dot{z}\vec{u_{z}}$

On peut alors calculer le moment cinétique de M par rapport à O :

$\vec{L_{O}} = m(\vec{OM} \wedge\vec{v}) = m(r\vec{u_{r}} + z\vec{u_{z}})\wedge(\dot{r}\vec{u_{r}} + r\dot{\theta }\vec{u_{\theta }} + \dot{z}\vec{u_{z}}) = m(r^{2}\dot{\theta}\vec{u_{z}} + (\dot{r}z - r\dot{z})\vec{u_{\theta }} - zr\dot{\theta}\vec{u_{r}})$

J'aimerais savoir comment connaître le signe des vecteurs lorsqu'on fait un produit vectoriel. Y a-t-il une méthode particulière pour "deviner" ce signe ?

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par re : Produit vectoriel 23-11-24 à 19:42

Bonjour
Pour visualiser sans calcul la direction et le sens du produit vectoriel de deux vecteurs : $\overrightarrow{V}=\overrightarrow{V_{1}}\wedge\overrightarrow{V_{2}}$ , tu peux utiliser la règle de la main droite.
Si tu orientes ton pouce suivant $\vec {V_1}$ et ton index de la main droite suivant $\vec {V_2}$ de ta main droite, ton majeur donne la direction du produit vectoriel.

Posté par re : Produit vectoriel 23-11-24 à 19:46

illustration ici :
sur le premier schéma : $\overrightarrow{k}=\overrightarrow{i}\wedge\overrightarrow{j}$

Posté par re : Produit vectoriel 23-11-24 à 19:50

Bonjour,

Autre technique : c'est l'ordre du trièdre qui donne la réponse.
Ici le trièdre direct est : $\vec{u_r},\vec{u_\theta},\vec{u_z}$
Le produit vectoriel de deux vecteurs successifs donne le troisième, donc :
- $\vec{u_r} \wedge \vec{u_\theta} = \vec{u_z}$
- $\vec{u_\theta} \wedge \vec{u_z} = \vec{u_r}$ (on circularise : quand on est au bout, on reprend au début)

Posté par re : Produit vectoriel 23-11-24 à 22:01

Merci beaucoup vanoise et gts2 pour vos réponses très utiles, c'est plus clair à présent.

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