Fiche de physique - chimie
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MODELE DU GAZ PARFAIT

PREMIER PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE

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Cette fiche présente certaines notions essentielles pour faire le bilan énergétique d'un système :


la description d'un système thermodynamique ;
le modèle du gaz parfait ;
le 1er principe de la thermodynamique (conservation de l'énergie) ;
les transferts thermiques (conduction, convection, rayonnement).

I. Introduction

1. Notion de thermodynamique

* La thermodynamique est l'étude théorique des systèmes physiques à notre échelle et de leurs échanges d'énergie.

* Issue de l'étude de la machine à vapeur au XIXème siècle, la thermodynamique s'intéresse tout particulièrement au comportement des fluides (gaz / liquides) : parmi ses applications, on trouve les machines thermiques de notre vie quotidienne :
moteur à explosion,
réfrigérateur,
pompe à chaleur,
etc.

* Cette théorie repose sur plusieurs principes très généraux (dont la conservation de l'énergie) ainsi que sur des lois empiriques spécifiques, comme le modèle des gaz parfaits.

* L'ensemble de ces résultats permet de faire le bilan énergétique des systèmes physiques, allant de quelques moles de gaz dans un cylindre au système complet {Terre - atmosphère} par exemple.

2. Notions fondamentales vues en classes de seconde et première

* Cette fiche fait appel à des notions déjà abordées en classe de seconde ou de première :
notions de système physique et fluide ;
description d'un système : notions de température, pression, volume, etc.
phases d'un corps : solide, liquide, gaz.

* Les fiches suivantes permettent de revoir ces notions si nécessaire :
fiches Les transformations physique ;
fiches Statique des fluides ;

II. Système thermodynamique

Définition
Un système thermodynamique est une partie de l'univers qui a une frontière bien délimitée avec le reste du monde (appelé milieu extérieur), et qui peut échanger de l'énergie ou de la matière avec le milieu extérieur.

Modèle du gaz parfait et premier principe de la thermodynamique : image 7
* Exemples :
une pompe à vélo,
un chauffe-eau,
l'atmosphère terrestre,
le Soleil,
etc.

* Remarque : même si la théorie thermodynamique s'applique à tous les systèmes, elle sert essentiellement à étudier les fluides.

1. Différents types de systèmes

Définitions
Un système est ouvert s'il peut échanger de la matière et de l'énergie avec le milieu extérieur.

Un système est fermé s'il peut échanger de l'énergie avec le milieu extérieur, mais pas de matière (la quantité de matière est constante).

Un système est isolé s'il ne peut échanger ni énergie ni matière avec le milieu extérieur.

Un système est incompressible si son volume ne dépend pas de la pression qu'il subit.

2. Variables d'état

* L'état d'un système peut être décrit à l'aide de grandeurs macroscopiques appelées variables d'état. Citons en particulier (ces notions ont déjà été vues en première) :
\text{n} : la quantité de matière (en mol) ;
\text{T} : la température absolue, en kelvin (K), qui mesure l'agitation thermique au niveau microscopique ;
\text{V} : le volume, en m3 ;
\text{P} : la pression, en pascal (Pa) ;
\rho (lettre grecque "rho") : la masse volumique, en kg/m3 ;
\text{M} : la masse molaire en kg/mol.

* Remarques :
Les variables d'état sont interdépendantes : elles vérifient certaines égalités (\rho = \frac{n \times M}{V} par exemple) et sont aussi reliées par des équations d'état qui décrivent le comportement de la matière, comme nous allons le découvrir avec le modèle des gaz parfaits.
Certaines variables d'état ne sont pas toujours bien définies dans un système : si on mélange par exemple de l'eau chaude et de l'eau froide dans un bain, il va falloir attendre quelques instants avant que la température de l'eau ne soit uniforme (c'est-à-dire la même partout dans le système). De même, lors de la détente brutale d'un gaz, il faut attendre un certain temps pour que pression et température s'uniformisent dans le gaz.
En général, les lois de la thermodynamique ne s'appliquent qu'à des états du système où les variables d'état sont définies et uniformes.

* Exemples :
L'air dans une pièce fermée peut être dans l'état suivant : phase gazeuse, n = 2100 mol, T = 293 K (20°C), P = 1 bar, V = 50 m3, rho = 1,3 kg/m3 ;
Le café d'un thermos peut être dans l'état suivant : phase liquide, T = 333 K (60°C), P = 1 bar, V = 1 L, rhoenvironegal 1000 kg/m3.

III. Modèle des gaz parfaits

* Le gaz parfait est un modèle simplifié des gaz, provenant de la synthèse des lois empiriques découvertes à partir de 1750, en particulier la loi de Boyle-Mariotte étudiée en classe de première (cf. fiche "Statique des fluides" ci-dessus).

1. Hypothèses du modèle

* Le modèle des gaz parfaits repose sur les hypothèses suivantes :
les molécules de gaz sont assimilées à des points matériels : leur volume est négligeable devant le volume occupé par le gaz.
les molécules de gaz subissent en permanence des chocs élastiques (= sans perte d'énergie) entre elles et avec les parois, mais toutes les autres interactions moléculaires sont négligées.

* Ces hypothèses sont justifiées dans le cas d'un gaz à basse pression car si le gaz est dilué, la distance entre les molécules est très grande devant la portée des interactions moléculaires : le modèle revient donc à supposer que l'énergie microscopique du gaz est uniquement de l'énergie cinétique (agitation thermique).

2. Équation d'état des gaz parfaits

* Les variables d'état d'un gaz parfait sont reliées par une équation qui régit le comportement du gaz :

Loi des gaz parfaits
Un gaz parfait à l' équilibre et au repos peut être décrit par les variables d'état :

\text{P} : la pression du gaz (en Pa) ;
\text{V} : le volume occupé par le gaz (en m3) ;
\text{n} : la quantité de matière (en moles) ;
\text{R} : la constante des gaz parfaits (8,314 J/K/mol) ;
\text{T} : la température absolue du gaz (en K) :

Celles-ci vérifient l'équation :

\boxed{P \times V = n \times R \times T}

* Exemple :
calculons le volume d'1 mole de gaz parfait à la température de 293 K (20°C) et à la pression atmosphérique (1,013 bar) :

V = \dfrac{n \times R \times T}{P} = \dfrac{1 \times 8,314 \times 293}{101300} = 0,024 ~ m^3 = 24 ~ L

On en déduit qu'une chambre de 5 ~ m \times 4 ~ m \times 2,5 ~ m = 50 ~ m^3 contient \dfrac{50}{0,024} \approx 2100 moles d'air (à 20°C).

* Propriétés :
la loi des gaz parfaits est identique pour tous les gaz ! Ainsi le volume d'une mole de gaz (parfait) ne dépend pas de la nature du gaz.
cette loi permet de retrouver les lois empiriques comme celle de Boyle-Mariotte : en effet si n et T sont constants on vérifie bien que le produit P \times V reste constant.

3. Limites du modèle

* La plupart des gaz (et des mélanges de gaz) se comportent comme un gaz parfait si les conditions suivantes sont respectées :
la pression du gaz est faible (P < 10 bar) ;
la température du gaz n'est pas trop basse : T > 150 K (-123°C).

* En particulier, l'air se comporte comme un gaz parfait à la pression atmosphérique (environegal 1 bar).

IV. Énergie d'un systeme

Définition
* L'énergie est une grandeur physique exprimant la capacité d'un système à effectuer une action, par exemple :
fournir un travail (mécanique) ;
chauffer un corps ;
ou encore émettre de la lumière.

* L'unité internationale d'énergie est le joule (J).

* L'énergie d'un système de décompose en 2 parties :
l'énergie mécanique macroscopique (énergie cinétique et énergie potentielle) ;
et l'énergie mécanique microscopique des atomes (ou molécules) constituant le système.

1. Énergie mécanique macroscopique

* L'énergie mécanique (macroscopique) se manifeste à notre échelle et comprend :
l'énergie cinétique (énergie de mouvement)
et les énergies potentielles d'interaction (énergies de position), comme l'énergie potentielle de pesanteur.

* Elle a déjà été étudiée en classe de première et peut être révisée grâce à cette fiche :

fiches Aspects énergétiques des phénomènes mécaniques

2. Énergie mécanique microscopique (énergie interne)

* Un système contient également une autre forme d'énergie, appelée énergie interne et notée U : elle correspond à l'énergie mécanique du système à l'échelle microscopique. Elle comprend :

l'énergie cinétique des constituants microscopiques du système (atomes / molécules) ;
les énergies potentielles d'interaction au niveau microscopique.


a. Agitation thermique et température absolue

* Dans un corps solide, liquide ou gazeux, les constituants de la matière sont constamment en mouvement (par rapport au centre de masse) et ont donc une certaine énergie mécanique :
Dans le cas simple d'un gaz parfait monoatomique (de l'hélium par exemple), cette énergie est la somme de l'énergie cinétique de translation des atomes du gaz.
Dans un solide, l'énergie provient de la vibration des atomes (ou molécules) autour de leur position moyenne.
La situation dans un liquide est intermédiaire entre le gaz et le solide, avec des interactions intermoléculaires mais aussi des déplacements d'atomes (ou de molécules).
Dans le cas de molécules, il faut aussi prendre en compte l'énergie cinétique de rotation ainsi que l'énergie de vibration des atomes au sein des molécules, comme le montre l'animation ci-dessous :
Modèle du gaz parfait et premier principe de la thermodynamique : image 8


Agitation thermique d'une molécule (d'après Wikipédia, article "Energie thermique")

* La température absolue d'un corps (en K) est une mesure de l'énergie moyenne d'agitation des constituants microscopiques du corps : on parle d'agitation thermique.
* L' agitation thermique (et donc l'énergie interne d'un corps) augmente avec la température. Ainsi, pour un gaz parfait monoatomique, la température absolue est proportionnelle à l'énergie cinétique moyenne des atomes dans le gaz.

* La température absolue est toujours positive. Un corps dont les constituants n'auraient aucune agitation thermique aurait une température absolue de 0 K, appelée zéro absolu (-273°C) : la matière y serait complètement figée. En réalité cet état ne peut être atteint pour des raisons relevant de la théorie quantique. Certains systèmes peuvent toutefois se rapprocher très près du zéro absolu, en laboratoire.


b. Autres énergies microscopiques

* L'énergie interne comprend également d'autres types d'énergies potentielles liées aux interactions entre constituants de la matière. Citons notamment :
l'énergie chimique (énergie de liaisons moléculaires) ;
l'énergie nucléaire.

3. Énergie et variation d'énergie

* L'énergie totale d'un système peut se mettre sous la forme générale suivante :

\boxed{E_{totale} = E_m + \textcolor{blue}{U} = E_c + E_p + \textcolor{blue}{U}}
* La valeur de l'énergie d'un système n'est connue qu'à une constante près : elle n'a pas de sens physique,
\Rightarrow seule la variation de l'énergie a un sens physique :

\boxed{\Delta E = \Delta E_m + \Delta U}
* Lors de l'étude d'un système :
on ne retient donc que les énergies qui peuvent varier lors des transformations,
et on s'appuie sur les lois de la physique pour calculer les variations d'énergie (\Delta U par exemple).

* Dans de très nombreux cas, la variation d'énergie a donc une expression simple, comme nous allons le voir dans la suite.

V. Premier principe de la thermodynamique

1. Conservation de l'énergie

* L'une des grandes lois de la physique moderne est que l'énergie d'un système isolé se conserve : l'univers entier étant isolé, son énergie totale doit se conserver.

Propriété
Lors de toute transformation, il y a conservation de l'énergie.

* Par conséquent :
Au sein d'un système isolé (par exemple un calorimètre), des transferts d'énergie peuvent se produire mais l'énergie totale du système reste constante.
Un système non isolé peut échanger de l'énergie avec l'extérieur. Mais il n'y a aucune création ni disparition d'énergie : ce que le système gagne en énergie est obligatoirement cédé par le milieu extérieur et inversement.

* Le premier principe de la thermodynamique formalise la conservation de l'énergie et relie la variation d'énergie d'un système aux transferts énergétiques avec le milieu extérieur. Il permet ainsi de faire le bilan énergétique de systèmes physiques.

2. Énoncé du premier principe

Premier principe de la thermodynamique
Considérons un système fermé :

son énergie interne U ne dépend que des variables d'état du système ;

si le système est au repos (dans le référentiel d'étude), la variation d'énergie interne lors d'une transformation est égale à la quantité d'énergie échangée par transfert thermique et sous forme de travail:

\boxed{\Delta U = W + Q}

avec :
\Delta U : variation d'énergie interne du système (en J) ;
Q : bilan des transferts thermiques avec l'extérieur (en J) ;
W : bilan du travail des forces (en J).

* Remarques :
Le grand intérêt de ce principe est que \Delta U peut être calculé à partir de l'état initial et de l'état final du système : le résultat ne dépend pas de la transformation réelle qui peut être très difficile à étudier (par exemple une explosion).

Si un système (S) est constitué de deux parties (S1) et (S2), l'énergie interne de (S) est la somme de l'énergie interne de (S1) et de celle de (S2).

Le premier principe de la thermodynamique se généralise à tous les systèmes fermés, en écrivant :

\boxed{\Delta E_c + \Delta U = W + Q}

\Delta E_c est la variation d'énergie cinétique macroscopique (en J).

3. Bilan des transferts thermiques (Q)

* Le transfert thermique est l'échange d'énergie thermique (par abus de langage on parle parfois d'échange de "chaleur"): il s'effectue toujours "du chaud vers le froid", c'est-à-dire du système ayant la température la plus élevée vers celui qui a la température la plus basse.

Q représente la somme algébrique de tous les échanges thermiques

* Par convention :
une quantité de chaleur reçue par le système est comptée positivement ;
une quantité de chaleur cédée par le système (au milieu extérieur) est comptée négativement.

* Exemple : l'eau d'une piscine (à 25°C) est en contact avec l'air ambiant (à 30 °C). La piscine "se réchauffe" càd qu'elle reçoit de l'énergie thermique de l'air ambiant : cette énergie doit être comptée positivement si le système étudié est la piscine.

4. Bilan du travail (W)

* Le transfert d'énergie peut résulter aussi du travail des forces ou de l'échange d'autres formes d'énergie, comme de l'énergie électrique. Par exemple :
le travail des forces de pression ;
le travail fourni par un moteur ;
l'énergie électrique fournie par une pile (et assimilée à un travail électrique).

W représente la somme algébrique des travaux mécaniques (ou assimilés)

* Par convention :
un travail reçu par le système est compté positivement.
un travail fourni par le système (au milieu extérieur) est compté négativement.

* Exemples :
le moteur d'une grue soulevant une charge fournit un travail mecanique W à l'extérieur (c'est-à-dire la charge) : W sera donc compté négativement si le système étudié est la grue.
un appareil électrique de puissance P fonctionnant pendant une durée deltamajt reçoit du réseau une énergie électrique positive : Eélec = P deltamajt dont il faut tenir compte dans le bilan du travail W.

5. Cas des systèmes incompressibles

* Un système incompressible est un système dont le volume ne varie pas lorsqu'il est soumis à des forces de pression. C'est le cas des liquides et des solides. En revanche les gaz sont compressibles.
Variation d'énergie interne d'un système incompressible
Considérons un système fermé incompressible au repos :
Lors d'une transformation(*), la variation de son énergie interne a pour valeur :

\boxed{\Delta U = C \times \Delta T = m \times c \times \Delta T}

avec :
C : (majuscule) capacité thermique du système (en J/K) ;
c : (minuscule) capacité thermique massique du système (en J K-1 kg -1) ;
m : masse du système (en kg) ;
\Delta T : écart de température entre l'état initial et l'état final ; (\Delta T = T_{final} - T_{initial}), exprimé en K ou en °C.

(*) En l'absence de changement de phase et de réaction chimique ou nucléaire.

* Remarque :
Appliquons le premier principe à un corps incompressible échangeant de l'énergie thermique avec l'extérieur. Le volume ne variant pas, on admettra que les force de pression ne travaillent pas, et en l'absence de tout autre travail (W = 0) nous pouvons écrire :

\Delta U = W + Q = Q = m \times c \times \Delta T

Nous retrouvons une loi appliquée en calorimétrie : \boxed{Q = m \times c \times \Delta T}.

* Attention !
La formule ci-dessus ne s'applique pas s'il y a changement de phase, par exemple de l'eau qui bout ou qui gèle.

6. Cas des gaz parfaits

* Les gaz étant compressibles, la formule précédente ne s'applique pas.
* Dans le cas d'un gaz parfait, la variation d'énergie interne a toutefois une expression analogue :

Variation d'énergie interne d'un gaz parfait
Considérons un système fermé constitué d'un gaz parfait au repos :
Lors d'une transformation(*), la variation de son énergie interne a pour valeur :

\boxed{\Delta U = C_v \times \Delta T = m \times c_v \times \Delta T}

avec :
C_v : (majuscule) capacité thermique (isochore) du gaz (en J/K) ;
c_v : (minuscule) capacité thermique massique (isochore) du gaz (en J K-1 kg -1) ;
m : masse de gaz (en kg) ;
\Delta T : écart de température entre l'état initial et l'état final ; (\Delta T = T_{final} - T_{initial}), exprimé en K ou en °C.

(*) En l'absence de changement de phase et de réaction chimique ou nucléaire.



VI. Modes de transfert thermique

1. Introduction

* L'expérience montre que deux corps en contact et de températures différentes échangent de la chaleur : ce transfert d'énergie thermique a toujours lieu du corps "chaud" vers le corps "froid", c'est-à-dire du corps qui a la température la plus élevée vers celui qui a la température la plus basse.

* D'autre part, tout corps rayonne de l'énergie thermique vers l'extérieur sous forme d'ondes électromagnétiques.

* Les physiciens classent les divers transferts thermiques en 3 catégories (ou modes) :
la conduction ;
la convection ;
et le rayonnement.

2. La conduction

Définition
On appelle transfert par conduction tout transfert thermique s'effectuant dans la matière par contact et sans déplacement de fluide.

* Exemples :
si on plonge une cuillère en métal (à 20°C) dans une tasse de café (à 40°C), sans remuer le café, de l'énergie thermique va spontanément être échangée par conduction entre le café et la cuillère, du corps chaud (le café) vers le corps froid (la cuillère) : l'énergie interne (c'est-à-dire l'agitation thermique) du café va être partiellement transmise à la cuillère du fait des chocs permanents entre les molécules constituant le café et les atomes du métal. De plus, à l'intérieur de la cuillère , la chaleur va également se propager de proche en proche, de l'extrémité chaude (en contact avec le café) à l'autre extrémité (plus froide).
si on prend un glaçon dans la main, un transfert thermique par conduction s'établit immédiatement : la peau cède de l'énergie interne au glaçon qui va se réchauffer puis fondre. C'est cet échange de chaleur qui donne la sensation de froid.

3. La convection

Définition
On appelle transfert par convection tout transfert thermique s'effectuant dans la matière par contact et avec déplacement de fluide.

* Exemple :
lorsque l'on pose une casserole d'eau sur une plaque chauffante, l'eau chauffe au fond de la casserole et sa densité diminue ce qui la fait remonter tandis que de l'eau plus froide descend vers le fond et se réchauffe à son tour. Ces mouvements d'eau dans la casserole, appelés mouvements de convection, provoquent des échanges thermiques importants entre la casserole et l'eau. On a un phénomène très semblable lorsqu'on chauffe l'air d'une pièce avec un radiateur.

* Remarque :
Très souvent, les phénomènes de convection et de conduction se produisent en même temps. C'est le cas lorsque de l'eau chauffe dans une casserole. En général, les échanges par convection sont alors prédominants.

4. Le rayonnement

Définition
On appelle transfert par rayonnement tout transfert thermique s'effectuant par propagation d'ondes électromagnétiques, dans la matière ou dans le vide.

* Exemple :
Le Soleil rayonne de la chaleur dans tout le système solaire, et la Terre reçoit une toute petite fraction de cette énergie thermique par rayonnement.

* Remarques :
Tout corps rayonne de l'énergie thermique vers l'extérieur : c'est une conséquence de l'agitation thermique.
Ainsi, sur terre, tout corps rayonne de l'énergie mais recoit aussi du rayonnement de son environnement (par ex. du sol ou de l'air ambiant qui rayonnent de l'énergie, même la nuit).
Plus la température est élevée, plus le rayonnement est important.
Aux températures usuelles, le rayonnement reste toutefois faible. En revanche, un four, un feu de bois ou encore une étoile comme le Soleil peuvent rayonner des quantités d'énergie importantes.
Dans le vide, les transferts par rayonnement sont possibles, mais la convection est impossible.

VII. Expression du flux thermique

1. Définitions

Flux thermique
Le flux thermique ou flux de chaleur, noté \Phi (lettre grecque "phi" majuscule), est la quantité d'énergie thermique (Q) échangée par unité de temps :

\boxed{\Phi = \dfrac{Q}{\Delta t}}


Le flux thermique s'exprime en J/s ou encore en W : c'est donc une puissance.

Densité de flux thermique
Lorsque le flux thermique s'effectue à travers une surface S, on peut aussi définir une densité de flux thermique notée \varphi (lettre grecque "phi" minuscule) telle que :

\boxed{\varphi = \dfrac{\Phi}{S}\ = \dfrac{Q}{S \times \Delta t}}

La densité de flux thermique s'exprime en W/m2 : c'est une puissance par unité de surface (puissance surfacique).

L'expression du flux thermique dépend du type de transfert thermique.

2. Conduction thermique à travers une paroi

* Soit une paroi solide homogène (un mur par exemple), en forme de plaque d'épaisseur e et dont les faces opposées ont chacune une surface S (en bleu sur la figure). On néglige les échanges thermiques à travers les surfaces latérales (en gris et en blanc sur le dessin) :
Modèle du gaz parfait et premier principe de la thermodynamique : image 9
a. Flux thermique de conduction

* Si les deux faces sont à des températures différentes (T1 > T2), un transfert thermique s'effectue spontanément par conduction dans la paroi : ce transfert est caractérisé par un flux thermique \Phi qui est la puissance thermique traversant la paroi .

* En régime stationnaire (= les températures T1 et T2 ne dépendent pas du temps), le flux thermique est constant et proportionnel à l'écart de température entre les deux faces opposées : il est donné par la relation :

\boxed{\Phi = \dfrac{T_1 - T_2}{R_{th}}}

avec :
\Phi : flux thermique de conduction (en W) ;
T_1 - T_2 : écart de température entre les deux faces de la paroi (en K ou en °C) ;
R_{th} : résistance thermique du matériau de la paroi (en K/W).


b. Résistance thermique et conductivité thermique

* La formule précédente montre que plus la résistance thermique Rth est élevée, plus le flux thermique (et donc la dissipation d'énergie) est faible (pour un écart de température donné).

* Dans le cas d'une paroi solide homogène, la résistance thermique s'exprime de la manière suivante :

\boxed{R_{th} = \frac{e}{\lambda \times S}}

avec :
R_{th} : résistance thermique du matériau de la paroi (en K/W) ;
e : épaisseur de la paroi (en m) ;
S : surface d'échange (en m2) ;
\lambda : conductivité thermique du matériau (en W.m-1.K-1).

* La conductivité thermique \lambda est une caractéristique du matériau : elle est élevée pour les bons conducteurs thermiques (comme les métaux) et faible pour les isolants thermiques (comme l'air ou le polystyrène).

Le tableau suivant donne la valeur de lambda pour quelques matériaux courants :

Matériau Conductibilité thermique (en W.m-1.K-1)
cuivre 390
verre 1,2
béton 0,92
laine de verre 0,03

3. Convection contre une paroi

* Lorsqu'un fluide est au contact d'une paroi, il peut se produire des échanges thermiques par convection liées au mouvement du fluide.

Modèle du gaz parfait et premier principe de la thermodynamique : image 12


a. Flux thermique de convection (loi de Newton)

* Le flux thermique convectif (= dû à la convection) est proportionnel à l'écart entre la température T du fluide et celle de la paroi (Tparoi) et s'écrit:

\boxed{\Phi = h \times S \times (T - T_{paroi})}
avec :
\Phi : flux thermique de convection (en W) ;
T -T_{paroi} : écart de température entre le fluide et la paroi (en K ou en °C) ;
h : coefficient d'échange thermique (en W m-2 K-1) ;
S : surface d'échange entre le fluide et la paroi (en m2) .

* Pour une paroi verticale avec un écoulement naturel d'air (à des températures proches de 20°C) , l'ordre de grandeur du coefficient de convection pour l'air est: h environegal 10 W m-2 K-1.


b. Résistance thermique de convection

* La formule précédente montre que le flux thermique de convection peut se mettre sous la forme :

\boxed{\Phi = \dfrac{T -T_{paroi}}{R_{th}}}

R_{th} = \dfrac{1}{h \times S}} est appelée résistance thermique de convection (par analogie avec le cas de la conduction).

4. Rayonnement

* Tout corps noir à une température T émet un rayonnement électromagnétique. La loi de Stefan-Boltzmann exprime la densité de flux thermique rayonné \varphi en fonction de la température T :

\boxed{\varphi = \sigma \times  T^4 }
avec:
\varphi : flux thermique surfacique émis par le corps (en W.m-2) ;
\sigma : constante de Stefan-Boltzmann égale à 5,67 10-8 W.m-2.K-4 ;
T : température absolue du corps (en K).

* En réalité, les corps ne se comportent pas comme des corps noirs et la puissance rayonnée par unité de surface s'écrit alors :

\boxed{\varphi = \epsilon \times \sigma \times T^4 }

avec :
\epsilon : coefficient empirique appelé émissivité du corps (compris entre 0 et 1). Bien entendu, \epsilon = 1 pour un corps noir.

VIII. Évolution de la température d'un système incompressible

1. Loi phénoménologique de Newton

* Considérons un système fermé incompressible, de température uniforme T, en contact avec un fluide extérieur sur une surface S (en bleu sur la figure):

Modèle du gaz parfait et premier principe de la thermodynamique : image 11

* Le fluide est supposé avoir une la température Text constante (par exemple l'air ambiant à 20°C).

* Si le système échange uniquement de l'énergie thermique avec l'extérieur (et donc aucun travail n'est effectué), le premier principe de la thermodynamique s'écrit :

\boxed{ \Delta U = Q = \Phi \times \Delta t } (car W = 0) ou encore: \boxed{ \dfrac{\Delta U}{\Delta t} = \Phi }

avec \Delta t étant la durée de l'échange thermique, et \Phi le flux thermique échangé avec le fluide. Si on fait tendre \Delta t vers 0 on obtient alors, par définition de la dérivée :

\boxed{ \dfrac{dU}{dt} = \Phi } (1)

Cette relation est valable à tout instant t.

* D'autre part, pour un système fermé incompressible nous savons que : \boxed{ dU = m \times c \times dT } et que le flux thermique de convection a pour expression : \boxed{ \Phi = h  \times S \times (T_{ext} - T) }

On obtient donc finalement, en substituant dans l'équation (1) :

 \boxed{ m \times c \times \frac{dT}{dt} = h \times S \times (T_{ext} - T) }

ou encore :

 \boxed{ \frac{dT}{dt} = k \times (T_{ext} - T), avec \;  k = \dfrac{h \times S }{m \times c} = cste }

(ATTENTION ! ne pas confondre le temps t avec la température T)


* Cette loi, déjà énoncée par Isaac Newton, stipule que la variation de température d'un système au cours du temps ( \frac{dT}{dt}) est proportionnelle à la différence de température entre ce système et le milieu environnant (ici le fluide). Elle n'est valable que pour un système fermé incompressible et à certaines conditions (voir ci-dessus). Ainsi, elle ne s'applique pas si le système échange un rayonnement thermique important.

* Ce type de relation est appelée une équation différentielle: l'inconnue n'est pas un nombre, mais une fonction, ici la fonction T(t).

2. Résolution de l'équation différentielle

* La loi phénoménologique de Newton est une équation différentielle pouvant se mettre sous la forme :

\boxed{\dfrac{dT}{dt} + \dfrac{T}{\tau} = \dfrac{T_{ext}}{\tau}, avec \;  \tau = \dfrac{1}{k} = \dfrac{m \times c}{h \times S} = cste }

* La constante  {\tau} s'interprète comme un temps caractéristique d'évolution du système car nous allons voir que le système atteint la température extérieure, à 1 % près, au bout d'une durée de 5  {\tau} .

* Nous admettrons que la solution générale de cette équation est de la forme :

\boxed{ T(t) = A \; exp(\frac{-t}{\tau}) + B } , où A et B sont des constantes.

B peut être déterminé en remarquant que \lim \limits_{t \rightarrow +\infty} T(t) = B (car \lim \limits_{t \rightarrow +\infty} exp(\frac{-t}{\tau}) = 0) et que le système évolue vers un état d'équilibre où T = Text, donc \lim\limits_{t \rightarrow +\infty} T(t) = \boxed{T_{ext} = B }

* Par ailleurs, si le système a la température Ti à l'instant t = 0, on en déduit que T_i = A  . exp(0) + B = A + B donc A = T_i - T_{ext}

* La température T du système en fonction du temps t a donc finalement pour expression :

\boxed{ T(t) = T_{ext} + (T_i - T_{ext}) . exp(\dfrac{-t}{\tau})}

3. Evolution de la température

* La courbe suivante est une représentation graphique de la fonction T(t) lorsque Ti > Text (donc le système se refroidit au contact du milieu extérieur)

Modèle du gaz parfait et premier principe de la thermodynamique : image 10

* On remarque que la fonction décroit sans jamais atteindre Text. Elle se rapproche beaucoup de son asymptote au bout d'une durée de 5 \tau, qui est la durée au-delà de laquelle on estime que la température Text est atteinte (à 1% près).

IX. Application

* Considérons une maison dont les murs d'épaisseur e sont en béton et ont une surface intérieure totale S. Le système étudié est l'air contenu dans la maison.

* Cherchons la puissance de chauffage P nécessaire à maintenir l'air intérieur à la température T_i, si l'air extérieur a pour température T_{ext} < T_i.

1) On applique tout d'abord le premier principe de la thermodynamique, en écrivant : \Delta U = W + Q.

Comme l'air ne change pas de volume, W = 0 donc \Delta U = Q

2) L'air étant considéré comme un gaz parfait, on a de plus la relation : \Delta U = m \times c_v \times \Delta T = 0 puisqu'on veut que l'air garde la même température (\Delta T = 0).

3) On en déduit : Q = \Delta U = 0, la somme des transferts thermiques est donc nulle.

4) L'air intérieur recoit d'un côté une puissance thermique de chauffage (P > 0) et cède à travers les murs un flux thermique de conduction (\Phi < 0).

On en déduit que sur une durée \Delta t : Q = (P + \Phi) \times \Delta t = 0 donc P + \Phi = 0 ou encore P = -\Phi.

5) Enfin, le flux de conduction : \Phi = \dfrac{T_{ext} - T_i}{R_{th}} où Rth est la résistance thermique des murs et vaut : R_{th} = \dfrac{e}{\lambda_{béton} \times S}

On en déduit la puissance de chauffage :

\boxed{P = -\Phi = (T_i - T_{ext}) \times \dfrac{\lambda_{béton} \times S}{e}}

Application numérique : pour e = 30cm, S = 100 m2, Ti = 20°C, Text = 5°C, lambdabéton = 0,92 USI

P = \dfrac{15 \times 0,92 \times 100}{0,30} = 4600 ~ W


* Remarque : P est largement sous évaluée car il faut aussi tenir compte des pertes thermiques par le sol, par le toit et par les ouvertures (portes, fenêtres).

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