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De la relativité au GPS
Bonjour,
J'ai cet exercice de Dm à effectuer pour la rentrée, est-ce-que quelqu'un pourrait m'aider ? :/
Merci...
La Terre une constellation de satellites GPS :
Développé initialement à des fins militaires, le GPS est aujourd'hui utilisable par des civils. Le GPS comprend une constellation de 24 satellites. Chacun d'eux emporte une horloge atomique et évolue sur une orbite circulaire autour de la Terre.
Il émet régulièrement un " bip " électromagnétique indiquant l'heure d'émission et sa position par rapport à la Terre. Votre appareil GPS (de voiture par exemple) enregistre l'heure exacte à laquelle il reçoit cette information depuis chaque satellite et calcule ensuite la durée mise par le signal pour arriver. En multipliant le temps écoulé par la vitesse de la lumière, on peut trouver la distance qui le sépare de chaque satellite, comparer ces distances, et calculer sa propre position.
Principe de Localisation :
Le principe de la localisation GPS est très simple, c'est celui de la triangulation. Supposons que nous soyons perdus quelque part en France.
Si nous passons devant un panneau indiquant que Paris est à 161 km, que Rennes est a 233 km et que Poitier est à 136 km, il suffit de dessiner trois cercles sur une carte et de repérer où ils se coupent, dans le cas présent à Blois.
En trois dimensions, ce ne sont plus des cercles qu'il faut dessiner mais des surfaces sphériques. Or, l'intersection de deux sphères creuses donne un cercle. La donnée d'une troisième information fixe une nouvelle sphère qui coupe le cercle en deux points. Comme précédemment, nous aurons besoin d'une information supplémentaire, une quatrième ici, pour déterminer notre position. Dans la pratique, le positionnement se fait par rapport à trois satellites seulement, car généralement il y a de bonnes raisons pour éliminer l'un des deux points : la quatrième information permet alors de déterminer l'altitude du point où l'on se trouve.
Etre à l'heure pour se situer :
Pour minimiser l'erreur sur les distances, toutes les horloges du système doivent être parfaitement synchronisées. Pour déterminer une distance à 10 m près, il faut alors mesurer la durée du trajet avec une précision d'environ 30 nanosecondes. Les horloges atomiques embarquées à bord des satellites n'ont aucune difficulté à rester au-dessous de cette marge d'erreur. En revanche, votre récepteur GPS au sol (de voiture par exemple) ne peut disposer d'une horloge de ce type, chère et volumineuses. Pour pallier cela, son horloge électronique, relativement peu précise, est remise régulièrement à l'heure à l'aide des signaux en provenance des satellites.
Les satellites GPS se déplacent à une vitesse d'environ 4,0 . 10^3 mètres par seconde dans un référentiel géocentrique.
A cause de cette vitesse, leurs horloges retardent de 8 microsecondes par jour par rapport à votre récepteur GPS au sol.
Ce retard relève de la théorie de la relativité restreinte :
Pour contrer cet effet, le système GPS ajuste l'heure indiquée par les satellites en utilisant l'équation suivante :
DeltaT'=yDeltaT0
Avec DeltaT' : la durée mesurée au sol (récepteur GPS de voiture par exemple)
DeltaT0 : la durée propre indiquée par une horloge sur un satellite
Coefficient : y=1/Racine carrée de 1-v^2/c^2
V : vitesse de satellite et C=3,00.10^8 m.s-1
L'effet de la gravitation sur l'écoulement du temps est plus important encore. A une altitude moyenne de 20000 km, les satellites GPS subissent une attraction gravitationnelle quatre fois moindre qu'au sol. Cet effet avance leur horloge de 45 microsecondes par jour. Ainsi, le GPS doit corriger un décalage horaire global.
A L'AIDE DES DOCUMENTS ET EN UTILISANT VOS CONNAISSANCES REPONDRE AUX QUESTIONS SUIVANTES :
1) Expliquer le principe de localisation par GPS
2) Pourquoi faut il synchroniser toutes les horloges du GPS (celles du satellite et celle du récepteur au sol)
3) Retrouver par calcul le retard de 8 microsecondes par jour (24h) des horloges des satellites
4) Quelle est l'avance globale, par jour, des horloges des satellites par rapport aux horloges terrestres à cause des phénomènes de relativité restreinte et d'altitude ?
5) Si cette avance n'était pas corrigée, quelle serait l'erreur sur la mesure de la distance en 24h ?
Bonsoir,
Merci d'avoir recopié cet exercice tout à fait intéressant.
Que proposes-tu ? Je pense qu'il est facile de répondre à la première question.
1) Le principe de localisation par GPS est celui de la triangulation : si on souhaite localiser un point M, de la surface du globe terrestre, il suffit d'entrer en contact avec 3 satellites, de dessiner 3 cercles sur une carte et de repérer où ils se coupent.
2) Il faut synchroniser toutes les horloges du GPS car chaque satellite envoie son numéro d'identification, sa position précise par rapport à la terre ou dans le repère de Greenwich, l'heure exacte d'émission du signal. Le récepteur GPS grâce à son horloge supposée synchronisée sur celle des satellites, calcule donc le temps de propagation à la vitesse de la lumière et en déduit la distance au satellite.
C'est à partir de la question 3 que je bloque :/
Ah oui en effet, je me disais bien que le résultat n'était pas juste... :p Merci !
Euh par contre, quand je le tape à la calculette ça m'affiche : 5625024609 <- C'est bizarre, non ?
Plus que bizarre 
Mais il va falloir ruser, parce que les calculettes ont quand même des limitations.
Connais-tu les développements limités ?
Alors, voici...
On démontre en mathématiques que pour 
petit
et que
Conclusion :
Surtout ne fais pas l'addition...
Il te suffit donc de calculer :
et de multiplier le résultat par le nombre de secondes en 24 heures.
Non ce n'est pas "normal". Mais c'est inévitable avec une calculatrice ordinaire.
C'est la raison pour laquelle je t'ai donné toute la marche à suivre strictement. En précisant bien "surtout ne fais pas l'addition" ; car si tu fais l'addition tu ajoutes 1 à un nombre extrêmement petit... et donc ta calculatrice trouvera 1 et tu ne pourras plus continuer.
Ahhhh d'accord !
En suivant la démarche que tu m'as donné, je trouve 8,888888889.10^-11 !
Donc ensuite, je multiplie par 24h ?!
C'est faux !
Ce n'est pas ce que tu as fait.
Il faut multiplier par le nombre de secondes dans 24 heures.
Combien y a-t-il de secondes dans 24 heures ?
Ça va mieux.
Et donc que vaut le retard pour une journée (24 heures ou 86 400 secondes ! ) du GPS dû à cet effet ?
Ce serait idéal s'il y avait l'unité !
Oui, environ 8 µs (8.10-6 s), 8 microsecondes.
__________
Je pense que tu comprends pourquoi je t'ai dit de ne surtout pas additionner
Parce que le résultat est environ 1 + 8,8889.10-11 
1,000 000 089
et cela ta calculatrice ne peut pas l'afficher. c'est pour cela que tu trouvais un résultat égal à 1 ; après quoi tu ne peux plus rien calculer !
__________
Alors, voilà pour l'effet que nous comprenons en faisant appel à la théorie de la relativité restreinte.
Et maintenant, pour la relativité générale (rassure-toi, tu n'as guère de calcul à faire ! )
L'altitude change la valeur de l'accélération due à la pesanteur. Et ceci a aussi un effet sur une horloge.
Donc, quelle est ta réponse à la question 4 ?
Oui, en effet, c'est plus compréhensible maintenant !
Mmh... il est dit dans l'énoncé que l'effet de la gravitation sur l'écoulement du temps avance l'horloge de 45 microsecondes par jour, ainsi le GPS doit corriger un décalage global.
Oui, et alors... quel est le résultat final ?
Effet modélisé par la relativité restreinte (effet de la vitesse relative des référentiels, théorie d'Einstein) : retard d'environ 8 µs par jour
Effet modélisé par la relativité générale (la théorie de la gravitation d'Einstein) : avance d'environ 45 µs par jour.
Donc, en combinant ces deux effets...
Oui...
Il faut lire attentivement un énoncé
__________
La dernière question (qui est assez maladroitement exprimée, mais oublie) est facile.
Oui... C'est souvent ce qui me joue des tours, je ne suis pas assez attentive :/
L'erreur serait de 8 microsecondes ?
La question porte sur une distance...
Aucune chance que la réponse soit une durée !
___________
À la question précédente, tu viens d'établir que l'erreur sur le temps donné par l'horloge atomique d'un satellite atteint environ 37 µs par jour.
As-tu compris le fonctionnement d'un GPS ?
Il reçoit des signaux de temps depuis les satellites (en profite au passage, c'est l'une des inconnues que le GPS résout avec une équation, pour se mettre très exactement à l'heure) et en comparant son heure à celle reçue des satellites détermine la distance qui le sépare de chacun des satellites reçus. Connaissant la position très exacte des satellites à l'instant où chacun envoie un signal horaire, le GPS en déduit sa position sur la Terre (ou sur mer, ou en l'air).
Il faut, me semble-t-il, interpréter ainsi la dernière question :
Quelle erreur sur la distance entre le GPS et le satellite correspond à une erreur de 37 µs (qui serait l'erreur après seulement une journée si les corrections selon les théories de la rélativité restreinte et de la relativité générale n'étaient pas appliquées) ?
À ma connaissance, le GPS est le seul appareil "grand public" qui prend en compte ces deux théories d'Einstein, théories qui ont un peu plus et un peu moins de 100 ans !
Bonjour, excusez moi
j'ai a peu pres le même genre d'exercice
et ma dernière question est : quelle serait alors l'erreur sur la mesure de cette distance au bout de 24h?
je ne sais pas comment la calculer pouvez vous m'aidez s'il vous plait ?
Bonjour,
Dans mon dernier message (6 janvier, 13 h 49) je donne la démarche :
. on connaît l'erreur (erreur sur la datation du signal) pour une journée sans les corrections nécessaires
. on connaît bien sûr la célérité des ondes électromagnétiques
il est très simple d'en déduire l'erreur de distance entre le GPS et un satellite.
En déduire l'erreur de localisation à la surface de la Terre en fonction de ces erreurs commises lors de la réception de différents satellites serait une autre histoire...
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