Niveau terminale

mouvement circulaire uniforme

Posté par
Reskina 30-12-15 à 01:28

Bonjour,
dans le cours sur le mouvement circulaire uniforme d'un satellite autour d'un astre, quand on démontre que l'accélération centripète vaut v² / r, on utilise comme relation que v = 2 r / T ... Or cela me pose problème.
Je veux bien admettre que, comme le satellite se déplace à vitesse constante, il parcourt une longueur d'arc de cercle de 2 r / T en unité de temps, ça oui, mais que cette "pseudo-vitesse", cette "vitesse circulaire", la vitesse à laquelle il se déplace le long de la trajectoire, que ça, ce soit égal à la norme du vrai vecteur vitesse, ça coule pas de source pour moi.
Quelqu'un peut m'éclairer ? Merci =)

Posté par re : mouvement circulaire uniforme 30-12-15 à 08:46

Salut,

J'avais fait il y a peu un rappel de première à un membre, je vais l'adapter ici :

Définition :
En mécanique, la vitesse angulaire ou vitesse de rotation est la dérivée première, par rapport au temps, de la coordonnée angulaire d'un système en rotation.

Unités :
Le radian par seconde (rad/s ou rad·s^-1) est l'unité dérivée du Système international d'unités pour la vitesse angulaire.

Rappels sur les conversions :

$\boxed{1 ~tr = 2 \pi ~rad} \\ \\ \boxed{1 ~min = 60~s}$

Cas particulier de la révolution complète :
Dans le cas d'une révolution complète, accomplie en une période $T$ , est égale à $2 \pi$ radians. Un radian est donc parcouru en $\dfrac{T}{2\pi}$ .

La vitesse angulaire, qui décrit le nombre d'unités d'angle parcourues par unités de temps, en est l'inverse $\boxed{\textcolor{red}{\omega =\dfrac{2\pi}{T}}}$ (relation 1)

Cas général :
Soit un bout arc $d\theta$ parcouru pendant la durée $dt$ , alors la vitesse angulaire s'écrit $\omega = \dfrac{d \theta}{dt}$ .

Vitesse linéaire :
En cinématique, la vitesse est une grandeur qui mesure pour un mouvement, le rapport de la distance parcourue au temps écoulé.

${\text{vitesse moyenne du parcours}}={\dfrac {\text{distance parcourue}}{\text{temps de parcours}}} = \dfrac{d}{T}$

Relation entre vitesse linéaire et vitesse angulaire :
Soit un solide en rotation autour d'un axe fixe à la vitesse angulaire $\omega$ . La vitesse linéaire $v$ d'un point distant d'un rayon $r$ par rapport à l'axe sera :

$\boxed{\textcolor{red}{v = r \times \omega}}$ (relation 2)

Unités :
$r$ en $m$
$\omega$ en $rad/s$

Rappel important :
Si on te donne le diamètre D au lieu du rayon R, alors :

$R = \dfrac{D}{2}$ également en m.

__________________________

Ainsi, en combinant les relations 1 et 2 présentées ci-dessus, pour un tour complet pendant une période T, on retrouve

$\boxed{v = r \times \omega = r \times \dfrac{2 \pi}{T}}$

Posté par re : mouvement circulaire uniforme 30-12-15 à 14:48

D'accord, merci d'avoir répondu ^^
Je suis peut-être trop méfiant face à ces formules qui doivent être plus évidentes que ce que je pensais ...
Pour reprendre tes notation, j'avais en fait du mal à admettre que ce que tu appelles la vitesse linéaire ("le rapport de la distance parcourue au temps écoulé") soit la même chose que la norme du vecteur vitesse, mais je crois que je me prends un peu trop la tête

Posté par re : mouvement circulaire uniforme 31-12-15 à 09:52

Si tu veux, en général : le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire du mouvement, c'est ce qu'on semble appeler "linéaire" par opposition à la vitesse "angulaire".

C'est bien de chercher à comprendre les formules, car tu remarques que lorsqu'on connaît quelques démonstrations, on est capable de retrouver des formules ==> moins de formules à retenir puisqu'on sait les retrouver !

A+

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