Niveau terminale

Équations horaires et cartésiennes.

Posté par
kamikaz 26-01-21 à 21:47

Bonsoir ,

Merci d'avance.

Un projectile dans le champ de pesanteur avec une vitesse $\vec{V}_{0}$ , de direction inclinée d'un angle $\alpha$ avec l'horizontal.

L'étude du mouvement d'un projectile s'effectue dans le repère $(O ;\vec{i};\vec{j})$ représenté ci après dans trois situations A , B et C.

Établir pour chaque situation :

1) Les équations horaires du mouvement du projectile ;

2) L'équation cartésienne de la trajectoire.

Équations horaires et cartésiennes.

Réponses

Système : le projectile

Référentiel : Terrestre supposé galiléen.

Bilan des forces : Le poids $\vec{P}$ du projectile.

D'après le théorème de l'énergie cinétique :

$\vec{P}=m\vec{a}$

$m\vec{g}=m\vec{a}$

$\vec{g}=\vec{a}=\vec{cste}$ (cste : constante).

$\vec{a}$ et $\vec{g}$ ont la même direction et le même sens.

Le mouvement est uniquement varié.

Le vecteur vitesse du projectile est donc : $\vec{a}t+V_{0}=\vec{g}t+V_{0}$

Le vecteur position $\vec{OG}$ :

$\vec{OG}=\dfrac{1}{2}\vec{g}t²+V_{0}\vec{g}t+\vec{OG_{0}}$

Situation 1

À t = 0s , dans le repère (O ; i ; j ;k) ,

$\vec{a}=\vec{g}\begin{cases} x''=0\\ y''=-g \\z''=0 \end{cases}$

$\vec{V}_{0}\begin{cases} V_{0x}=x'=V_{0}cos\alpha \\ V_{0y}=y'=V_{0}sin\alpha \\ V_{0z}=z'=0 \end{cases}$

$\vec{OG}_{0}\begin{cases} x=0\\ y=0 \\z=0 \end{cases}$

À t ≠ 0 s ,

$\vec{V}\begin{cases} V_{x}=x'=a_{x}t+V_{0x}=V_{0}cos\alpha\\ V_{y}=y'=a_{y}t+V_{0}y=-gt+V_{0}sin\alpha \\V_{z}=z'=a_{z}t+V_{0}t+V_{0z}=0\end{cases}$

==> $\vec{V}\begin{cases} V_{x}=V_{0}cos\alpha\\ V_{y}=-gt+V_{0}sin\alpha \\V_{z}=0\end{cases}$

$\vec{OG}\begin{cases}x=\dfrac{1}{2}a_{x}t²+V_{0x}t+x_{0}=(V_{0}cos\alpha)t\\ y=\dfrac{1}{2}a_{y}t²+V_{0y}t+y_{0}=-\dfrac{1}{2}gt²+(V_{0}sin\alpha)t \\z=\dfrac{1}{2}a_{z}t²+V_{0z}t+z_{0}=0(V_{0}cos\alpha)t\end{cases}$

$\vec{OG}\begin{cases}x=(V_{0}cos\alpha)t\\ y=-\dfrac{1}{2}gt²+(V_{0}sin\alpha)t \\z=0\end{cases}$

Mais je ne vois pas comment faire pour les deux autres cas..

Posté par re : Équations horaires et cartésiennes. 26-01-21 à 21:50

Pour la situation A , l'équation cartésienne de la trajectoire du projectile est : $y=-\dfrac{g}{2V²_{0}cos²\apha}x²+x~tan~x$

Posté par re : Équations horaires et cartésiennes. 26-01-21 à 23:35

Bonjour,

Situation 1:
La marche est bonne mais tu as fait des erreurs :
b) L'énoncé impose un repère à deux dimensions, or tu as utilisé un repère à trois dimensions.
b) Tu annonces l'emploi du théorème de l'énergie cinétique, mais tu utilises en fait la deuxième loi de Newton.
c) Ton vecteur $\overrightarrow{OG_0}$ est faux : A la date t=0 le projectile n'est pas en O

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