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Oscillation mécanique-phase à l'origine, amplitude et pulsation
Bonjour, je travaille sur cet exercice mais je ne suis pas sur pour les réponses…
Voici l'énnoncé:
Un ressort, de masse négligeable, à spires non jointives, de coefficient de raideur k = 10 N.m-1, peut se déplacer le long d'un axe horizontal x'x orienté vers la droite; on fixe l'une de ses extrémités à un mur et on accroche à l'autre un objet S de masse m = 0,100 kg et de centre d'inertie G.
Lorsque S est en équilibre, la projection sur l'axe horizontal x'x de G coïncide avec l'origine O de l'axe x'x.
L'objet S étant en position d'équilibre, on lui communique une vitesse horizontale, dirigée vers la droite et de valeur = 0,40 m.s-1 à la date t = 0.
Etablir l'équation différentielle du mouvement du centre d'inertie G
du solide S. En déduire l'équation horaire du mouvement de G en précisant les
valeurs numériques de l'amplitude, de la pulsation et de la phase à la
date t = 0.
L'équation différentielle est :
dx^2⧵dt^2 + kx⧵m=0
La solution est de la forme:
x(t)=xm cos(ωt+Φ)
Les conditions initiales sont à t=0:
v=0,4m∕s
élongation=0
On sait que ω=2π⧵T₀=√(k⧵m)=√(10⧵0,1)=10 rad∕s
Par contre, pour calculer l'amplitude qui correspond à xm, sachant que l'objet à t=0 est à l'équilibre, l'amplitude est égale à 0, c'est ça?
Par ailleurs, pour la phase à l'origine, je ne vois pas bien comment les conditions initiales peuvent nous la donner…
Si quelqu'un pouvait m'éclairer s'i-vous plait?
Merci beaucoup
Hello,
le début est nickel =)
Bilan des forces
Donc on applique le PFD :
Ainsi,
La solution général de cette équation est :
Or à t=0 on a x(0)=0 et x'(0)=V0 (la vitesse initiale)
et à t=0 ;
D'après l'équation (1), 
=
/2
D'après l'équation (2), A=-V0/
Mais d'après les formules trigonométrique cos(x+/2)=-sin(x)
Donc
où =k/m
Sauf étourderie =)
Ah ok!!!
Bonjour The Bartov,
je suis d'accord avec toi sauf pour ω=√(k⧵m) je crois plutôt.
j' ai continué à chercher et je trouve ça:
avec x(t)=xm cos(ωt+Φ) ∕
pour t=0 on a : x(0)=xm cos(Φ) ⇔ cos Φ =0 donc Φ=π∕2
ensuite la vitesse est la dérivée du vecteur position:
dx ∕dt=−xmωsin(ωt+Φ) avec t=0 et Φ=π∕2
d'où : dx ∕dt=−xmω car sinπ∕2=1
et dx ∕dt=−xmω = v0⇔ -xm=vo∕ω avec ω=√(k⧵m) soit √(10⧵0,1)=10
donc −xm=0,4/10=-0,04cm
En résumé: l'amplitude xm =-0,04cm, la pulsation ω= 10 rad/s et de la phase à la
date t0 = π∕2
Par contre l'amplitude est négative…c'est normal?
Effectivement. Le code Latex de la racine n'est pas passé. Faut retranscrire ton xm dans l'expressionde x(t). Car c'est seulement dans ton x(t) que ton xm veut dire "amplitude". De plus, si tu mets xm dans l'expression de x(t), on a une nouvelle constante qui vaut xm*(-1) (qui vient de la phase de pi/2. Et c'est cette nouvelle constante -Xm qui est l'amplitute.
S'ils te demandent explicitement x(t)=Xm cos(wt+phi) alors pose Xm=Vo/w et phi=-pi/2 car cos(x-pi/2)=sin(x) (à vérifier sur internet ^^)
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