Niveau terminale

Chute verticale d'une bille

Posté par
razel 23-02-16 à 00:14

Salut à tous, je rencontre un petit problème avec cet exercice :

On étudie la chute verticale d'une bille de masse M et de Volume V dans un liquide

La bille commence sa chute à t = 0 du point O origine de l'axe  (oz) dirigé vers le bas sans vitesse initiale.

On néglige la poussée d'Archimède   et on considère que la force de frottement fluide est équivalente à la force :

$\vec{f}$   = - k $\vec{v}$

L'équation différentielle de ce mouvement est donc (en appliquant la seconde loi de Newton) :

$\frac{dV}{dt}$ = g - $\frac{k}{m}$ v
Sachant que la solution de l'équation différentielle est
v = $\vartheta_l$ (1 - $e^\frac{-t}{\tau}$ )

Il faut monter que la distance z parcourue par la boule pendant $\Delta _t = \tau$
s'écrit :

$z(\tau) = \frac{v_l \tau}{e}$

en appliquant l'intégrale sur l'expression de la solution de l'équation différentielle on obtient

$z = v_l(t) + \tau v_l e^\frac{-t}{\tau} + cte$

Mon problème est qu'en revenant aux conditions initiales  afin de calculer la constante :
$0 = 0 + \tau v_le^0 + cte$
donc :
$cte = -\tau v_l$
Mais on sait que le centre de gravité de la bille à t = 0 est confondue avec l'origine.
la constante qui est finalement égale à $z_0$ ne doit-elle pas être nulle?

Merci d'avance pour vos clarifications.

Posté par re : Chute verticale d'une bille 23-02-16 à 09:09

Bonjour,

Ton raisonnement est tout à fait correcte, il semble que tu es bien compris l'integration... Cependant tu fait une êtite confusion. Quand tu intègre vl cela devient vl*t .

Ainsi tu obtiens aprés la recherche de la constante :
$\large Z(t) = vl*t +vl*\tau * \exp \frac{-t}{\tau } -\tau *vl$

remplace à présent t par $\tau$ et regarde ce que tu obtiens !
Pense au fait que $\exp-1 =\frac{1}{e}$

Normalement tu obtiens la formule demandée !
bon courage

Posté par re : Chute verticale d'une bille 23-02-16 à 19:38

Oui, en effet, merci.
Mais ma question se formule porte sur ceci :
Pourquoi la constante z0 n'est pas nulle? Cela devrait être le cas puisque le début de la chute commence à z = 0.

Posté par re : Chute verticale d'une bille 24-02-16 à 10:39

L'énnoncé t'indique que l'origine du repère est positionnée au début de la chute.

Citation :
La bille commence sa chute à t = 0 du point O origine de l'axe (oz) dirigé vers le bas sans vitesse initiale.

Ce qui signifie que la position z=0 du repère correspond à la position de la bille à l'instant initial. Donc Z0 = origine repère = 0

En espérant être clair

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