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Corde d'aplinisme
Bonjour,
J'ai un problème que j'ai du mal à résoudre.
Une corde d'alpiniste possède une élasticité qui permet d'amortir les chocs, à tel point que lorsqu'elle s'étire elle se comporte comme un ressort. La tension T que la corde pourra exercer sur un alpiniste sera proportionnelle à son élongation (
L=L-L0 où L0 est la longueur de la corde lorsqu'elle n'est pas étirée) : T = -kL
Par contre, une fois étirée, elle reste détendue et il faut plusieurs dizaines de minutes pour qu'elle reprenne sa force initiale. On néglige dans tout ce problème la masse de la corde elle même.
1) Un alpiniste vient de grimper une longueur L0 depuis le dernier piton (clou planté dans la paroi auquel on accroche la corde). A cette hauteur, il chute. Il va donc tomber d'une hauteur 2L0 avant que la corde ne commence à se tendre et le retienne.
On étudie tout d'abord la chute de l'alpiniste, en prenant une origine des temps au moment où celui ci perd l'équilibre et on prend comme origine des altitudes z la position de l'alpiniste correspondante au moment où la corde commence à se tendre. On choisit l'axe des z est orienté vers le bas.
1.a) Déterminez la célérité de v0 qu'il acquiert avant que la corde ne se tende.
Nous allons maintenant étudier la phase du mouvement où la corde retient l'alpiniste. On prend comme nouvelle origine des temps le moment où la corde commence à se tendre et on garde le même repère d'espace.
1.b) Représentez les forces appliquées à l'alpiniste en train de chuter pour z>0, et écrivez l'équation du mouvement.
1.c) Montrez que pour z>0, les solutions sont du type : z(t)=z0+a.cos(wt)+b.sin(wt)=z0+A.cos(wt+
)
Déterminez z0 et w.
1.d) Déterminez a et b à partir des conditions initiales (z(t=0)=0 et z.(t=0)=v0).
1.e) En vous rappelant que cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y), montrez que l'amplitude de cette oscillation autour de z0 vaut : A=mg/k.racine carrée(1+4.(L0.k)/(mg)).
Voilà, si quelqu'un pouvait m'aider...
Merci
Bonsoir,
Pour la 1, je pense que le moyen le plus simple est d'utiliser la conservation de l'énergie.
1a)
mg.(2Lo) = (1/2).m.vo²
vo² = 4.Lo*g
vo = 2*racinecarrée(Lo.g)
1 c à e)
Poids du chuteur : P = mg (vertical vers le bas)
Force de rappel de la corde sur le chuteur : F = - k.z
mg - kz = m.d²z/dt²
d²z/dt² + (k/m).z = g
Solutions de d²z/dt² + (k/m).z = 0 :
z = A.cos(racine(k/m)t) + B.sin(racine(k/m)t)
Solution pariculière de d²z/dt² + (k/m).z = g :
z = mg/k
Solutions générales de d²z/dt² + (k/m).z = g :
z = mg/k + A.cos(racine(k/m)t) + B.sin(racine(k/m)t)
Or z(0) = 0 et (dz/dt)(0) = 2*racinecarrée(Lo.g)
z(0) = 0 ---> A = -mg/k
z = (mg/k).(1 - cos(racine(k/m)t)) + B.sin(racine(k/m)t)
dz/dt(0) = B*(racine(k/m) = 2*racinecarrée(Lo.g)
B = 2*racinecarrée(Lo.m.g/k)
z = (mg/k).(1 - cos(racine(k/m)t)) + 2*racinecarrée(Lo.m.g/k).sin(racine(k/m)t)
L'amplitude d'oscillation est A = racinecarrée[(mg/k)² + (2*racinecarrée(Lo.m.g/k))²]
A = racinecarrée[(mg/k)² + 4(Lo.m.g/k)]
A = (mg/k).racinecarrée[1 + 4.Lo.m.g.k/(m²g²)]
A = (mg/k).racinecarrée[1 + 4.Lo.k/(mg)]
-----
Sauf distraction. 
Merci beaucoup pour cette réponse complète et détaillée.
Il y a une deuxième partie du même exercice, et certaines questions me paraissent difficiles. J'essaye de les faire, et je sais pas si je peux reposter ici ?
et je sais pas si je peux reposter ici ?
Si c'est la suite du même exercice, oui, c'est même préférable car il faut souvent se servir du début d'une exercice pour en faire la suite.
Pour la deuxième question, voici l'énoncé...
2) En fait, la constante de raideur k d'une telle corde est inversement proportionnelle à sa longueur à vide L0 avec une constante de proportionnalité 
. On a k=/L0 et donc : T=-.L/L0.
2a. Quelle est la dimension de ?
2b. Donnez l'expression de T en fonction de , m, L0, A, g, 
, t, et .
2c. Montrez alors que la tension maximale de la corde vaut ||Tmax||= mg(1+racine carrée(1+(4/mg)).
2d. On définit pour étudier ce genre de cordes une quantité qu'on appelle facteur de chute f, le ratio entre la hauteur de chute (avant que la corde ne se tende) et la longueur à vide de la corde L0 disponible pour amortir la chute. Quelle est la valeur de f ici ?
2e. Donner à nouveau l'expression de ||Tmax|| en faisant apparaître la variable f dans l'expression.
2f. Au point le plus bas de la chute, la corde est totalement étirée. Faire un bilan des forces appliquées à l'alpiniste. Quelle est l'expression de la norme de la tension de la corde à cet instant ? On appelle force de choc Fc(vecteur) la résultante des forces subie par l'alpiniste au point le plus bas de sa chute. Si la corde possède un =8.10² S.I.. calculer la norme de la force de choc pour un alpiniste de 80 kg. Qu'en pensez-vous ?
2g. La tension maximale de la corde dépend-elle directement de la hauteur de chute, de la longueur de corde à vide ou du facteur de chute ? En quoi est-ce intéressant si on peut disposer de points d'assurage intermédiaires (dégaines fixées sur les pitons) où la corde peut coulisser entre l'alpiniste et son assureur qui bloque le bout de la corde ?
J'ai réussi la 2a. Pour la 2b, je pense qu'il faut utiliser la formule retrouvée précédemment dans la question 1e, puis remplacer L0 par /k, c'est bien ça ?
2)
a)
[k] = MLT^-2/L = M.T^-2
k = Gamma/Lo
[gamma] = [k*Lo] = M.L.T^-2
-----
b)
z = (mg/k).(1 - cos(racine(k/m)t)) + 2*racinecarrée(Lo.m.g/k).sin(racine(k/m)t)
z = (mg/k) + [(mg/k).racinecarrée(1 + 4.Lo.k/(mg))]*cos((k/m)t + Phi)
T = k.z
T = mg.(1 + racinecarrée(1 + 4.Lo.k/(mg))*cos((k/m)t + Phi)
T = mg.(1 + racinecarrée(1 + 4.gamma/(mg))*cos((gamma/(m.Lo))t + Phi)
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c)
Tmax pour cos((gamma/(m.Lo))t + Phi) = 1 --->
Tmax = mg.(1 + racinecarrée(1 + 4.gamma/(mg)))
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d)
f = 2Lo/Lo = 2
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