Fiche de physique - chimie

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Le dipôle RL

I. La bobine

La bobine est un dipôle constitué d'un enroulement serré de fil conducteur gainé dans un matériau isolant de faible épaisseur et de faible résistance.

Représentation dans un montage :

$(L,r)$

La bobine est dite idéale si sa résistance est nulle.

II. Relation entre intensité et tension d'une bobine

On effectue le montage suivant :

1. La résistance de la bobine est supposée négligeable.

Ecran d'oscilloscope L'expression des droites représentant la tension de la résistance sera $U_R=at+k$ avec a et k deux réels.
Sachant que $U_R=Ri$ , on a $\dfrac{di}{dt}=\dfrac{a}{R}$ .

Concernant la tension $U_{L}$ , elle est constante et soit positive, soit négative.
En calculant le rapport $\dfrac{U_{L}}{\frac{di}{dt}}$ , on trouve que le rapport est constant.

On a donc $\dfrac{U_{L}}{\frac{di}{dt}}=L$

Soit au final $\boxed{U_{L}_{ideale}=L\dfrac{di}{dt}}$

L $\text{[math]}$ est appelée, inductance de la bobine et s'exprime en Henry (H).

2. La résistance de la bobine est supposée non-négligeable

On sait que ${U_{L}_{ideale}=L\dfrac{di}{dt}$ .

Il faut donc ajouter la tension de la résistance interne de la bobine à la tension, dite idéale, de la bobine

$U_L_{ideale}+U_r=L\dfrac{di}{dt}+U_r\Longleftrightarrow U_L_{ideale}+U_r=L\dfrac{di}{dt}+ri\Longleftrightarrow U_L_{reelle}=L\dfrac{di}{dt}+ri$

$\boxed{U_L_{reelle}=L\dfrac{di}{dt}+ri}$

III. Réponse du dipôle RL à un échelon de tension

On réalise le montage suivant :

1. Installation du courant

A la date t=0, on ferme l'interrupteur K.

D'après la loi des mailles : $E=U_r+U_L$
or d'près la loi d'Ohm, $U_r=Ri$ et par définition, $U_L=L\dfrac{di}{dt}+ri$ .

Donc $E=Ri+L\dfrac{di}{dt}+ri$
Finalement,
$\boxed{E=L\dfrac{di}{dt}+i(r+R)}$ : c'est l'équation différentielle de l'installation du courant i dans le dipôle RL.

La résistance totale du circuit est la somme de la résistance R du circuit plus la résistance r de la bobine : $Rt=R+r$

La solution générale de l'équation différentielle est de la forme $\boxed{i(t)=\dfrac{E}{Rt}(1-e^{\frac{-t}{\tau}})}$
Vérification :
$\dfrac{di}{dt}=0\times(1-e^{\frac{-t}{\tau}})+\dfrac{E}{Rt\times\tau}e^{\frac{-t}{\tau}}\Longleftrightarrow\dfrac{di}{dt}=\frac{E}{Rt\times\tau}e^{\frac{-t}{\tau}}$
On sait aussi que $\boxed{\tau=\dfrac{L}{Rt}}$

$\dfrac{di}{dt}=\dfrac{E}{Rt\times\tau}e^{\frac{-t}{\tau}}\Longleftrightarrow\dfrac{di}{dt}=\dfrac{E\times Rt}{Rt\times L}e^{\frac{-t}{\tau}}\Longleftrightarrow \dfrac{di}{dt}=\dfrac{E}{L}e^{\frac{-t}{\tau}}$

D'où

$L\dfrac{di}{dt}+i(r+R)=L\dfrac{di}{dt}+i\times Rt=L\times\dfrac{E}{L}e^{\frac{-t}{\tau}}+\dfrac{E}{Rt}(1-e^{\frac{-t}{\tau}})\times Rt=Ee^{\frac{-t}{\tau}}+E(1-e^{\frac{-t}{\tau}})$

On simplifie ensuite.

$Ee^{\frac{-t}{\tau}}+E(1-e^{\frac{-t}{\tau}})=Ee^{\frac{-t}{\tau}}+E-Ee^{\frac{-t}{\tau}}=E$

Ainsi, la solution proposée vérifie bien l'équation différentielle du circuit.

Expression de U_L(t)
On sait que $U_L=L\dfrac{di}{dt}+ri$

En remplaçant par $\dfrac{di}{dt}$ et $i$ par les données trouvé plus haut, on obtient la tension de la bobine en fonction du temps.

$\boxed{U_L(t)=Ee^{\frac{-t}{\tau}}+r\dfrac{E}{Rt}(1-e^{\frac{-t}{\tau}})}$

2. Rupture du courant

Quand l'intensité à atteint son seuil maximal, on ouvre l'interrupteur K et on considère l'ouverture de l'interrupteur comme la date t=0.

D'après la loi des mailles : $U_r+U_L=0$

or d'après la loi d'Ohm, $U_r=Ri$ et par définition, $U_L=L\dfrac{di}{dt}+ri$

Donc
$\boxed{L\dfrac{di}{dt}+i(r+R)=0}$ : c'est l'équation différentielle de rupture du courant dans le dipôle RL.

La solution de cette équation différentielle est de la forme $\boxed{i(t)=\dfrac{E}{Rt}e^{\frac{-t}{\tau}}}$
Vérification :
$\dfrac{di}{dt}=\dfrac{-E}{Rt\times\tau}e^{\frac{-t}{\tau}}\Longleftrightarrow \dfrac{di}{dt}=\dfrac{-E\times Rt}{Rt\times L}e^{\frac{-t}{\tau}}\Longleftrightarrow \dfrac{di}{dt}=\dfrac{-E}{L}e^{\frac{-t}{\tau}}$ (car $\tau=\dfrac{L}{Rt}$ )

$L\dfrac{di}{dt}+i(r+R)=L\dfrac{-E}{L}e^{\frac{-t}{\tau}}+\dfrac{E}{Rt}e^{\frac{-t}{\tau}}\times Rt=-Ee^{\frac{-t}{\tau}}+Ee^{\frac{-t}{\tau}}=0$
La solution proposée vérifie bien l'équation différentielle du circuit.

3. Expression de U_L(t)

On sait que $U_L=L\dfrac{di}{dt}+ri$
En remplaçant, $\dfrac{di}{dt}$ par les égalités que l'on a au dessus on a l'expression de la tension de la bobine en fonction du temps.

$\boxed{U_L(t)=-Ee^{\frac{-t}{\tau}}+r\dfrac{E}{Rt}e^{\frac{-t}{\tau}}}$

IV. Graphique de la tension aux bornes de la bobine et intensité

1. Intensité du courant et tension aux bornes de la bobine lors de l'établissement du courant

Sur le graphique, R représente la résistance totale du circuit.
On peut voir que le courant ne s'établit pas directement dans le circuit. La cause est la présence de la bobine qui s'oppose à l'apparition du courant.

La constante de temps $\tau$ caractérise le retard que met l'intensité à atteindre sa valeur maximale E/R.
Il y a 3 méthodes pour la calculer.

1er : On utilise la relation $\tau=\dfrac{L}{R_{totale}}$

2ème : On trace la tangente à l'origine. $\tau$ est l'abscisse de l'intersection entre la tangente et la droite E/R

3ème : On sait que $i(t)=\dfrac{E}{Rt}e^{\frac{-t}{\tau}}$ . Lorsque $t=\tau$ , on a $i(t)=0,37\dfrac{E}{Rt}$ donc 37% de l'intensité maximale.
On peut donc déterminer la constante de temps grâce au graphique.

Lorsque $t=5\tau$ , le régime est permanent, la tension a quasiment atteint 0.

On aperçoit une discontinuité au temps t=0

2. Intensité du courant et tension aux bornes de la bobine lors de la rupture du courant

On peut voir que le courant ne "disparaît" directement dans le circuit. La cause est la présence de la bobine qui s'oppose à la "disparition" du courant.

La constante de temps $\tau$ caractérise le retard que met l'intensité à "disparaître".

Il y a 3 méthodes pour la calculer.

1er : On utilise la relation $\tau=\dfrac{L}{R_{totale}}$

2ème : On trace la tangente à l'origine. $\tau$ est l'abscisse de l'intersection entre la tangente et l'axe des abscisses.

3ème : On sait que $i(t)=\dfrac{E}{Rt}(1-e^{\frac{-t}{\tau}})$ . Lorsque $t=\tau$ , on a $i(t)=0,37\dfrac{E}{Rt}$ donc 37% de l'intensité maximale. On peut donc déterminer la constante de temps grâce au graphique.

Lorsque $t=5\tau$ , le régime permanent est atteint, l'intensité est nulle (quasiment car l'axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe).

On aperçoit une autre discontinuité au temps t=0.

La tension d'une bobine est une fonction discontinue du temps.
L'intensité du courant dans un circuit RL est une fonction continue du temps.

V. Analyse dimensionnelle de la constante de temps $\tau$ du dipôle RL

Procédons à une analyse dimensionnelle de $\dfrac{L}{R}$

On considère la résistance de la bobine négligeable.

On a $U=RI\Longleftrightarrow R=\dfrac{U}{I}$ soit $[R]=\dfrac{[U]}{I}$

On a également $U_L=L\dfrac{di}{dt}\Longleftrightarrow L=\dfrac{U_L\times dt}{di}$ soit $[L]=\dfrac{[U]\times T}{I}$

$\dfrac{[L]}{[R]}=\dfrac{[U]\times T\times I}{I\times[U]}=T$

$\dfrac{L}{R}$ est donc bien homogène à une durée.

VI. Energie enmagasinée dans une bobine

L'énergie emmagasinée par une bobine est donnée par la relation suivante :

$E_B=\dfrac{1}{2}Li^2$
L'énergie s'exprime en Joule, l'inductance en Henry (H) et l'intensité en Ampère (A).

Publié par Skops, validée par gbm le 17-02-2020

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