Fiche de physique - chimie

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Dipôles électrocinétiques

Les dipôles étudiés dans ce cours vérifient l'approximation des régimes quasi-permanents (ARQP).

I- Classification des dipôles :

On a vu dans le cours précédent qu'on peut distinguer deux types de dipôles : les récepteurs et les générateurs. Nous verrons dans ce paragraphe qu'il existe d'autres classifications qui permettent une meilleure compréhension et une analyse plus fine des circuits électriques.

1- Caractéristique d'un dipôle

a- Définition :

Définition

On appelle caractéristique courant-tension d'un dipôle, la courbe représentant l'intensité $i$ du courant qui le traverse en fonction de la tension $u$ à ses bornes.

On appelle caractéristique tension-courant d'un dipôle, la courbe représentant la tension $u$ à ses bornes en fonction de l'intensité $i$ du courant qui le traverse.

Remarques :
La caractéristique tension-courant : l'intensité $i$ est en abscisses et la tension $u$ en ordonnées.
La caractéristique courant-tension : la tension $u$ est en abscisses et l'intensité $i$ en ordonnées.
Les deux caractéristiques tension-courant et courant-tension sont fonctions réciproques l'une de l'autre. Les courbes se déduisent alors l'une de l'autre par symétrie par rapport à la première bissectrice du repère.

b- Caractéristique statique et caractéristique dynamique

Définition

En régime continu, $u \text{ et }i$ sont des constantes indépendantes du temps, et chaque valeur de $u$ impose une seule valeur de $i$ , l'ensemble de tous ces points $(u,i)$ constitue la caractéristique statique tension-courant.

En régime variable, $u \text{ et }i$ sont des fonctions temporelles et le domaine de variation de $u$ impose celui de $i$ , l'ensemble de tous ces points $(u,i)$ constitue la caractéristique dynamique tension-courant.

Exemples :
1) Soit le dipôle $D_1$ tel que $i=k.u$ avec $k$ une constante, les caractéristiques statique et dynamique sont confondues en une droite passant par l'origine et de pente $k$ .

2) Le dipôle $D_2$ tel que $u(t)=a\cos (\omega t) \text{ et }i(t)=b\sin(\omega t)$ avec $a\text{ , }b\text{ et }\omega$ des constantes.
La caractéristique dynamique est une ellipse centrée d'équation : $\dfrac{u^2}{a^2}+\dfrac{i^2}{b^2}=1$ .

c- Point de fonctionnement d'un dipôle

Définition

On appelle point de fonctionnement d'un dipôle tout point appartenant à la caractéristique statique du dipôle.

Une caractéristique statique d'un dipôle n'est autre que l'ensemble des points de fonctionnement der ce dernier.

Exemple :
Appliquons une tension contante $U_0$ aux bornes du dipôle $D_1$ présenté dans le paragraphe précédent.
Le point $M(U_0;kU_0)$ est alors un point de fonctionnement de $D_1$ .

Remarque :
Ne pas confondre les différents points de fonctionnement d'un dipôle avec LE point de fonctionnement d'un circuit, notion qu'on définira dans le cours suivant.

2- Dipôles symétriques ou polarisés

Définition

Si la caractéristique statique d'un dipôle est symétrique par rapport à l'origine, alors le dipôle est dit symétrique, ce qui veut dire que l'on peut permuter ses bornes de connexion.

Et si la caractéristique statique est dissymétrique par rapport à l'origine, alors le dipôle est dit polarisé ou non symétrique.

Exemple :
Le dipôle $D_1$ présenté dans l'exemple du paragraphe précédent est un dipôle symétrique.

3- Dipôles actifs ou passifs

Définition

Les dipôles actifs sont les dipôles qui ont une caractéristique statique ne passant pas par l'origine.

Les dipôles passifs présentent une caractéristique statique qui passe par l'origine.

Si on note :

$\bullet\enskip u_0\text{ la tension entre les bornes du dipôle en circuit ouvert (ie. lorsque }i=0 \text{) }$
$\bullet\enskip i_0\text{ l'intensité du courant de court-circuit (ie. lorsque }u=0 \text{) }$

Alors le dipôle est :

$\bullet\text{ Actif si }u_0\neq 0\text{ et }i_0\neq 0$
$\bullet\text{ Passif si }u_0=i_0=0$

Exemples :

Un dipôle passif est toujours récepteur, il est incapable de provoquer lui-même le passage d'un courant électrique.

Un dipôle actif, capable d'imposer le sens d'un courant, se comporte comme un générateur lorsqu'il transforme de l'énergie mécanique , chimique ou autre en énergie électrique qu'il fournit au circuit, et lors de l'opération inverse, il devient récepteur.

4- Dipôles linéaires

Définition

On dit qu'un dipôle est linéaire si la tension à ses bornes $u(t)$ et l'intensité qui le traverse $i(t)$ sont liées par une équation différentielle linéaire à coefficients constants de la forme :

$\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_k \dfrac{\text{d}^ku}{\text{d}t^k}+\displaystyle\sum_{k=0}^{m}b_k \dfrac{\text{d}^ki}{\text{d}t^k}=f(t)$
Avec :
$n,m\in\N$
$f$ une fonction temporelle indépendante de $u$ et de $i$
$\forall k\in \lbrace 1;\cdots;n\rbrace \text{ : } a_k\text{ constant }\text{ et }\forall k\in \lbrace 1;\cdots;m\rbrace\text{ : } b_k\text{ constant }$

En régime statique, on a $u(t)=U\text{ , }i(t)=I\text{ et }f(t)=f$ sont des constantes.
On obtient donc : $a_0U+b_0 I =f$

Résultat

La caractéristique statique d'un dipôle linéaire est toujours une droite

Remarque :
Par contre, la caractéristique dynamique d'un dipôle linéaire n'est en général pas une droite.

II- Dipôles passifs linéaires fondamentaux

1- Conducteur ohmique ou résistor

a- Loi d'Ohm

Loi d'Ohm

Un conducteur ohmique , ou résistor est un dipôle qui vérifie la loi d'Ohm suivante : $\boxed{u=Ri}$

$u$ est la tension aux bornes et $i$ est l'intensité du courant traversant le dipôle.

$R$ est appelé la résistance du conducteur ohmique, elle est positive et s'exprime en Ohm $[\Omega]$ , et on a $[\Omega]=\dfrac{[V]}{[A]}$

On définit de même la conductance $G$ du conducteur ohmique, exprimée en Siemens [S] :

$\boxed{G=\dfrac{1}{R}}\enskip \text{ , d'où } \enskip \boxed{i=Gu}\enskip \text{ , et on a }[S]=[\Omega]^{-1}=\dfrac{[A]}{[V]}$
$\text{ Avec (}V\text{ : Volt) } \text{ et (}A\text{ : Ampère)}$

Un conducteur ohmique est schématisé en convention récepteur par :

Les caractéristiques tension-courant statique et dynamique sont confondues en une droite passant par l'origine, de pente $\dfrac{1}{R}$ , il s'agit d'un dipôle symétrique :

Remarque :
Par abus de langage, on appelle un conducteur ohmique une résistance, c'est d'ailleurs l'appellation la plus courante.

b- Aspect énergétique : Effet Joule

Le passage d'un courant dans un résistor se manifeste par un échauffement du milieu conducteur. Ce phénomère, appelé effet Joule , s'interprète par les échanges énergétiques entre les électrons mobiles et les ions fixes du réseau, à la suite de collisisons.

La puissance électrique consommée par le résistor est :

$\boxed{\mathcal{P}=ui=Ri^2=\frac{u^2}{R}}$

c- Résistance d'un conducteur

La résistance $R$ ne dépend pas de l'état électrique $(u;i)$ du conducteur ohmique mais dépend de la nature de ce conducteur et de ses caractéristiques géométriques.

Dans le cas d'un conducteur cylindrique homogène, on montre que la résistance $R$ est proportionnelle à la longueur $\ell$ du conducteur et inversement proportionelle à la section $S$ de celui-ci :

La résistance $R$ d'un conducteur ohmique cylindrique de longueur $\ell$ et de section $S$ est :

$\boxed{R=\rho.\dfrac{\ell}{S}}$

Le coefficient de proportionnalité $\rho$ s'appelle la résistivité du milieu conducteur, elle s'exprime en $[\Omega.m]$

$\text{ Avec (}\Omega\text{ : Ohm) } \text{ et (}m\text{ : mètre)}$

On présente la résistivité de quelques matériaux :

$\begin{matrix} \bullet& \text{ Cuivre } & : & 1,68.10^{-8}\text{ }\Omega . m\\ \bullet& \text{ Aluminium } & :& 2,65.10^{-8}\text{ }\Omega . m\\ \bullet& \text{ Eau de mer } & :& 2.10^{-1}\text{ }\Omega . m\\ \bullet& \text{ Silicium } & :& 2,2.10^{3}\text{ }\Omega . m\\ \bullet& \text{ Porcelaine } & :& 10^{11}\text{ }\Omega . m\end{matrix}$

2- Condensateur idéal

a- Définition et fonctionnement

Définition

Un condensateur est l'association de deux conducteurs qui se font face, appelés armatures. Lorsqu'il est soumis à une tension $u$ non nulle, des charges opposées $q \text{ et } -q$ s'accumulent sur les deux armatures.

Cette charge $q$ est proportionnelle à la tension $u$ aux bornes du condensateur : $\boxed{q=C.u}$

Le coefficient de proportionnalité, noté $C$ , s'appelle la capacité du condensateur, elle est exprimée en farad [F], et on a $[F]=\dfrac{[C]}{[V]}$

$\text{ Avec (}C\text{ : Coulomb) } \text{ et (}V\text{ : volt)}$

On note l'importance du sens choisi pour l'intensité $i$ par rapport à la position des charges $q$ et $-q$ : l'intensité $i$ arrive sur l'armature de charge $+q$ .
L'arrivée du courant $i$ sur une armature provoque une variation $dq$ de la charge de l'armature et donc une variation $-dq$ sur l'autre pour assurer la conservation de la charge au niveau du composant. Un courant d'intensité $i$ partira donc de la seconde armature même si les charges ne traversent pas physiquement l'isolant.
L'intensité du courant correspondant au débit de charges $\left(i=\dfrac{\text{d}q}{\text{d}t}\right)$ est algébrique, elle est positive si la charge $q$ de l'armature "d'arrivée" augmente et négative si $q$ diminue.

On obtient la relation courant-tension d'un condensateur idéal (ou parfait) :

$\boxed{i=\dfrac{\text{d}q}{\text{d}t}=C\dfrac{\text{d}u}{\text{d}t}}$

Un condensateur est schématisé en convention récepteur par :

Remarques :
Les capacités des condensateurs usuels sont en général faibles, inférieures au microfarad : $1\mu F = 10^{-6} F$
L'étude théorique du condensateur sera effectuée dans le cours d'électromagnétisme.

b- Aspect énergétique

Rappel : Énergie électrique

L'énergie électrique est une fonction temporelle primitive de la puissance électrique :

$\boxed{ \mathcal{E}(t)=\displaysrtyle\int \mathcal{P}(t)\text{ d}t}$

Elle est exprimée en Joule [J], et on a $[J]=[W].[s]$

$\text{ Avec (}W\text{ : Watt) } \text{ et (}s\text{ : seconde)}$

La puissance électrique instantanée reçue par un condensateur idéal a pour expression :

$\mathcal{P}(t)=u(t).i(t)=C.u(t).\dfrac{\text{d}u(t)}{\text{d}t}=\dfrac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\dfrac{1}{2}C.u^2(t)\right)$

Soit :
$\boxed{\mathcal{E}_e(t)=\dfrac12 C.u^2(t)}$

$\mathcal{E}_e(t)$ représente l'énergie électrique emmagasinée dans le condensateur idéal. Cette énergie est fournie par une source extérieure et le bilan énergétique valable à tout instant $t$ exige la continuité de $\mathcal{E}_e(t)$ . Par conséquent :

La tension $u(t)$ aux bornes d'un condensateur idéal, ainsi que sa charge $q(t)$ , ne peuvent pas subir de discontinuité .

c- Régime continu

En régime continu : $u=\text{cte} \text{ , et donc }i=C\dfrac{\text{d}u}{\text{d}t}=0$

Le condensateur idéal se comporte comme un coupe circuit (c'est-à-dire comme un interrupteur ouvert)

d- Exercice d'application

Exercice

Un condensateur idéal , de capacité $C$ , est soumis :

1) Soit à une tension continue $u$ : Préciser sa caractérisation statique tension-courant.

2) Soit à une tension sinusoïdale $u(t)=U_m\cos(\omega t)$ , de pulsation $\omega$ : Préciser sa caractéristique dynamique tension-courant.

Réponse :

1) Puisque la tension $u$ à laquelle le condensateur est soumis est continue, ie. $u=\text{cte}$ , donc $i=C\dfrac{\text{d}u}{\text{d}t}=0$ .

On en tire que la caractéristique statique tension-courant est confondue avec l'axe des abscisses.

En réalité, chaque condensateur est caractérisé par une tension maximale dite tension de claquage qu'on note $u_{\text{max}}$ .
Si cette tension est dépassée, $\left(\text{ ie. si }u<-u_{\text{max}} \enskip \text{ ou }\enskip u>u_{\text{max}}\right)$ , un courant s'établit à travers l'isolant qui sépare les deux armatures, provoquant une décharge électrique. Cette décharge est généralement destructrice et la destruction est souvent irréversible.

On en déduit que :
$\boxed{\text{La caractéristique statique est le segment de droite horizontale } [-u_{\text{max}}\text{ ; }u_{\text{max}}]}$

2) Soit $u(t)=U_m\cos(\omega t)$ . Alors $i(t)=C\dfrac{\text{d}u(t)}{\text{d}t}=-CU_m\omega \sin(\omega t)\enskip \Longrightarrow \enskip \sin(\omega t)=\dfrac{i(t)}{-CU_m\omega}$

Or, $\cos(\omega t)=\dfrac{u(t)}{U_m}$ .

Il s'ensuit alors que : $\left(\dfrac{u(t)}{U_m}\right)^2+\left(\dfrac{i(t)}{-CU_m\omega}\right)^2=1 \enskip\Longrightarrow\enskip \boxed{\dfrac{u^2}{U_m^2}+\dfrac{i^2}{C^2\omega^2 U_m^2}=1}$

On conclut alors que :
$\boxed{\text{La caractéristique dynamique est une ellipse centrée }}$

Figure :

(on prend $U_m<u_{max}$ pour éviter le claquage du condensateur)

3- Bobine idéale

a- Définition et fonctionnement

Définition

Une bobine est constituée de spires obtenues par l'enroulement régulier d'un fil métallique conducteur.

La tension $u$ aux bornes d'une bobine est proportionnelle à la dérivée par rapport au temps de l'intensité $i$ du courant qui la traverse :

$\boxed{u=L\dfrac{\text{d}i}{\text{d}t}}$
Le coefficient de proportionnalité, noté $L$ , s'appelle l'inductance de la bobine, elle est exprimée en henry [H] : $[H]=\dfrac{[V].[s]}{[A]}$

$\text{ Avec (}A\text{ : Ampère) } \text{ ; (}s\text{ : seconde) } \text{ et (}V\text{ : Volt)}$

Un bobine est schématisé en convention récepteur par :

Remarque :
L'étude théorique de la bobine sera effectuée dans le cours d'électromagnétisme.

b- Aspect énergétique

La puissance électrique instantanée reçue par une bobine idéale a pour expression :

$\mathcal{P}(t)=u(t).i(t)=L.i(t).\dfrac{\text{d}i(t)}{\text{d}t}=\dfrac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\dfrac{1}{2}L.i^2(t)\right)$

Soit :
$\boxed{\mathcal{E}_m(t)=\dfrac12 L.i^2(t)}$

$\mathcal{E}_m(t)$ représente l'énergie magnétique emmagasinée dans la bobine idéale. Cette énergie est fournie par une source extérieure et le bilan énergétique valable à tout instant $t$ exige la continuité de $\mathcal{E}_m(t)$ . Par conséquent :

L'intensité $i(t)$ du courant traversant une bobine idéale ne peut pas subir de discontinuité .

c- Régime continu

En régime continu : $i=\text{cte} \text{ , et donc }u=L\dfrac{\text{d}i}{\text{d}t}=0$

La bobine idéale se comporte comme un court-circuit (c'est-à-dire comme un interrupteur fermé)

d- Exercice d'application

Exercice

Calculer l'énergie emmagasinée dans une bobine d'inductance $L = 100 mH$ parcourue par un courant continu d'intensité

$I = 2,0 A$ .

Réponse :

On a directement : $\boxed{\mathcal{E}_m=\dfrac12 L.I^2}$

Application numérique : $\begin{matrix}\mathcal{E}_m&=&\dfrac12 L.I^2&=&\dfrac12\times 100\text{ . }10^{-3} \times 2^2&=&200\text{ . }10^{-3}&\Longrightarrow& \boxed{ \mathcal{E}_m= 0,2 J }\end{matrix}$

III- Dipôles actifs linéaires

Il est d'usage désormais d'adopter la convention générateur lors de l'étude d'un dipôle actif, puisqu'il peut se comporter comme un générateur ou comme un récepteur.

1- Source indépendante de tension

Définition

Une source indépendante de tension alimentant un circuit est un dipôle actif dont la tension $u$ entre ses bornes reste constante pour toute valeur de courant $i$ :

$\boxed{u=e\text{ ; }\forall i }$

La constante $e$ est appelée la force électromotrice de la source de tension, elle est toujours positive.

Une source indépendante de tension est schématisée en convention générateur par :

Une source indépendante de tension est un générateur si elle impose le passage du courant, donc si $i>0$ .
Dans ce cas, elle fournit une puissance $\mathcal{P}=u.i=e.i>0$ (en convention générateur).

Une source indépendante de tension est un récepteur si le passage du courant lui est imposé par le circuit, donc si $i<0$ .
Dans ce cas, elle reçoit une puissance $\mathcal{P}=-u.i=-e.i<0$ (toujours en convention générateur).

On trace la caractéristique statique d'une source indépendante de tension :

2- Source indépendante de courant

Définition

Une source indépendante de courant est un dipôle actif délivrant un courant constant $i$ au circuit, quelle que soit la tension $u$ entre ses bornes :

$\boxed{i=\eta\text{ ; }\forall u }$

La constante $\eta$ est appelée le courant électromoteur de la source de courant, il est toujours positif.

Une source indépendante de courant est schématisée en convention générateur par :

Une source indépendante de courant est un générateur si elle impose la tension entre ses bornes, donc si $u>0$ .
Dans ce cas, elle fournit une puissance $\mathcal{P}=u.i=u.\eta>0$ (en convention générateur).

Une source indépendante de courant est un récepteur si la tension entre ses bornes lui est imposée par le circuit, donc si $u<0$ .
Dans ce cas, elle reçoit une puissance $\mathcal{P}=-u.i=-u.\eta<0$ (toujours en convention générateur).

On trace la caractéristique statique d'une source indépendante de courant :

3- Modélisation d'un dipôle actif linéaire

a- Définition et fonctionnement

Définition

Un dipôle actif linéaire est un dipôle dont la caractéristique est modélisée par un segment de droite d'équation $\boxed{\dfrac{u}{e}+\dfrac{i}{\eta}=1}$
Tel que $u$ est la tension entre ses bornes, $i$ est l'intensité de courant qui le traverse, et $e\text{ et }\eta$ correspondent aux cas limites, c'est-à-dire :

$\bullet \text{ }i=0\text{ : }u=e \text{ , c'est la force électromotrice }$

$\bullet \text{ }u=0\text{ : }i=\eta \text{ , c'est le courant électromoteur }$

La caractéristique statique d'un dipôle actif linéaire :

Modélisation :

En posant $\dfrac{e}{\eta}=r\text{ et }\dfrac{1}{r}=g$ , on obtient respectivement une résistance dite résistance interne $r$ (en $[\Omega]$ ) et une conductance dite conductance interne associée $g$ (en $[S]$ ). Ce qui permet de modéliser le dipôle actif linéaire :

Soit par un générateur de tension en série avec cette résistance interne, dit générateur de Thévenin $(e;r)$ .

$\dfrac{u}{e}+\dfrac{i}{\eta}=1 \iff u=e-\dfrac{e}{\eta}i\iff \boxed{u=e-ri}$ Soit par un générateur de courant en parallèle avec cette conductance interne associée, dit générateur de Norton $(\eta;g)$ .

$\dfrac{u}{e}+\dfrac{i}{\eta}=1 \iff i=\eta-\dfrac{\eta}{e}u\iff \boxed{i=\eta-gu}$

Le modèle de Thévenin et le modèle de Norton sont équivalents, et on passe de l'un à l'autre suivant la nature du circuit connecté par la relation suivante :

$\boxed{e=r\eta}$

$e$ est la tension à vide en $[V]$
$r$ est la résistance interne en $[\Omega]$
$\eta$ est le courant de court-circuit en $[A]$

b- Aspect énergétique

Soient $D_1\text{ et }D_2$ deux dipôles actifs linéaires définis respectivement par $(e_1;r_1)\text{ et }(e_2;r_2)$ dans la représentation de Thévenin tel que $e_1>e_2$ , et on réalise le branchement suivant :

On a $u_1=u_2$

Puisque $e_1>e_2$ , alors $D_1$ est générateur et $D_2$ est récepteur et $i>0$ , et dans le schéma, $D_1$ est en convention générateur tandis que $D_2$ est en convention récepteur.

La puissance électrique fournie par le dipôle actif linéaire $D_1$ est :

$\mathcal{P}_g=u_1.i=(e_1-r_1i)i\Longrightarrow \boxed{\mathcal{P}_g=e_1i-r_1i^2}$
où $i$ est l'intensité du courant traversant le dipôle et $u_1$ la tension à ses bornes en convention générateur.

Le terme $e_1i$ représente la puissance fournie par le générateur idéal de tension de $D_1$ .

Le terme $r_1i^2$ représente la puissance dissipée par effet Joule dans la résistance interne de $D_1$ .

Remarque :
La puissance électrique fournie par la résistance interne est négative $-r_1i^2$ . Elle correspond à la puissance électrique reçue (dissipée) positive $r_1i^2$ , en effet, la résistance interne à un caractère récepteur, donc la puissance qu'elle reçoit, calculée en convention générateur, est négative.

La puissance électrique reçue par un dipôle actif linéaire $D_2$ est :

$\mathcal{P}_r=u_2.i=(e_2+r_2i)i\Longrightarrow \boxed{\mathcal{P}_r=e_2i+r_2i^2}$
où $i$ est l'intensité du courant traversant le dipôle et $u_2$ la tension à ses bornes en convention récepteur.

Le terme $e_2i$ représente la puissance utile du récepteur, c'est-à-dire la fraction de la puissance électrique reçue par le récepteur pouvant être convertie en une forme d'énergie non thermique.

Le terme $r_2i^2$ représente la puissance dissipée par effet Joule dans la résistance interne.

Remarque :
La puissance électrique reçue par la résistance interne est positive $r_2i^2$ . En effet, la résistance interne à un caractère récepteur, donc la puissance qu'elle reçoit, calculée en convention récepteur, est positive.

IV- Exemples de dipôles non linéaires

1- Électrolyseur

Définition

Un électrolyseur est un récepteur qui comporte deux électrodes de même nature immergées dans un électrolyte.

Un électrolyseur est symbolisé par :

Si l'on impose le passage d'un courant dans un électrolyseur, des réactions chimiques aux électrodes se produisent. Il y a création d'une force contre électromotrice de polarisation notée $e$ . Le courant ne peut circuler que si $|u|>e$ , comme le montre le caractéristique suivant :

2- Diode à jonction idéale

Définition

Une diode à jontion est une association de deux semi-conducteurs de dopage différent, elle se comporte comme :

Un coupe-circuit $(i=0)$ en fonctionnement inverse, ou sens est bloquant, c'est-à-dire lorsque $(u<0)$

Un court-circuit $u=0$ en fonctionnement direct ou sens passant, et dans ce cas, on a $(i>0)$

Une diode à jonction idéale est schématisée en convention récepteur par :

La caractéristique statique tension-courant d'une diode à jonction idéale :

Publié par malou/Panter le 09-08-2024

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Dipôles électrocinétiques

I- Classification des dipôles :

1- Caractéristique d'un dipôle

2- Dipôles symétriques ou polarisés

3- Dipôles actifs ou passifs

4- Dipôles linéaires

II- Dipôles passifs linéaires fondamentaux

1- Conducteur ohmique ou résistor

2- Condensateur idéal

3- Bobine idéale

III- Dipôles actifs linéaires

1- Source indépendante de tension

2- Source indépendante de courant

3- Modélisation d'un dipôle actif linéaire

IV- Exemples de dipôles non linéaires

1- Électrolyseur

2- Diode à jonction idéale

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