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Equation differentielle
Bonjour,
Je dois déterminer, en appliquant le premier principe de la thermodynamique, l'équation différentielle vérifiée par la température puis la résoudre.
Jusque là j'ai :
dU=C*dT
dQ=h*S*(Text-T)*dt
dU=dQ
C*dT(t) = h*S*(Text-T(t))*dt
(dT(t)/dt) + ((h*S)/C)*T(t) = ((h*S)/C)*Text
La solution de cette équation différentielle est de la forme :
T(t) = A * e-k*t+B
k=h*S/C
Ensuite en substituant la solution dans l'équation différentielle je suis censé obtenir :
-k * A * e-k*t + k * (A * e-k*t+ B) = k * Text
Le problème c'est que je ne comprend pas vraiment à quoi correspond la première partie de l'équation : (-k * A * e-k*t)
Merci d'avance.
Bonjour
Le résultat que tu écrit peut être simplifié par division de tous les termes par k.
On démontre en math que la solution générale de l'équation différentielle peut s'écrire sous la forme d'une somme de deux termes :
1° la solution particulière correspondant au régime permanent c'est à dire à la valeur obtenue au bout d'un temps très long lorsque la température ne varie plus, lorsque (dT(t)/dt) =0. Cette solution est :
Tp=Text.
2° la solution de l'équation avec second membre nul. Cette solution est :
Th(t)=A.e-k.t
D'où la solution générale :
T(t)=A.e-k.t+Text
On obtient la valeur de la constante A à partir du cas particulier t=0.
D'accord, c'est compris.
Mais alors d'où vient le moins en face du k ?
Et pourquoi : dT(t)/dt = -k* A * e−k*t ?
L'équation différentielle avec second membre nul s'écrit :
(dT(t)/dt) + ((h*S)/C)*T(t) =0
soit :
(dT(t)/dt) + k*T(t) =0 avec k=((h.S)/C)
Au niveau terminale, tu peux te contenter de vérifier que :
T(t) = A.e-k.t est bien solution de cette équation différentielle. Il suffit de dériver l'expression de T(t) par rapport à t. J'imagine que tu as étudié en math les exponentielles.
***Edit gbm > bodona : en complément, la fiche relative à ce sujet : 
Modèle du gaz parfait et premier principe de la thermodynamique. Sinon, voici les notions à retenir en maths : 
***
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