Niveau terminale

Equa Diff

Posté par
DarkVaDehors 11-05-11 à 18:04

Bonjour a tous,

Je galere un peu sur la 3eme question d'un exo dont voici l'énoncé:

"Un oscillateur est formé d'un dispositif solide-ressort horizontal. Le ressort de masse négligeable et à spires non jointives a une constante de raideur k. Le solide(S), de masse m=100g repose sur un banc a coussin d'air. A l'équilibre, le centre d'inertie G coincide avec l'origine O du repere.

3°) En appliquant le 2nde loi de Newton, établir l'équation différentielle du centre d'inertie et montrer que sa solution est de forme : x=Xm*cos(((2Pi/To)*t+phi0))"

J'ai trouvé que l'equation differentielle est d²x/dt²+(k/m)*x=0, mais je ne vois pas comment montrer que sa solution est de forme :x=Xm*cos(((2Pi/To)*t+phi0))

Si quelqu'un pouvait m'aider ce serait cool, car j'ai beaucoup de mal avec les equa diff en physique.

Posté par re : Equa Diff 11-05-11 à 19:31

Bonsoir,
Il suffit de calculer d²x/dt² avec x=Xm*cos(((2Pi/To)*t+phi0)).
Ensuite on remplace dans l'équation différentielle et on vérifie que c'est bon...
C'est un moyen (le plus simple), ce n'est pas le seul...

Posté par re : Equa Diff 11-05-11 à 19:34

On peut aussi dire (si on le sait) que cette équation différentielle a une solution de la forme :
A cos((k/m)t) + B sin((k/m)t).

Posté par re : Equa Diff 11-05-11 à 23:02

Si j'ai bien compris faut remplacer x par Xm*cos(((2Pi/To)*t+phi0)) ?

C'est faisable ca ? Parce que j'arrive a rien -_-

Merci pour vos reponses.

Posté par re : Equa Diff 12-05-11 à 13:09

La question est un peu ambigüe. "montrer", ce n'est pas "vérifier"...
As-tu appris à résoudre les équations différentielles du second ordre ? On ne l'apprend pas en terminale S mais, pour certaines terminales, je sais que c'est au programme...
Alors, on peut essayer les deux méthodes.
La "vérification" :
$3$x\,=\,X_m\,cos\left(\frac{2\pi}{T_0}\,t\,+\,\varphi_0)$
$3$\frac{dx}{dt}\,=\,-\,\frac{2\pi}{T_0}\,X_m\,sin\left(\frac{2\pi}{T_0}\,t\,+\,\varphi_0)$
$3$\frac{d^2x}{dt^2}\,=\,-\,\frac{4\pi^2}{T_0^2}\,X_m\,cos\left(\frac{2\pi}{T_0}\,t\,+\,\varphi_0)$
Dans l'équation :
$3$-\,\frac{4\pi^2}{T_0^2}\,X_m\,cos\left(\frac{2\pi}{T_0}\,t\,+\,\varphi_0)\,+\,\frac{k}{m}\,X_m\,cos\left(\frac{2\pi}{T_0}\,t\,+\,\varphi_0)\,=\,0$
$3$\left(\frac{k}{m}\,-\,\frac{4\pi^2}{T_0^2})X_m\,cos\left(\frac{2\pi}{T_0}\,t\,+\,\varphi_0)\,=\,0\,\Rightarrow\,\frac{k}{m}\,-\,\frac{4\pi^2}{T_0^2}\,=\,0\,\Rightarrow\,\frac{k}{m}\,=\,\frac{4\pi^2}{T_0^2}\,\Rightarrow\,\fbox{\frac{2\pi}{T_0}\,=\,sqrt{\frac{k}{m}}}$
D'où la solution :
$3$\fbox{x\,=\,X_m\,cos\left(sqrt{\frac{k}{m}}\,t\,+\,\varphi_0)}$ avec $3$T_0\,=\,2\pi\,sqrt{\frac{m}{k}}$

On pourra essayer l'autre méthode quand tu auras répondu à la question du début du message...

Posté par re : Equa Diff 12-05-11 à 17:44

Oula ...

Oui on a vu rapidement les dérivées secondes, enfin je sais qu'il faut dériver la dérivée.

Merci beaucoup, ca répond a ma question et je pense avoir compris

Néanmoins si vous avez le temps et le courage de me montrer une deuxieme methode, je veux bien voir par curiosité.

Posté par re : Equa Diff 12-05-11 à 22:24

Oui, la dérivée seconde est la dérivée de la dérivée.
$3$\frac{d^2x}{dt^2}\,=\,\frac{d}{dt}(\frac{dx}{dt})$
Lorsqu'on a une équation différentielle de la forme :
$3$\frac{d^2x}{dt^2}\,+\,\omega_0^2x\,=\,0$       (en posant $2$\omega_0^2\,=\,\frac{k}{m})$
une solution est de la forme :
$3$x\,=\,A\,cos\omega_0 t\,+\,B\,sin\omega_0 t$

Pourquoi ?... Il suffit de calculer :
$3$\frac{dx}{dt}\,=\,-A\omega_0\,sin\omega_0 t\,+\,B\omega_0\,cos\omega_0 t$
$3$\frac{d^2x}{dt^2}\,=\,-A\omega_0^2\,cos\omega_0 t\,-\,B\omega_0^2\,sin\omega_0 t$
Donc en remplaçant dans l'équation différentielle :
$3$\frac{d^2x}{dt^2}\,+\,\omega_0^2x\,=\,-A\omega_0^2\,cos\omega_0 t\,-\,B\omega_0^2\,sin\omega_0 t\,+\,A\omega_0^2\,cos\omega_0 t\,+\,B\omega_0^2\,sin\omega_0 t\,=\,0$
Donc   $3$x\,=\,A\,cos\omega_0 t\,+\,B\,sin\omega_0 t$   est solution de de l'équation différentielle.

A l'aide de quelques tours de passe-passe trigonométriques, on peut montrer que   $3$x\,=\,A\,cos\omega_0 t\,+\,B\,sin\omega_0 t$   est la même chose que   $3$x\,=\,X_m\,cos(\omega_0 t\,+\,\varphi_0)$
$3$x\,=\,A\,(cos\omega_0 t\,+\,\frac{B}{A}\,sin\omega_0 t)$
On pose   $3$tan\varphi_1\,=\,\frac{B}{A}$    et  on a $3$tan\varphi_1\,=\,\frac{sin\varphi_1}{cos\varphi_1}$
$3$x\,=\,A\,(cos\omega_0 t\,+\,\frac{sin\varphi_1}{cos\varphi_1}\,sin\omega_0 t)$
$3$x\,=\,\frac{A}{cos\varphi_1}\,(cos\omega_0 t\,cos\varphi_1\,+\,sin\varphi_1\,sin\omega_0 t)$
D'une part :
$3$cos\omega_0 t\,cos\varphi_1\,+\,sin\omega_0 t\,sin\varphi_1\,=\,cos(\omega_0 t\,-\,\varphi_1)$
Et d'autre part :
$3$\frac{1}{cos^2\varphi_1}\,=\,1\,+\,tan^2\varphi_1\,\Rightarrow\,\frac{1}{cos\varphi_1}\,=\,\sqrt{1\,+\,tan^2\varphi_1}\,=\,\sqrt{1\,+\,\frac{B^2}{A^2}}\,=\,\frac{\sqrt{A^2+B^2}}{A}$
D'où :
$3$x\,=\,A\frac{\sqrt{A^2+B^2}}{A}\,cos(\omega_0 t\,-\,\varphi_1)$
$3$x\,=\,\sqrt{A^2+B^2}\,cos(\omega_0 t\,-\,\varphi_1)$
On pose :
$3$X_m\,=\,\sqrt{A^2+B^2}$
et
$3$\varphi_0\,=\,-\,\varphi_1$
Et on obtient :
$3$\fbox{x\,=\,X_m\,cos(\omega_0 t\,+\,\varphi_0)}$    avec   $3$\omega_0\,=\,\frac{2\pi}{T_0}$

On a deux inconnues selon la forme que l'on choisit : $A\,\,et\,\,B\,\,ou\,\,X_m\,\,et\,\,\varphi_0$
Il faut établir un système de deux équations à deux inconnues :
à t = 0, on a
$3$x(0)\,=\,X_m\,cos\varphi_0$
$3$\frac{dx}{dt}(0)\,=\,-\omega_0\,X_m\,sin\varphi_0$
$x(0)$   et   $\frac{dx}{dt}(0)$   étant connus, on peut trouver $X_m$   et $\varphi_0$ .

J'ai dû déborder un peu du cadre de l'exercice mais j'ai dû faire le tour...

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