Fiche de physique - chimie
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Théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires

-Fiche d'exercices-

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exercice 1

Résistance équivalente d'un circuit

Dans le circuit de la figure ci-dessous, on note i_a\text{ , }i_b\text{ et }i_c les courants circulant respectivement dans les résistances a\text{ , }b\text{ et }c.

Théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires : exercices : image 8


1) Montrer que i_b=\left(\dfrac{a+c}{b+c}\right)i_a.
2) En déduire la résistance équivalente R_{eq} du circuit A\text{ et }B définie par: R_{eq}=\dfrac{V_A-V_B}{i} .



exercice 2

Circuit à deux noeuds indépendants - Théorème de Millman

On considère le montage électrique suivant:

Théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires : exercices : image 13


1) Déterminer l'intensité I du courant circulant dans la résistance R.
Calculer numériquement I lorsque e_1=1V\text{ ; }e_2=2V\text{ ; }e_3=2^2V \text{ ; }r_1=1\Omega\text{ ; }r_2=2\Omega\text{ ; }r_3=2^2\Omega \text{ et }R=1\Omega.

2) Reprendre la question précédente en supposant qu'il existe maintenant n générateurs de tension en parallèle avec la résistance R entre A\text{ et }B, le k\text{ième} générateur de tension ayant pour f.é.m. e_k=2^{k-1}V et pour résistance interne r_k=2^{k-1} \Omega.

exercice 3

Groupement de piles

On dispose de n piles identiques de f.é.m. e et de résistance interne r . On réalise le branchement en parallèle entre A \text{ et }B de x dipôles comprenant chacun y piles en série.

Déterminer x\text{ et } y pour que l'intensité du courant circulant dans une résistance R branchée entre A \text{ et }B soit maximale si n=24\text{ ; }e=1V\text{ ; }r=1\Omega \text{ et }R=6\Omega.


exercice 4

Étude d'un circuit par la méthode de superposition des états

Soit un circuit linéaire dont les résistances et les f.é.m. des sources de tension sont indiquées dans la figure suivante:

Théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires : exercices : image 7

Déterminer l'intensité i du courant qui circule dans la branche B_2MA_2 en considérant deux états successifs du circuit.


exercice 5

Circuits à n modules

On considère le circuit de la figure suivante constitué de n modules identiques terminés à droite par une résistance R'.

On donnera à R' une valeur telle que la résistance équivalente du circuit (vu de AB) ait la même valeur pour n=1 et n=2.

Théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires : exercices : image 2


1) Déterminer R' en fonction de R.

2) Quelle est la résistance équivalente du circuit pour un nombre quelconque n de modules?

3) La tension d'entrée V_0 étant imposée, exprimer les d.d.p. V_1 \text{ , }V_2\text{ , }\cdots\text{ , }V_{n} en fonction de V_0\text{ et }n.


exercice 6

Étude d'un potentiomètre - Aspect énergétique

On considère le montage électrique ci-dessous, appelé potentiomètre, alimenté par un générateur idéal de tension continue, de force électromotrice E.

Théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires : exercices : image 10


La branche AB est constituée d'un résistor de résistance R possédant un curseur C, réalisant un contact mobile, K représente un interrupteur et r la résistance d'un autre résistor.

Le contact en C définit une résistance R' pour le tronçon CB de la branche AB.

1) Calculer la différence de potentiel V_C-V_B=V entre les points C et B quand l'interupteur K est ouvert.
Application numérique: R=40\Omega\text{ , }R'=20\Omega \text{ , }E=10V.

2) Calculer la différence de potentiel V_C-V_B=U entre les points C et B quand l'interupteur K est fermé.
Application numérique: R=40\Omega\text{ , }R'=20\Omega \text{ , }r=100\Omega\text{ , }E=10V.

3-a) Le rendement \tau du montage est défini par le rapport de la puissance électrique fournie à la résistance r, à la puisance totale absorbée par le montage constitué de R et r. Donner l'expression de ce rendement en fonction de R\text{ , }R'\text{ et }r.

b) Le point C restant fixe, on fait varier r, Le rendement \tau passe par un maximum de valeur \tau_0. Trouver la valeur r_0 de r rendant \tau maximal.
Application numérique: R=40\Omega\text{ , }R'=30\Omega \text{ , calculer }r_0\text{ puis la valeur de }\tau_0\text{ correspondante}..


exercice 7

Batterie tampon - Superposition d'états

Considérons le montage de la figure suivante:

Théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires : exercices : image 3


Une pile de résistance interne r_1=4\Omega a une f.é.m. e_1 qui décroît linéairement au cours du temps:

\begin{matrix}\bullet\text{ à }t=0h & e_1(0)=6V \\ \bullet \text{ à }t=24h & e_1(24)=4,8V\end{matrix}


Cette pile débite dans une résistance de charge R=10\Omega.

On utilise un accumulateur de f.é.m. e_2=4V et de résistance interne r_2=0,1\Omega pour stabiliser le courant dans R.

1-a) Déterminer l'expression du courant i(t) , qui circule dans la résistance R, en superposant deux états.

b) En déduire l'expression temporelle de i.

2) Quelle est la diminution relative d'intensité \dfrac{i(0)-i(24)}{i(0)} dans la résistance R en 24h ? Commenter le résultat.






exercice 1

1)Le résistor étant un récepteur, on représente les différents courants et tensions en convention récepteur:

Théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires : exercices : image 1


On a:
\begin{cases} i_a=i_b+i_c&\text{ , d'après la loi des noeuds} \\ bi_b=ai_a+ci_c &\text{  , d'après la loi des mailles } \end{cases}


On en tire que:
bi_b=ai_a+c(i_a-i_b) \Longrightarrow (b+c)i_b=(a+c)i_a \Longrightarrow \boxed{i_b=\left(\dfrac{a+c}{b+c}\right)i_a}


2) Pour déterminer la résistance R_{eq} , il faut trouver les expressions de V_A-V_B et de i\text{ : }

On a:
\begin{matrix}V_A-V_B&=&ai_a+bi_b &=& ai_a+b\left(\dfrac{a+c}{b+c}\right)i_a \\\\&=& \left(	\dfrac{2ab+ac+bc}{b+c}\right)i_a &=&  \left(\dfrac{2ab+(a+b)c}{b+c}\right)i_a\end{matrix}


Et:
i=i_a+i_b=i_a+\left(\dfrac{a+c}{b+c}\right)i_a=\left(\dfrac{a+b+2c}{b+c}\right)i_a


On en déduit:

 R_{eq}=\dfrac{V_A-V_B}{i}\Longrightarrow \boxed{R_{eq}=\dfrac{(a+b)c+2ab}{a+b+2c}}



exercice 2

1) Directement, en utilisant le théorème de millman:

V_B-V_A= \dfrac{\dfrac{e_1}{r_1}+\dfrac{e_2}{r_2}+\dfrac{e_3}{r_3}}{\dfrac{1}{r_1}+\dfrac{1}{r_2}+\dfrac{1}{r_3}+\dfrac{1}{R}}


Et d'après la loi d'Ohm: V_B-V_A=RI

On obtient:
\boxed{I=\dfrac{\dfrac{e_1}{r_1}+\dfrac{e_2}{r_2}+\dfrac{e_3}{r_3}}{R\left(\dfrac{1}{r_1}+\dfrac{1}{r_2}+\dfrac{1}{r_3}\right)+1}}


Application numérique:

I=\dfrac{1+1+1}{1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+1}=\dfrac{12 }{11}\Longrightarrow \boxed{I=1,09A}

2)On appliquant le théorème de millman:

\begin{matrix}V_B-V_A&=& \dfrac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{e_k}{r_k}}{\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{r_k}+\dfrac{1}{R}} &=& \dfrac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{2^{k-1}}{2^{k-1}}\right)}{\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{1}{2^{k-1}}\right)+\dfrac{1}{R}} \\\\  &=& \dfrac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n}1}{\displaystyle \left[\sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{k-1}\right]+\dfrac{1}{R}} &=& \dfrac{n-1+1}{\left[\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}{1-\dfrac{1}{2}}\right]+\dfrac{1}{R}} \\\\&=&  \dfrac{n}{2\left[1-\dfrac{1}{2^n}\right]+\dfrac{1}{R}}   \end{matrix}


Et en sacxhant que: V_B-V_A=RI

On obtient:
\boxed{I= \dfrac{n}{2R\left[1-\dfrac{1}{2^n}\right]+1}}


Application numérique: On remplace R par sa valeur:

\boxed{I= \dfrac{n}{2\left[1-\dfrac{1}{2^n}\right]+1}}


exercice 3

On a n piles identiques au total, donc xy=n

Théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires : exercices : image 9

Chaque branche entre A\text{ et }B comprend y piles (e;r) en série, donc le circuit équivalent d'une branche est un générateur de Thévenin (e_{br};r_{br}) tels que:

\begin{matrix}e_{br}=\displaystyle\sum_{k=1}^{y} e=ye &\text{ et } & r_{br}= \displaystyle\sum_{k=1}^{y} r=yr\end{matrix}


Théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires : exercices : image 17


Et puisque il s'agit de x branches montées en parallèle entre A\text{ et }B, on transforme le modèle de Thévenin en un modèle de Norton:

Théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires : exercices : image 24


On obtient le modèle de Norton du circuit équivalent entre A\text{ et }B\text{ : }

\begin{matrix}\eta_{AB}=\displaystyle\sum_{k=1}^{x} \eta_{br}=\displaystyle\sum_{k=1}^{x} \dfrac er=\dfrac{xe}{r} & \text{ et }& r_{AB}=\dfrac{1}{\displaystyle\sum_{k=1}^{x} \dfrac{1}{r_{br}}}=\dfrac{1}{\displaystyle\sum_{k=1}^{x} \dfrac{1}{yr}}=\dfrac{1}{\dfrac{x}{yr}}=\dfrac{y}{x}r\end{matrix}

Théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires : exercices : image 23

Et on retrouve finalement le modèle de Thévenin équivalent demandé entre A\text{ et }B\text{ : }

Théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires : exercices : image 18


\boxed{e_{AB}=ye \enskip \enskip\text{ et }\enskip \enskip r_{AB}=\dfrac{y}{x}r}


Exprimons l'intensité de courant i dans le résistor R en fonction de x, appliquons la loi de Pouillet (On rappelle que xy=n):

i=\dfrac{e_{AB}}{r_{AB}+R} = \dfrac{ye}{\dfrac{y}{x}r+R} \Longrightarrow \boxed{i=\dfrac{nex}{Rx^2+nr}}


Application numérique: n=24\text{ ; }e=1V\text{ ; }r=1\Omega \text{ et }R=6\Omega

i(x)=\dfrac{24x}{6x^2+24}\Longrightarrow \boxed{i(x)=\dfrac{4x}{x^2+4}}

Calculons la dérivée \dfrac{\text{d}i}{\text{d}x}\text{ : }

\dfrac{\text{d}i}{\text{d}x}=\dfrac{4(x^2+4)-4x\times (2x)}{(x^2+4)^2}=\dfrac{4(4-x^2)}{(x^2+4)^2}=\dfrac{4(2-x)(2+x)}{(x^2+4)^2}

Puisque x\in [\![1;24]\!] \text{ , } le signe de \dfrac{\text{d}i}{\text{d}x} est celui de 2-x, d'où:

\begin{cases} \dfrac{\text{d}i}{\text{d}x} >0 &\text{ si }x=1 \\ \dfrac{\text{d}i}{\text{d}x} =0 & \text{si }x=2 \\ \dfrac{\text{d}i}{\text{d}x} <0 &\text{ si }x \in [\![3;24]\!] \end{cases}


On en déduit que:
\boxed{ i\text{ est maximale pour }x=2\text{ et }y=\dfrac{24}{x}=12 }



exercice 4

Il s'agit de superposer les états (e_1=0;e_2)\text{ et }(e_1,e_2=0)\text{ . }

Premier état e_1=0

Le circuit est simplifié en sachant que la résistance équivalente entre B_1\text{ et }A_1\text{ est }R:

Théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires : exercices : image 22


Appliquons la formule du diviseur de courant:

i_2=\dfrac{\dfrac{1}{2R}}{\dfrac{1}{2R}+\dfrac{1}{2R}+\dfrac{1}{2R}}\text{ . }\dfrac{e_2}{2R} \Longrightarrow \boxed{i_2=\dfrac{e_2}{6R}}


Second état e_2=0

Le circuit est simplifié en sachant que la résistance équivalente entre B_2\text{ et }A_2\text{ est }R.

Théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires : exercices : image 6


Appliquons le théorème de Millman au noeud B_1\text{ : }

u'=\dfrac{\dfrac{e_1}{2R}}{\dfrac{1}{2R}+\dfrac{1}{2R}+\dfrac{1}{2R}}\Longrightarrow u'=\dfrac{e_1}{3}


On reconnaît alors un diviseur de tension:

u=\dfrac{R}{R+R}u'=\dfrac{e_1}{6}

\text{Finalement, en appliquant la loi d'Ohm, on obtient : }

i_1=\dfrac{u}{2R}\Longrightarrow \boxed{i_1=\dfrac{e_1}{12R}}


Conclusion

En définitive, d'après le théorème d'Helmholtz de superposition des états:

i=i_1+i_2\Longrightarrow \boxed{i=\dfrac{e_1+2e_2}{12R}}



exercice 5

1) Déterminons R' en fonction de R\text{ :}

Pour n=1\text{ , } la résistance équivalente R_{eq_{1}} entre les bornes A\text{ et }B\text{ est :}

Théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires : exercices : image 11


On a alors:
R_{eq_{1}}=R+(R'//R')=R+\dfrac{1}{\dfrac{1}{R'}+\dfrac{1}{R'}}=R+\dfrac{R'}{2}


Pour n=2\text{ , } la résistance équivalente R_{eq_{2}} entre les bornes A\text{ et }B\text{ est :}

Théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires : exercices : image 16


On a alors:
R_{eq_{2}}=R+(R'//R_{eq_{1}})=R+\dfrac{1}{\dfrac{1}{R'}+\dfrac{1}{R_{eq_{1}}}}=R+\dfrac{1}{\dfrac{1}{R'}+\dfrac{2}{2R+R'}}=R+\dfrac{R'(2R+R')}{2R+3R'}


Or, la résistance équivalente du circuit à la même valeur pour n=1\text{ et }n=2\text{ , alors: }

\begin{matrix}R_{{eq}_{1}}=R_{eq_{2}}&\iff& \dfrac{R'}{2}=\dfrac{R'(2R+R')}{2R+3R'}\\ \\ &\iff& 2R+3R'=4R+2R'\\\\  &\iff& \boxed{ R'=2R} \end{matrix}


2) Déterminons la résistance équivalente du circuit pour n quelconque (en sachant que R'=2R) :

On raisonne par récurrence:

\text{ Pour }n=1\text{ : }R_{eq_{1}}=2R\text{ , et pour }n=2\text{ : }R_{eq_{2}}=R_{eq_{1}}=2R.

Supposons que pour n-1 quelconque, on a R_{eq_{n-1}}=2R , et montrons que R_{eq_{n}}=2R. Le circuit est dans ce cas équivalent à une résistance R en série avec l'association parallèle de R' avec R_{eq_{n-1}}\text{ , donc: }

R_{eq_{n}}=R+(R'//R_{eq_{n-1}})=R+(2R//2R)=R+R=2R

On en déduit que:

\boxed{\text{La résistance équivalente du circuit à }n\text{ modules est : }\boxed{R_{eq_{n}}=2R}}


3) On applique la formule du diviseur de tension:

V_n=\dfrac{R}{2R}V_{n-1}=\dfrac{1}{2} V_{n-1}

Théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires : exercices : image 19


De même:

V_{n-1}=\dfrac{1}{2} V_{n-2}

Théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires : exercices : image 20


Et ainsi de suite, donc:

\text{Pour tout }k\in \lbrace 1;\cdots,;n\rbrace\text{ : }V_{k}=\dfrac{1}{2} V_{k-1}


Il s'agit d'une suite géométrique de raison \dfrac{1}{2} et de premier terme V_0, on obtient donc:

\boxed{\forall n\text{ : }V_n=V_0\left(\frac{1}{2}\right)^n}



exercice 6

1) Quand l'interupteur K est ouvert, le circuit est équivalent à:
Théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires : exercices : image 15

On applique la formule du diviseur de tension pour calculer la différence de potentiel V=V_C-V_B :

V=\dfrac{R'}{R'+R-R'}E\Longrightarrow \boxed{V=\dfrac{R'}{R}E}


Application numérique: V=\dfrac{20}{40}\times 10 \Longrightarrow \boxed{V=5V}


2) Quand l'interupteur K est fermé, le circuit est équivalent à:
Théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires : exercices : image 12

On applique la formule du diviseur de tension pour calculer la différence de potentiel U=V_C-V_B :

U=\dfrac{R_{eq}}{R_{eq}+R-R'}E \enskip \text{ avec } R_{eq}=(R'//r)=\dfrac{rR'}{r+R'}


On obtient:

\begin{matrix} U&=& \dfrac{rR'}{(r+R')\left[\dfrac{rR'}{r+R'}+R-R'\right]}E&=&\dfrac{rR'}{rR'+(r+R')(R-R')}E\end{matrix}


D'où:

\boxed{U=\dfrac{E}{1+\dfrac{(r+R')(R-R')}{rR'}}}


Application numérique:

U=\dfrac{10}{1+\dfrac{120\times 20}{2000}} \Longrightarrow \boxed{U\approx 4,55V}

3-a) On sait que:

La puissance fournie au résistor de résistance r\text{ est : } \mathcal{P}_{r}=\dfrac{U^2}{r}
La puissance totale fournie par le générateur de tension au montage est: \mathcal{P}_{t}=EI=E\left(\dfrac{U}{r}+\dfrac{U}{R'}\right)=\dfrac{EU(r+R')}{rR'}

En effet, l'intensité de courant traversant r (respectivement R') est d'après la loi d'Ohm \dfrac{U}{r} \left(\text{respectivement }\dfrac{U}{R'}\right) . Et d'après la loi des noeuds en C\text{ : }I=\dfrac{U}{r}+\dfrac{U}{R'}.

Théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires : exercices : image 4


Le rendement du montage est donc:

\begin{matrix} \tau &=& \dfrac{\mathcal{P}_r}{\mathcal{P}_t}&=&\dfrac{U^2}{r}\text{ . }\dfrac{rR'}{EU(r+R')} \\\\&=&\dfrac{UR'}{E(r+R')} &=& \dfrac{R'}{E(r+R')} \text{ . } \dfrac{E}{1+\dfrac{(r+R')(R-R')}{rR'}}  \end{matrix}


On obtient:

\boxed{\tau=\dfrac{1}{\left(1+\dfrac{r}{R'}\right)\left[1+\left(\dfrac{1}{R'}+\dfrac{1}{r}\right)(R-R')\right]}}


b) Puisque l'on fait varier r avec R\text{ et }R' constantes (le curseur C reste fixe) , alors on pose \tau(r)= \dfrac{1}{f(r)} \text{ avec }f(r)=\left(1+\dfrac{r}{R'}\right)\left[1+\left(\dfrac{1}{R'}+\dfrac{1}{r}\right)(R-R')\right]

Le rendement \tau passe par un maximum \tau_0 lorsque f passe par un minimum en r=r_0. Déterminons ce r_0\trext{ : }


\begin{matrix}\dfrac{\text{d}f}{\text{d}r}(r)&=& \dfrac{1}{R'}\left[1+\left(\dfrac{1}{R'}+\dfrac{1}{r}\right)(R-R')\right]-\dfrac{R-R'}{r^2}\left(1+\dfrac{r}{R'}\right) \\\\&=& \dfrac{1}{R'}\left[1+\dfrac{R-R'}{R'}+\dfrac{R-R'}{r}-\dfrac{R'(R-R')}{r^2}-\dfrac{R-R'}{r}\right] \\\\&=& \dfrac{1}{R'}\left(\dfrac{R}{R'}-\dfrac{R'(R-R')}{r^2}\right) \\\\&=& \dfrac{R}{R^{'^2}r^2}\left[r^2-R^{'^2}\left(1-\dfrac{R'}{R}\right)\right] \\\\&=& \dfrac{R}{R^{'^2} r^2}\left(r+R'\sqrt{1-\dfrac{R^'}{R}}\right)\left(r-R'\sqrt{1-\dfrac{R^'}{R}}\right)\end{matrix}


\left(\text{On  rappelle que }0\leq R'<R\text{ et }0\leq r\right)

Le signe de \dfrac{\text{d}f}{\text{d}r} est celui de r-R'\sqrt{1-\dfrac{R^'}{R}}\text{ , d'où : }

\dfrac{\text{d}f}{\text{d}r}(r)<0 \text{ si }0\leq r< R'\sqrt{1-\dfrac{R^'}{R}} \enskip \left( f\text{ décroissante }\right)\enskip\enskip \enskip \enskip\text{ et }\enskip\enskip \enskip\enskip \dfrac{\text{d}f}{\text{d}r}(r)>0 \text{ si }r> R'\sqrt{1-\dfrac{R^'}{R}} \enskip \left( f\text{ croissante }\right)


f admet donc un minimum en r_0=R'\sqrt{1-\dfrac{R^'}{R}} , ou encore:

\boxed{\begin{matrix}\text{Le rendement }\tau \text{ est maximal pour }r_0=R'\sqrt{1-\dfrac{R^'}{R}} & \text{: }\tau_0=\dfrac{1}{\left(1+\dfrac{r_0}{R'}\right)\left[1+\left(\dfrac{1}{R'}+\dfrac{1}{r_0}\right)(R-R')\right]}\end{matrix}}


Application numérique

r_0=30\sqrt{1-\dfrac{30}{40}}=\dfrac{30}{2}\Longrightarrow \boxed{r_0=15\Omega}

\tau_0=\dfrac{1}{\left(1+\dfrac{15}{30}\right)\left[1+\left(\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{15}\right)(40-30)\right]}\Longrightarrow \boxed{\tau_0=\dfrac{1}{3}\text{ ou encore }\tau_0=33,33\%}


exercice 7

1-a)

Premier état e_2=0

Le circuit se simplifie donc en :

Théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires : exercices : image 14


Appliquons le théorème de Millman ( on note i_1 le courant qui traverse la charge R) \text{ : }

Ri_1=\dfrac{\dfrac{e_1}{r_1}}{\dfrac{1}{r_1}+\dfrac{1}{R}+\dfrac{1}{r_2}} = \dfrac{e_1Rr_2}{R(r_1+r_2)+r_1r_2}


On obtient:
\boxed{i_1=\dfrac{e_1r_2}{R(r_1+r_2)+r_1r_2}}\enskip  (a)


Deuxième état e_1=0

Le circuit se simplifie donc en :

Théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires : exercices : image 21


On note i_2 le courant qui traverse la charge R et appliquons le théorème de Millman \text{ : }

Ri_2=\dfrac{\dfrac{e_2}{r_2}}{\dfrac{1}{r_1}+\dfrac{1}{R}+\dfrac{1}{r_2}} = \dfrac{e_2Rr_1}{R(r_1+r_2)+r_1r_2}


On obtient:
\boxed{i_2=\dfrac{e_2r_1}{R(r_1+r_2)+r_1r_2}}\enskip (b)


On déduit de (a)\text{ et }(b), d'après le théorème de superposition des états \text{ : }

i=i_1+i_2\Longrightarrow \boxed{i=\dfrac{e_1r_2+e_2r_1}{R(r_1+r_2)+r_1r_2}}


b) Déterminons l'expression temporelle de la f.é.m. e_1(t)\text{ : }

On sait que la f.é.m. e_1 décroît linéairement au cours du temps avec e_1(0)=6V \text{ et } e_1(24)=4,8V , donc:

e_1(t)=\alpha t+ \beta \text{ avec } \beta = e_1(0)=6V \text{ et }\alpha= \dfrac{e_1(24)-e_1(0)}{24-0}=\dfrac{4,8-6}{24}=-0,05

\boxed{\text{La f.é.m. }e_1\text{ s'écrit en fonction de }t\text{ : } e_1(t)=-0,05 t+6  \enskip\left( t\text{ en }h\right)}


On en déduit l'expression de i en fonction de t\text{ : }

\begin{matrix} i(t)&=& \dfrac{r_2 e_1(t)+e_2r_1}{R(r_1+r_2)+r_1r_2} &=& \dfrac{r_2}{R(r_1+r_2)+r_1r_2}e_1(t)+ \dfrac{e_2r_1}{R(r_1+r_2)+r_1r_2} \\\\&=& \dfrac{r_2}{R(r_1+r_2)+r_1r_2}(-0,05 t+6)+ \dfrac{e_2r_1}{R(r_1+r_2)+r_1r_2} &=&   -0,05 t\dfrac{r_2}{R(r_1+r_2)+r_1r_2}+\dfrac{6r_2}{R(r_1+r_2)+r_1r_2}+ \dfrac{e_2r_1}{R(r_1+r_2)+r_1r_2} \\\\ &=&   -0,05 t\dfrac{r_2}{R(r_1+r_2)+r_1r_2} + \dfrac{e_2r_1+6r_2}{R(r_1+r_2)+r_1r_2} \end{matrix}

D'où:
\boxed{ i(t)=\dfrac{-0,05 \text{ . }r_2}{R(r_1+r_2)+r_1r_2} t+ \dfrac{e_2r_1+6r_2}{R(r_1+r_2)+r_1r_2}}


Application numérique

i(t)=\dfrac{-0,05 \times 0,1 }{10(4+0,1)+4\times 0,1} t+ \dfrac{4\times 4 +6\times 0,1}{10(4+0,1)+4\times 0,1}\Longrightarrow \boxed{i(t)=-1,2.10^{-4}t+0,4} \enskip \left(i\text{ en }A\text{ et } t\text{ en }h\right)

2) On a:

 \dfrac{i(0)-i(24)}{i(0)} =\dfrac{ 0,4-(-1,2.10^{-4}\times 24+0,4)}{0,4} \Longrightarrow \boxed{\dfrac{i(0)-i(24)}{i(0)}=0,0072=0,72\%}


Commentaire:

La diminution est faible à cause de la petite valeur de r_2 , ce qui maintient une intensité quasi-constante dans la résistance de charge R. L'accumulateur s'oppose donc aux variations de e_1(t) .
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