Théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires
-Fiche d'exercices-
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exercice 1
Résistance équivalente d'un circuit
Dans le circuit de la figure ci-dessous, on note les courants circulant respectivement dans les résistances .
1) Montrer que .
2) En déduire la résistance équivalente du circuit définie par: .
exercice 2
Circuit à deux noeuds indépendants - Théorème de Millman
On considère le montage électrique suivant:
1) Déterminer l'intensité du courant circulant dans la résistance .
Calculer numériquement lorsque
2) Reprendre la question précédente en supposant qu'il existe maintenant générateurs de tension en parallèle avec la résistance entre , le générateur de tension ayant pour f.é.m. et pour résistance interne
exercice 3
Groupement de piles
On dispose de piles identiques de f.é.m. et de résistance interne . On réalise le branchement en parallèle entre de dipôles comprenant chacun piles en série.
Déterminer pour que l'intensité du courant circulant dans une résistance branchée entre soit maximale si .
exercice 4
Étude d'un circuit par la méthode de superposition des états
Soit un circuit linéaire dont les résistances et les f.é.m. des sources de tension sont indiquées dans la figure suivante:
Déterminer l'intensité du courant qui circule dans la branche en considérant deux états successifs du circuit.
exercice 5
Circuits à modules
On considère le circuit de la figure suivante constitué de modules identiques terminés à droite par une résistance .
On donnera à une valeur telle que la résistance équivalente du circuit (vu de ) ait la même valeur pour et .
1) Déterminer en fonction de .
2) Quelle est la résistance équivalente du circuit pour un nombre quelconque de modules?
3) La tension d'entrée étant imposée, exprimer les d.d.p. en fonction de .
exercice 6
Étude d'un potentiomètre - Aspect énergétique
On considère le montage électrique ci-dessous, appelé potentiomètre, alimenté par un générateur idéal de tension continue, de force électromotrice .
La branche est constituée d'un résistor de résistance possédant un curseur , réalisant un contact mobile, représente un interrupteur et la résistance d'un autre résistor.
Le contact en définit une résistance pour le tronçon de la branche .
1) Calculer la différence de potentiel entre les points et quand l'interupteur est ouvert.
Application numérique: .
2) Calculer la différence de potentiel entre les points et quand l'interupteur est fermé.
Application numérique: .
3-a) Le rendement du montage est défini par le rapport de la puissance électrique fournie à la résistance , à la puisance totale absorbée par le montage constitué de et . Donner l'expression de ce rendement en fonction de .
b) Le point restant fixe, on fait varier , Le rendement passe par un maximum de valeur . Trouver la valeur de rendant maximal.
Application numérique: .
exercice 7
Batterie tampon - Superposition d'états
Considérons le montage de la figure suivante:
Une pile de résistance interne a une f.é.m. qui décroît linéairement au cours du temps:
Cette pile débite dans une résistance de charge .
On utilise un accumulateur de f.é.m. et de résistance interne pour stabiliser le courant dans .
1-a) Déterminer l'expression du courant , qui circule dans la résistance , en superposant deux états.
b) En déduire l'expression temporelle de .
2) Quelle est la diminution relative d'intensité dans la résistance en ? Commenter le résultat.
1)Le résistor étant un récepteur, on représente les différents courants et tensions en convention récepteur:
On a:
On en tire que:
2) Pour déterminer la résistance , il faut trouver les expressions de et de
On a:
Et:
On en déduit:
exercice 2
1) Directement, en utilisant le théorème de millman:
Et d'après la loi d'Ohm:
On obtient:
Application numérique:
2)On appliquant le théorème de millman:
Et en sacxhant que:
On obtient:
Application numérique: On remplace par sa valeur:
exercice 3
On a piles identiques au total, donc
Chaque branche entre comprend piles en série, donc le circuit équivalent d'une branche est un générateur de Thévenin tels que:
Et puisque il s'agit de branches montées en parallèle entre , on transforme le modèle de Thévenin en un modèle de Norton:
On obtient le modèle de Norton du circuit équivalent entre
Et on retrouve finalement le modèle de Thévenin équivalent demandé entre
Exprimons l'intensité de courant dans le résistor en fonction de , appliquons la loi de Pouillet (On rappelle que ):
Application numérique:
Calculons la dérivée
Puisque le signe de est celui de , d'où:
On en déduit que:
exercice 4
Il s'agit de superposer les états
Premier état
Le circuit est simplifié en sachant que la résistance équivalente entre :
Appliquons la formule du diviseur de courant:
Second état
Le circuit est simplifié en sachant que la résistance équivalente entre .
Appliquons le théorème de Millman au noeud
On reconnaît alors un diviseur de tension:
Conclusion
En définitive, d'après le théorème d'Helmholtz de superposition des états:
exercice 5
1) Déterminons en fonction de
Pour la résistance équivalente entre les bornes
On a alors:
Pour la résistance équivalente entre les bornes
On a alors:
Or, la résistance équivalente du circuit à la même valeur pour
2) Déterminons la résistance équivalente du circuit pour quelconque (en sachant que ) :
On raisonne par récurrence:
.
Supposons que pour quelconque, on a , et montrons que . Le circuit est dans ce cas équivalent à une résistance en série avec l'association parallèle de avec
On en déduit que:
3) On applique la formule du diviseur de tension:
De même:
Et ainsi de suite, donc:
Il s'agit d'une suite géométrique de raison et de premier terme , on obtient donc:
exercice 6
1) Quand l'interupteur est ouvert, le circuit est équivalent à:
On applique la formule du diviseur de tension pour calculer la différence de potentiel :
Application numérique:
2) Quand l'interupteur est fermé, le circuit est équivalent à:
On applique la formule du diviseur de tension pour calculer la différence de potentiel :
On obtient:
D'où:
Application numérique:
3-a) On sait que:
La puissance fournie au résistor de résistance La puissance totale fournie par le générateur de tension au montage est:
En effet, l'intensité de courant traversant (respectivement ) est d'après la loi d'Ohm . Et d'après la loi des noeuds en .
Le rendement du montage est donc:
On obtient:
b) Puisque l'on fait varier avec constantes (le curseur reste fixe) , alors on pose
Le rendement passe par un maximum lorsque passe par un minimum en . Déterminons ce
Le signe de est celui de
admet donc un minimum en , ou encore:
Application numérique
exercice 7
1-a)
Premier état
Le circuit se simplifie donc en :
Appliquons le théorème de Millman ( on note le courant qui traverse la charge )
On obtient:
Deuxième état
Le circuit se simplifie donc en :
On note le courant qui traverse la charge et appliquons le théorème de Millman
On obtient:
On déduit de , d'après le théorème de superposition des états
b) Déterminons l'expression temporelle de la f.é.m.
On sait que la f.é.m. décroît linéairement au cours du temps avec , donc:
On en déduit l'expression de en fonction de
D'où:
Application numérique
2) On a:
Commentaire:
La diminution est faible à cause de la petite valeur de , ce qui maintient une intensité quasi-constante dans la résistance de charge . L'accumulateur s'oppose donc aux variations de .
Publié par malou/Panter
le
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Merci à Panter pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
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