Fiche de physique - chimie

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Théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires

-Fiche d'exercices (2)-

Résistance équivalente

Conseils généraux

L'énoncé de l'exercice vous propose de rechercher la résistance équivalente à une association de résistors.

Si l'association est simple, à savoir un nombre limité de résistors, appliquer les relations d'associations série ou parallèle des résistors.

Pour une association parallèle de deux résistors $R_1 \text{ et }R_2$ , écrire directement pour la résistance équivalente $R_{eq}=\dfrac{R_1 R_2}{R_1+R_2}$ . En effet, cette égalité résulte de l'addition des conductances $\dfrac{1}{R_1}\text{ et }\dfrac{1}{R_2}$ puisque $\dfrac{1}{R_{eq}}=\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}=\dfrac{R_1 + R_2}{R_1 R_2}$

Si l'association est plus compliquée, rechercher les symétries du réseau. Regarder attentivement s'il existe un axe ou un plan de symétrie, ou un axe ou un plan d'antisymétrie:

-Dans le premier cas, c'est-à-dire lorsqu'il existe un axe ou plan de symétrie, les points symétriques sont au même potentiel, ce qui fait que l'on peut relier ces points par un fil conducteur ou bien retirer ce conducteur, car de toute façon aucun courant électrique ne circulera dans le fil conducteur.

-Dans la situation de l'axe ou du plan d'antisymétrie, tous les points de l'axe ou du plan d'antisymétrie sont au même potentiel et cette fois on pourra ajouter ou supprimer des liaisons entre ces points car la non plus, aucun courant électrique ne circulera dans ces conducteurs.

Si l'association ne possède pas de symétrie, il faut appliquer la loi d'Ohm, à savoir exprimer la tension aux bornes du réseau en fonction de l'intensité qui pénètre dans le réseau.

Il est fortement conseillé de résoudre tout d'abord les exercices 1 et 5 de la première série dans ce document avant d'aborder les exercices proposés ci-dessous.

exercice 1

Réseau avec n modules identiques

On considère le circuit ci-dessous constitué de $n$ modules identiques. Chaque résistance a une valeur $R$ . Sur la figure de gauche est dessiné un module, sur celle de droite, trois modules.

Théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires : exercices (2) résistance : image 2

1) Déterminer la résistance équivalente à un module, puis à deux modules, et finalement à trois mdules.

2) Déterminer la relation entre la résistance équivalente à $n-1$ module et celle équivalente à $n$ modules.

3) En déduire la résistance équivalente d'un réseau infini

exercice 2

Réseau symétrique

Chaque trait représente un résistor de résistance $R$ .

Théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires : exercices (2) résistance : image 21

Déterminer la résistance équivalente de ce réseau vu des points:

1) $A\text{ et }C$
2) $A\text{ et }E$
3) $A\text{ et }F$
4) $B\text{ et }D$
5) $H\text{ et }D$
6) $B\text{ et }F$
7) $A\text{ et }B$

exercice 3

Grillage symétrique carré

Déterminer la résistance équivalente d'un grillage métallique carré; divisé en neuf carrés dont chaque côté possède la résistance $R$ , alimenté entre deux sommets opposés de la diagonale du grillage.

exercice 4

Réseau cubique

Un réseau électrique de forme cubique peut être alimenté de trois manières: entre $A$ et $G$ , entre $A$ et $D$ et entre $A$ et $H$ .

Théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires : exercices (2) résistance : image 17

Déterminer dans chaque cas la résistance équivalente de ce réseau, la résistance d'une arête étant $R.$

exercice 5

Théorème de Kennelly - Transformation étoile/triangle

1) On considère les deux circuits ci-dessous. Celui de gauche est appelé circuit étoile et celui de droite circuit triangle.

Théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires : exercices (2) résistance : image 16

Exprimer les résistances $r_1\text{ , }r_2\text{ et }r_3$ du circuit étoile en fonction des résistances $R_1\text{ , }R_2\text{ et }R_3$ du circuit triangle pour que les deux circuits soient équivalents. La relation obtenue constitue le théorème de Kennelly*

2) Application: Déterminer les valeurs des résistances $r_1\text{ , }r_2\text{ et }r_3$ du quadripôle en $T$ pour qu'il soit équivalent au quadripôle en $\prod$

Données numériques: $R_1=2\Omega\text{ , }R_2=3\Omega\text{ et }R_3=5\Omega.$

Théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires : exercices (2) résistance : image 22

_{*Arthur Edwin Kennelly, ingénieur en électricité américain, a publié en 1899 ce théorème de la transformation étoile/triangle qui porte son nom, c'est un théorème fondamental en électrotechnique qui permet de simplifier l'analyse des circuits électriques triphasés.}

Voir la correction

exercice 1

1)

La résistance équivalente à un seul module $R_{eq_{1}}$ :
Dans le réseau formé d'un seul module, nous avons l'association parallèle de $R$ avec $3R$ , d'où:

$R_{eq_1}=(R//(3R))=\dfrac{3R^2}{4R}\Longrightarrow \boxed{R_{eq_1}=\dfrac{3}{4}R}$

La résistance équivalente à un deux modules $R_{eq_{2}}$ :
Dans le réseau formé de deux modules, nous avons l'association parallèle de $R$ avec $(2R+R_{eq_1})$ , d'où:

$R_{eq_2}=(R//(2R+R_{eq_1}))=\dfrac{R\left(2R+\dfrac{3}{4}R\right)}{R+2R+\dfrac{3}{4}R}}=\dfrac{\dfrac{11}{4}R}{\dfrac{15}{4}}\Longrightarrow \boxed{R_{eq_2}=\dfrac{11}{15}R}$ La résistance équivalente à un trois modules $R_{eq_{3}}$ :
Dans le réseau formé de trois modules, nous avons l'association parallèle de $R$ avec $(2R+R_{eq_2})$ , d'où:

$R_{eq_3}=(R//(2R+R_{eq_2}))=\dfrac{R\left(2R+\dfrac{11}{15}R\right)}{R+2R+\dfrac{11}{15}R}}=\dfrac{\dfrac{41}{15}R}{\dfrac{56}{4}}\Longrightarrow \boxed{R_{eq_3}=\dfrac{41}{56}R}$

Remarque

La manière correcte d'aborder la simplification des réseaux est de toujours travailler de proche en proche en partant des points les plus éloignés de $A\text{ et }B$ , ce qui veut dire que:

Le réseau constitué de deux modules N'EST PAS équivalent à $(R_{eq_1}// 3R)$ .

Le réseau constitué de trois modules N'EST PAS équivalent à $(R_{eq_2}// 3R)$

2) De la même manière, dans le réseau formé de $n$ modules, la résistance $R_{eq_n}$ est l'association parallèle de $R$ avec $(2R+R_{eq_{n-1}})$ , d'où:

$R_{eq_n}=[R//(R_{eq_{n-1}}+2R)]=\dfrac{R(2R+R_{eq_{n-1}})}{R+2R+R_{eq_{n-1}}}\Longrightarrow \boxed{R_{eq_n}=\dfrac{R(2R+R_{eq_{n-1}})}{3R+R_{eq_{n-1}}}}$

3) Lorsque le réseau est infini, la résistance tend vers une limite fini si la suite $(R_{eq_k})_{k\in\N^*}$ est convergente, donc on prend $R_{eq_n}$ est égal à $R_{eq_{n-1}}$ car nous ne sommes pas à un module près, on obtient:

$R_{eq_{n-1}}=\dfrac{R(2R+R_{eq_{n-1}})}{3R+R_{eq_{n-1}}}$
Notons $R'=R_{eq_{n-1}}$ pour alléger les expressions, on a:

$R'=\dfrac{R(2R+R')}{3R+R'}\iff 3RR'+R'^2=2R^2+RR'\iff R'^2+2RR'-2R^2=0$

Discriminent $\Delta= 4R^2+8R^2=12R^2$

On ne retient que la racine positive de l'équation du second degré obtenu en $R'$ car une résIstance et une grandeur scalaire, d'où:

$R'=\dfrac{-2R+\sqrt{12R^2}}{2}=\dfrac{-2R+2\sqrt{3}R}{2}\Longrightarrow\boxed{R'=(\sqrt{3}-1)R}$

$\boxed{\text{La résistance du réseau infini est }R'=(\sqrt{3}-1)R}$

exercice 2

1) Le réseau est alimenté en $A\text{ et }C\text{ : }$ L'axe $(BJ)$ est un axe d'antisymétrie, les points $B\text{ ; }F\text{ et }J$ sont au même potentiel.

Ainsi, tout se passe comme si les résistances sont connectées comme suit:

Théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires : exercices (2) résistance : image 14

Soit: $R_{eq}=2\times \left(R//\dfrac{5}{3}R\right)=2\times \dfrac{\dfrac{5}{3}R^2}{\dfrac{8}{3}R}\Longrightarrow \boxed{R_{eq}=\dfrac{5}{4}R}$

2) Etude du réseau vu de $A\text{ et }E\text{ : }$ L'axe $(CG)$ est un axe d'antisymétrie, alors les points $C\text{ ; }F\text{ et }G$ sont au même potentiel.

De plus, l'axe $(AE)$ est un axe de symétrie, ce qui veut dire que:
$B\text{ et }H$ sont au même potentiel.
$J\text{ et }D$ sont au même potentiel.

Le réseau correspond donc à:

Théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires : exercices (2) résistance : image 9

On en tire directement la résistance équivalente:

$R_{eq}=2\times (R//R)+2\times(R//R//R//R) = 2\times\dfrac{R}{2}+2\times \dfrac{R}{4}\Longrightarrow \boxed{R_{eq}=\dfrac{3}{2}R}$

3) Etude du réseau vu de $A\text{ et }F\text{ : }$ L'axe $(AE)$ est un axe de symétrie, alors:

$B\text{ et }H$ sont au même potentiel.
$J\text{ et }D$ sont au même potentiel, et on peut supprimer la branche qui les relie directement, à savoir les résistances $DE \text{ et }DJ$ .

Le réseau correspond donc à:

Théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires : exercices (2) résistance : image 5

Or, on sait que $3\times (R//R) = \dfrac{3}{2} R$

Donc:

Théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires : exercices (2) résistance : image 1

D'où: $R_{eq}=(R//R)+\left(R//\dfrac{3}{2}R//R\right)=\dfrac{R}{2}+\dfrac{\dfrac{3}{4}R^2}{2R}\Longrightarrow \boxed{R_{eq}=\dfrac{7}{8}R}$

4) Etude du réseau alimenté en $B\text{ et }D\text{ : }$ L'axe $(CG)$ est un axe d'antisymétrie, alors les points $C\text{ ; }F\text{ et }G$ sont au même potentiel.

Tout se passe comme si les résistances sont connectées comme suit:

Théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires : exercices (2) résistance : image 4

Or, $(R//R)+R+R=\dfrac{5}{2}R$

Donc, le réseau est équivalent à:

Théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires : exercices (2) résistance : image 7

On en déduit la résistance équivalente:

$R_{eq}=2\times \left(R//R//\dfrac{5}{2}R\right)=2\times\left(\dfrac{R}{2}//\dfrac{5}{2}R\right)=2\times\dfrac{\dfrac{5}{4}R^2}{3R}\iff \boxed{R_{eq}=\dfrac{5}{6}R}$

5) Etude du réseau alimenté en $H\text{ et }D\text{ : }$ L'axe $(BJ)$ est un axe d'antisymétrie, alors les points $B\text{ ; }F\text{ et }J$ sont au même potentiel.

De plus, l'axe $(HD)$ est un axe de symétrie, ce qui veut dire que:
$A\text{ et }G$ sont au même potentiel.
$C\text{ et }E$ sont au même potentiel.

On obtient le réseau équivalent suivant:

Théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires : exercices (2) résistance : image 10

Et donc, la résistance équivalente vaut: $R_{eq}=2\times \left[\left(2\times (R//R)\right)//R\right]=2\times \left[\left(2\times \dfrac{R}{2}\right)//R\right]=2\times \left(R//R\right)=2\times\dfrac{R}{2}\Longrightarrow \boxed{R_{eq}=R}$

6) Le réseau est alimenté en $B\text{ et }F\text{ : }$ L'axe $(BJ)$ est un axe de symétrie, dont:

$A\text{ et }C$ sont au même potentiel.
$H\text{ et }D$ sont au même potentiel.
$C\text{ et }E$ sont au même potentiel.

Le réseau est donc équivalent à:

Théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires : exercices (2) résistance : image 13

Et puisque: $2\times (R//R)=R \enskip\text{ et }\enskip \left[2\times (R//R)]+R=2R$

Alors on peut simplifier le circuit équivalent:

Théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires : exercices (2) résistance : image 3

Et on déduit la résistance équivalente de ce circuit:

$R_{eq}=R//\left[R+\left(2R//R//R\right)\right]=R//\left(R+\dfrac{2}{5}R\right)=R//\left(\dfrac{7}{5}R\right)=\dfrac{\dfrac{7}{5}R^2}{\dfrac{12}{5}R}\enskip\enskip\Longrightarrow \enskip\enskip\boxed{R_{eq}=\dfrac{7}{12}R}$

7) Le réseau est alimenté en $A\text{ et }B\text{ : }$ Il n'y a aucune symétrie, une simplification du réseau est donc impossible dans ce cas.

Utilisons la loi d'Ohm, pour cela, annotons les différentes intensités de courant et choisissons un sens positif sur chaque branche:

Théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires : exercices (2) résistance : image 19

La résistance équivalente doit vérifier la loi d'Ohm: $V_A-V_B=R_{eq} i = Ri_1$

Il suffit donc de trouver une relation entre $i\text{ et }i_1$ , pour cela, écrivons un système d'équations correspondant aux lois des mailles.

Comme nous avons cinq inconnus, il faudra écrire cinq équations:

La loi des noeuds au point $A$ donne: $i=i_1+i_2$

La loi des mailles appliquée sur chaque maille du réseau:

$\begin{matrix} \text{ Maille }ABFHA&: & Ri_1=Ri_2+R(i_2-i_3)+R(i_2-i_5)\\ \text{ Maille }HFJGH &:& R(i_2-i_3)=2Ri_3+R(i_3-i_4) \\ \text{ Maille }FDEJF &:& R(i_3-i_4)=R(i_4-i_5)+2Ri_4 \\ \text{ Maille }BCDFB &:& 2Ri_5=R(i_2-i_5)+R(i_4-i_5) \end{matrix}$

On obtient: $\begin{matrix} i_1=3i_2-i_3-i_5\\ i_2=4i_3+-i_4 \\ i_3=4i_4-i_5 \\ i_2=4i_5-i_4 \end{matrix}$

La résolution donne: $i_1=17 i_4 \text{ et } i_2=7i_4$

Avec la loi des noeuds: $i=i_1+i_2=24i_4$

Finalement: $R_{eq}=R \dfrac{i_1}{i}\Longrightarrow \boxed{R_{eq}=\dfrac{17}{24} R}$

exercice 3

Annotons les différents noeuds du réseau grillage:

Théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires : exercices (2) résistance : image 12

Nous avons les mêmes symétries que dans l'exercice précédent, question $2)$ .

L'axe $(AG)$ est un axe de symétrie, ce qui signifie que les points de chaque couple sont à égal potentiel. Les couples de points concernés sont: $(M,B)\enskip ; \enskip (C,L)\enskip ; \enskip (D,K) \enskip ; \enskip (E,J) \enskip \text{ et }\enskip (F,H)$ .

De plus, l'axe $(DK)$ est un axe d'antisymétrie, les points $D,O,Q,K$ sont au même potentiel.

Le réseau est donc équivalent à:

Théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires : exercices (2) résistance : image 20

On en tire la résistance équivalente:

$\begin{matrix} R_{eq} &=& 2\times\left[ 2(R//R) // [(R//R)+(R//R//R//R)] +(R//R)\right]\\\\ &=& 2\times\left[\left(R // \left(\dfrac{R}{2}+\dfrac{R}{4}\right)\right)+\dfrac{R}{2}\right] \\\\&=& 2\times\left(\left(R // \dfrac{3R}{4}\right)+\dfrac{R}{2}\right) \\\\&=& 2\times\left(\dfrac{\dfrac{3R^2}{4}}{R+\dfrac{3}{4}R}+\dfrac{R}{2}\right) \\\\&=& 2\times\left(\dfrac{3}{7}R+\dfrac{R}{2}\right)\end{matrix}$

Conclusion: $\boxed{R_{eq}=\dfrac{13}{7}R}$

exercice 4

Le réseau cubique est alimenté entre $A \text{ et } G\text{ :}$

Dans ce cas, l'axe $(AG)$ est un axe de symétrie, est donc:

$\bullet$ Les points $B\text{ , }E\text{ et }D$ sont au même potentiel.
$\bullet$ Les points $F\text{ , }C\text{ et }H$ sont au même potentiel.

Le réseau est donc équivalent à:

Théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires : exercices (2) résistance : image 18

On en déduit que:

$R_{eq} =(R//R//R)+(R//R//R//R//R//R)+(R//R//R)=\dfrac{R}{3}+\dfrac{R}{6}+\dfrac{R}{3}\Longrightarrow \boxed{R_{eq}=\dfrac{5}{6}R}$

Le réseau cubique est alimenté entre $A \text{ et } D\text{ :}$

Le plan $(AFGD)$ est un plan de symétrie, donc:

$\bullet$ Les points $B\text{ et }E$ sont au même potentiel.
$\bullet$ Les points $C\text{ et }H$ sont au même potentiel.

Le réseau est donc équivalent à:

Théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires : exercices (2) résistance : image 15

Ce qui permet de calculer la résistance équivalente:

$\begin{matrix} R_{eq}&=& \left[2(R//R)\enskip + \enskip \left(\enskip(2(R//R)+R)\enskip//R//R\enskip\right)\enskip\right]\enskip//R \\&=& \left[R+\left(2R//\dfrac{R}{2}\right)\right]//R \\&=& \left(R+\dfrac{2}{5}R\right)//R \\&=& \left(\dfrac{7}{5}R\right)//R \\&=& \dfrac{\dfrac{7}{5}R^2}{\dfrac{12}{5}R}\end{matrix}$

$\boxed{R_{eq}=\dfrac{7}{12}R}$

Le réseau cubique est alimenté entre $A \text{ et } H\text{ :}$

Le plan (CDEF) est un plan d'antisymétrie, donc les points $C;D;E\text{ et }F$ sont au même potentiel.

On obtient:

Théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires : exercices (2) résistance : image 8

On en tire la résistance équivalente:

$\begin{matrix} R_{eq} &=& 2\times \left(R//\enskip[R+(R//R)]\enskip //R\right) \\&=&2\times \left( \left(R+\dfrac{R}{2}\right)//\dfrac{R}{2}\right)\\&=& 2\times \dfrac{\dfrac{3}{4}R^2}{2R} \end{matrix}$

On conclut que: $\boxed{R_{eq}=\dfrac{3}{4}R}$

exercice 5

Le théorème de Kennelly est un grand classique.

1) Notons $i$ l'intensité du courant traversant la résistance $R_3$ du triangle, en appliquant la loi des mailles à la maille $A_1A_2A_3A_1$ , on trouve:

Théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires : exercices (2) résistance : image 11

$R_3i+R_1(i_2+i)-R_2(i_1-i)=0\Lngrightarrow i=\dfrac{R_2i_1-R_1i_2}{R_1+R_2+R_3}$

La différence de potentiel entre $A_1\text{ et }A_2$ dans le circuit triangle est donc:

$V_{A_1}-V_{A_2}=R_3i=\dfrac{R_2R_3}{R_1+R_2+R_3}i_1-\dfrac{R_1R_3}{R_1+R_2+R_3}i_2$

La même différence de potentiel entre $A_1\text{ et }A_2$ dans le circuit étoile est:

$V_{A_1}-V_{A_2}=V_{A_1}-V_0+V_0-V_{A_2}=r_1i_1-r_2i_2$

( $V_0$ étant le potentiel au noeud du circuit étoile)

Les circuits triangle/étoile sont équivalents si la différence de potentiel entre $A_1\text{ et }A_2$ est la même, donc, par identification, on trouve:

$\boxed{r_1=\dfrac{R_2R_3}{R_1+R_2+R_3}\text{ et }r_2=\dfrac{R_1R_3}{R_1+R_2+R_3} \text{, et par permutation, on a aussi }r_3=\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2+R_3}}$

2) Directement:

$r_1=\dfrac{R_2R_3}{R_1+R_2+R_3}$

Application Numérique: $r_1=\dfrac{3\times 5 }{2+3+5} = \dfrac{15}{10} \Longrightarrow \boxed{r_1=1,5\Omega}$

$r_2=\dfrac{R_1R_3}{R_1+R_2+R_3}$

Application Numérique: $r_2=\dfrac{2\times 5 }{2+3+5} = \dfrac{10}{10} \Longrightarrow \boxed{r_2=1\Omega}$

$r_3=\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2+R_3}$

Application Numérique: $r_3=\dfrac{2\times 3 }{2+3+5} = \dfrac{6}{10} \Longrightarrow \boxed{r_3=0,6\Omega}$

Publié par malou/Panter le 04-03-2025

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