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Oscillateurs mécaniques

Posté par
Eloge 26-03-20 à 03:14

Bonjour. J'ai des difficultés à résoudre un exercice et je demande votre aide pour le faire.

Exercice:

Un solide S1 de masse m1=50g est lâché sans vitesse initiale en un point A et glisse sans frottements sur un plan incliné d'un angle =30° sur l'horizontal. Après un déplacement AB=L=1m, il aborde un plan horizontal sur lequel il continue à glisser avant de heurter un solide S2 de masse m2=200g immobile avant le choc, fixé à un ressort élastique de raideur K=50N/m. On donne: g=10m.s-2

1. calcule la norme de la vitesse v1 (vecteur) du solide juste avant le choc.

2. Au moment du choc, il y a accrochage des deux solides qui forment un ensemble S de centre de masse G. Cet ensemble glisse sans frottements sur le plan. Calcule la norme v de la vitesse de S après le choc.

3. Montre que l'ensemble S effectue des oscillations. Établis sa loi horaire en choisissant pour instant initial, l'instant du choc.

Esquisse de solution :

1. Calcul de la norme de la vitesse v1 du solide S1 juste avant le choc.
      -Sur le trançon AB
(J'ai fait un schéma du solide sur une pente, représenté les forces et les axes).
     Étude dynamique
Système : solide S1 de masse m1
Référentiel : Terrestre supposé galiléen lié au repère orthonormé (o;i;j)
Bilan des forces : le poids P (vecteur) du solide S1 et la réaction R (vecteur) du support.
TEC: Ec=WFext
EcB-EcA=WP+WR
Or WR=EcA=0
Donc: EcB=WP
EcB=m1gh
½mV12=m1gh
V12=2gh
D'où V1= (2gh)
AN: V1=(2×10×sin(30°))
V1=3,16m.s-1

C'est tout ce que j'ai pu faire pour le moment. Aidez-moi en m'envoyant le lien de la page où je pourrais prendre connaissance de la manière dont je pourrais mieux saisir les caractères telles que les racines carrées ainsi que les vecteurs et je voudrais savoir si j'ai bien fait d'annuler le travail de la réaction R (vecteur) du support. Si oui, pourquoi ?

Posté par
Elogere : Oscillateurs mécaniques 26-03-20 à 03:15

J'oubliais...
J'ajoute que h=ABsin().

Posté par
diracre : Oscillateurs mécaniques 26-03-20 à 06:52

Hello

Pour saisir les caractères ... clique sur le bouton LTX (latex) tu disposes également d'un guide en cliquant sur l'icône en haut et à droite de la page.

Ecrire EcA = WR = 0 est un peu maladroit
Vitesse initiale nulle donc ECA = 0

Réaction du support perpendiculaire au déplacement donc WR = 0

Ce qui répond à ta 2eme question: en l'absence de frottements, la réaction est perpendiculaire au déplacement et donc son travail est nul:

W(\vec{F})_{AB} = \vec{F}.\vec{AB}.cos(\widehat{\vec{F}.\vec{AB}})

ici le cosinus est nul donc

Posté par
Elogere : Oscillateurs mécaniques 26-03-20 à 10:27

Je comprends mieux.
Est-ce que mes résultats et mon raisonnement sont corrects ? Si c'est le cas, pourriez-vous m'aider pour la question 2 ?

Posté par
diracre : Oscillateurs mécaniques 26-03-20 à 12:23

Oui ton raisonnement est correct, il y avait juste une maladresse dans le EC = W = 0

Pour la question 2)

Considère le système S = S1 + S2 et démontre qu'il est pseudo isolé une fois S1 sur le plan horizontal
Tires en une conclusion sur la quantité de mouvement de S1 avant / après le choc

Posté par
Elogere : Oscillateurs mécaniques 26-03-20 à 12:33

Pas de conservation de l'énergie Cinétique ? Le choc est-il par conséquent considéré comme étant mou ?

Posté par
diracre : Oscillateurs mécaniques 26-03-20 à 12:35

Il est en effet parfaitement inélastique

Posté par
Elogere : Oscillateurs mécaniques 26-03-20 à 12:43

Pourquoi ?

Posté par
diracre : Oscillateurs mécaniques 26-03-20 à 19:25

Pourquoi?

Pourquoi pas ...

Bon, presque aussi sérieusement

Le système est pseudo isolé -> conservation de la été de mouvement
(donnée suffisante pour répondre à la question posée, qui précise qu'il y a accrochage entre les 2 solides)

Pour le choc est il inélastique? ... car il n'est pas élastique ... Il serait élastique l'énergie cinétique se conserverait, or le résultat que tu obtien(dra)s ci dessus ne le permet pas .

Posté par
Elogere : Oscillateurs mécaniques 26-03-20 à 19:27

Du fait que les solides s'accrochent, on déduit que le choc est inélastique. C'est ça ?

Posté par
diracre : Oscillateurs mécaniques 27-03-20 à 10:55

Essayons  d'approfondir:

Le système m1 + m2 étant pseudo isolé, sa quantité de mouvement se conserve:

a. Peux tu écrire alors l'expression de la vitesse v du système après le choc?
b. Peux tu ensuite écrire les expressions de l'énergie cinétique du système avant et après le choc?

Si le choc était élastique,, l'énergie se conserverait,  donc le rapport EC(avant) / EC(après) serait égal à 1

Avec le résultat obtenu en b. tu concluras que l'énergie cinétique ne se conserve pas, donc le choc n'est pas élastique, donc il est inélastique

Posté par
Elogere : Oscillateurs mécaniques 27-03-20 à 13:14

L'expression de la vitesse v du système avant le choc est: v=0.
L'expression de la vitesse v du système après le choc est: v≠0.
L'expression de l'énergie cinétique du système avant le choc est par conséquent : Ec=0.
L'expression de l'énergie cinétique du système après le choc est cependant : Ec≠0.
On constate qu'il n'y a pas conservation de l'énergie cinétique. Je comprends mieux ce que vous voulez dire.
À présent, pouvons-nous entrer en profondeur sur la résolution de la question 2 ? Jusqu'à présent, nous n'avons pas beaucoup avancé et j'ai d'autres difficultés à énoncer.
Dans ma résolution de la question 2, j'ai posé S=S1+S2
Avant le choc, la quantité de mouvement de S1 est égale au produit de sa masse par sa vitesse et celle de S2 est nulle car S2 est statique. Compte tenu de la conservation de la quantité de mouvement, j'écris: P=P1+P2. Or P2 étang nulle, il est apparent que la quantité de mouvement du système n'est que celle de S1. Me suis-je trompé ? Si oui, que faut-il faire ?

Posté par
diracre : Oscillateurs mécaniques 27-03-20 à 17:01

hum hum ...  

Citation :
Jusqu'à présent, nous n'avons pas beaucoup avancé


moi je pensais qu'on avancerait bcp lorsque tu aurais répondu à "mes" questions

On considère que la masse m2 étant au repos juste avant le choc -> le ressort est sans effet au moment du choc  -> ce qui permet de considérer le système {m1 + m2} comme pseudo isolé jusqu'à t = 0+  (en choisissant t = 0 au moment du choc)

Soit donc V0+ la vitesse de l'ensemble  {m1 + m2} juste après le choc:

système pseudo isolé:   m_1\times V_1 + m_2 \times 0 = (m_1 + m_2) \times V_{0+}

Donc V_{0+} = \frac{m_1}{m_1+m_2}V_1

L'énergie cinétique du système juste avant le choc est:

Ec_{0-} = \frac{1}{2}m_1.V_1^2 + \frac{1}{2}m_2 \times 0^2 = \frac{1}{2}m_1.V_1^2

Juste après le choc:

Ec_{0+} = \frac{1}{2}(m_1+m_2)V_{0+}^2 = \frac{1}{2}(m_1+m_2)(\frac{m_1}{m_1+m_2}V_1)^2 = \frac{1}{2} \frac{m_1^2}{m_1+m_2}V_1^2

Donc:

\frac{Ec_{0+}}{Ec_{0-}} = \frac{m_1}{m_1+m_2} < 1     dès lors que m2 > 1

Bon au passage , on a réglé la question 2 en écrivant:  V_{0+} = \frac{m_1}{m_1+m_2}V_1

3/ Après le choc le système {m1+m2} est soumis à:

- son poids et la réaction du plan horizontal, qui se compensent, en l'absence de frottement

- la force \vec{F}   de rappel du ressort, proportionnelle à son allongement par rapport à sa longueur à vide, et de valeur algébrique opposée.

Appelons x  cet allongement (cela revient à définir un repère (O,\vec{i}) orienté dans le sens opposé à   \vec{V}_{0+}

La 2nde loi de Newton te dit:

\vec{F} = (m_1+m_2).\vec{a},  où  \vec{a} est l'accélération du système  

Soit projeté sur l'axe du repère

-kx = (m_1+m_2)\frac{d^2x}{dt^2}

Et donc

\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m_1+m_2}x = 0

Dont x(t) = x_0cos(\omega.t +\varphi) est une solution, x_0, \omega   et  \varphi   étant déterminés par les conditions initiales

Te voilà donc porté aussi loin que possible, sauf à faire l'exo à ta place.  La physique, même si c'est différent des maths, passe par de la mise en équations

Posté par
Elogere : Oscillateurs mécaniques 27-03-20 à 20:09

Je vous remercie pour votre aide.

Posté par
diracre : Oscillateurs mécaniques 27-03-20 à 20:43

Euh ...  "Je vous remercie pour votre aide."

Tu peux nous proposer tes rédactions des réponses aux questions2/ et 3/ ? On va pas te lâcher comme cela sans assurance que tu as tout bien assimilé

Posté par
Elogere : Oscillateurs mécaniques 28-03-20 à 03:24

2-/
Réponse: V=0,632m/s
3-/
Pour démontrer que le mobile effectue des oscillations, je démontre et j'obtiens l'expression x+2x=0.
PS: le premier x est "x point"

La loi horaire donné X=0,045Sin(14,14t).

Posté par
diracre : Oscillateurs mécaniques 28-03-20 à 06:30


V=0,632m/s  

le premier x est "x point"   petite coquille le premier x est "x point point"  la dérivée seconde se note  \frac{d^2x}{dt^2} ou bien \ddot{x}

X=0,045Sin(14,14t) peut être plus élégant d'écrire x = 4,5.sin(14,14t), exprimé en centimètres

Posté par
Elogere : Oscillateurs mécaniques 28-03-20 à 14:37

Merci pour vos conseils.
Au sujet de la coquille j'avais remarqué et je pensais avoir modifié mais en fait non.
J'ai une dernière question : lorsque l'on détermine l'équation différentielle du mouvement par la méthode énergétique, on dérive l'énergie mécanique, étant une constante, elle s'annule. Ensuite, on dérive l'autre côté de l'égalité, soit ce que j'appellerai l'expression de l'énergie mécanique. Dans cette expression, nous avons le produit de la masse et de la vitesse au carré (x point) le tout sur deux. Après avoir dérivé, nous avons le produit de la masse, de la vitesse (x point) et de l'accélération (x point point). Je comprends comment le dénominateur 2 de la fraction disparaît, suite à la dérivée, le carré de la vitesse (x point) multiplie le produit et simplifie la fraction. Mais comment apparaît l'accélération (x point point) ?

Posté par
diracre : Oscillateurs mécaniques 28-03-20 à 14:58

Euh ... suis pas sûr d'avoir suivi. Comme je te le disais l'autre jour, n'hésite pas à écrire des équations.

Donc l'énergie mécanique du système s'écrit:

Em = Ec + Ep = \frac{1}{2}m(\dot{x})^2 + \frac12kx^2

En l'absence de travail de forces non conservatives, l'énergie mécanique se conserve, donc sa dérivée par rapport au temps sera nulle.

Des cours de maths on se souvient que  (f^2(x))' = 2f(x)f'(x)  et donc que (f'^2(x))' = 2f'(x)f''(x)

Donc la dérivée de (\dot{x})^2    est   2\dot{x}\ddot{x}        tiens l'accélération vient de faire surface!  
Donc la dérivée de x^2    est   2x\dot{x}

A toi?

Posté par
Elogere : Oscillateurs mécaniques 28-03-20 à 15:10

Je vois.

Posté par
Elogere : Oscillateurs mécaniques 28-03-20 à 15:11

Merci.


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