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Equation differentielle RC
Bonjour,
Je cherche a comprendre la démarche pour obtenir la solution d'une équation différentielle dans un circuit électrique.
J'arrive a faire le début de la démonstration mais pas la suite...
Pour un circuit RC par exemple,
On a Uc ( tension aux bornes du condensateur), Ur ( tension aux bornes de la résistance et E l'échelon de tension.
On a donc l'équation:
Ur + Uc = E
avec Ur=Rxi, on remplace:
Ri + Uc = E or i=dq/dt
d'ou:
R(dq/dt) + Uc = E et q=UcxC avec C=cste
donc:
RC (dUc/dt) + Uc = E <=> RC (dUc/dt) = - Uc + E <=> (dUc/dt) = -Uc/RC + E/RC (1)
On est face a une équation différentielle du type:
y'=ay+b dont les solutions sont x->ke^a - b/a
avec y=Uc et y'=dUc, x=t, a= -1/RC et b=E ( en effet (E/RC)/(-1/RC)=-E)
Ce qui donne donc en solution:
Uc(t)->ke^(-t/RC) + E (2)
En dérivant (2), sachant -1/RC est la constante,on obtient: k(-1/RC)e^(-t/RC) = k(-e^(-t/RC)/RC)
C'est ici que ça se complique...
Les solutions sont normalement Uc=E(1-e^(-t/RC)) = E-Ee^(-t/RC)
Comment faut-il faire pour renter ce E dans l'équation?
Comment faut-il faire pour en arriver la???
Merci beaucoup.
Bonjour,
Pour déterminer la constante k, il te faut une donnée supplémentaire: par exemple la condition initiale.
Que vaut Uc à t = 0 ?
C'est ça qui bloquait,les conditions initiales! merci.
Je viens de comprendre pour une partie du raisonnement .
J'ai refait la démarche en prenant en condition initiale, pour la charge, a t=0, Uc=0 et je tombe bien sur Uc(t)=E(1-e^(-t/RC)).
Je me lance pour la décharge maintenant, avec t=0 et Uc=E
Merci beaucoup.
.
Comme tu l'as presque dit toi-même mathématiquement, tu as donné la solution GENERALE d'une équation différentielle du premier ordre. Pour obtenir une solution particulière, donc unique, il te faut une contrainte sur la valeur de k.
Pour les équations différentielles du second ordre, il te faut deux contraintes etc.
L'équation de la dynamique de Newton en est un exemple. Une solution unique (une trajectoire unique) est déterminée par les conditions, par exemple initiales, à la fois sur la position et sur la vitesse.
Bonne chance pour la suite.
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