Fiche de physique - chimie

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Dipôles électrocinétiques

-Fiche d'exercices-

exercice 1

Caractéristique d'une pile

Lors d'une expérience, nous avons mesuré la tension $u$ entre les bornes d'une pile et le courant $i$ qu'elle débite. On a regroupé les données dans le tableau suivant:

$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline u\text{ en }[V]&1,5&1,45&1,4&1,35&1,2&0,9&0,5&0 \\ \hline i\text{ en }[mA]&0&50&100&150&200&250&300&350\\ \hline \end{array}$

1) Tracer la caracéristique de la pile.

2) Par quoi peut-on modéliser la pile à faible intensité? Donner son équation caractéristique.

3) Quelle est l'intensité maximale que peut débiter la pile pour conserver une caractéristique linéaire?

exercice 2

Caractéristique d'une diode

Lors de l'étude d'une diode à jonction, nous avons tracé la caractéristique suivante:

Dipôles électrocinétiques : exercices : image 7

Dipôles électrocinétiques : exercices : image 9

1-a) Quelle est, expérimentalement, la tension minimale $u_l$ à appliquer entre les bornes de la diode pour qu'elle conserve une caractéristique linéaire?

b) Dans sa partie linéaire $(u>u_l)$ , donner un modèle équivalent de la diode.

2) On branche aux bornes de la diode un générateur de tension de force électromotrice $E=1,5V$ et de résistance interne $R$ . Le courant traversant la diode vaut alors $i=100mA$ .

a) Déterminer la résistance interne $R$ du générateur.

b) Calculer la puissance reçue par la diode et la puissance fournie par le générateur.

3) On modélise la caractéristique de la diode par deux droites, préciser les droites modélisant le mieux la diode.

4) On branche aux bornes de la diode un générateur de tension idéal de force électromotrice $E=1,5V$ , placé en série avec une résistance variable $R$ .

Dipôles électrocinétiques : exercices : image 8

En utlisant le modèle établi en 3), tracer la courbe donnant la puissance $\mathcal{P}$ reçue par la diode en fonction de $R$ .

exercice 3

Points de fonctionnement d'un dipôle

On considère un dipôle $D$ pouvant dégager une puissance maximale $\mathcal{P}_{M}$ de $1$ watt sans être détruit. On admet pour la caractéristique courant-tension de $D$ une relation de la forme $i=ku^n$ avec $k\text{ et }n$ constants.

Dipôles électrocinétiques : exercices : image 10

Par lasuiter, on exprimera $i$ en $mA$ et $u$ en volts.

1) On relève expérimentalement les deux points suivants:

Point $M_1\text{ : }u_1=30V\text{ , }i_1=0,27mA$
Point $M_2\text{ : }u_2=90V\text{ , }i_2=7,29mA$

Déterminer les valeurs de $k\text{ et }n.$

2-a) Exprimer en fonction de $\mathcal{P}_{M}\text{ , }k\text{ et }n$ la valeur maximale de $u$ admissible par $D$ , puis faire l'application numérique.

b) En déduire la valeur maximale de $i$ admissible par le dipôle $D$ .

3) Tracer la caractéristique tension-courant ( $u$ en abscisse , $i$ en ordonnée) pour $-100V\leq u \leq 100V$ .

4) Entre les points $A\text{ et }B$ , on branche en série une source de tension idéale de force électromotrice $E_0=100V$ avec un résistor de résistance $R=10k\Omega$ .

a) Quelle est l'équation de la caractéristique tension-courant $i(u)$ de ce groupement série $(E_0;R)$ ?

b) Lorsqu'un générateur débite dans une charge, on appelle point de fonctionnement du circuit le point d'intersection des caractéristiques du générateur et de la charge.

Déterminer graphiquement le point de fonctionnement $M_0(u_0;i_0)$ du circuit ci-dessus, et en déduire $u_0\text{ et }i_0$ .

5) On définit la résistance dynamique $R_d$ de $D$ par la pente de la tangente à la caractéristique $i(u)$ au point de fonctionnement : $R_d=\left(\dfrac{\text{d}u}{\text{d}i}\right)_{(i_0;u_0)}$

À la suite d'une petite fluctuation de la source de tension, la f.é.m. devient $E=E_0+\delta E \text{ , avec }\delta E<<E_0$ , ce qui correspond à un nouveau point de fonctionnement $M_0' (u=u_0+\delta u ; i=i_0+\delta i)$ .

a) Exprimer $R_d$ en, fonction de $u_0\text{ , }i_0\text{ et }n$ , puis faire l'application numérique.

b) Déterminer $\delta u$ en fonction de $R\text{ , }R_d\text{ et }\delta E$ .

Voir la correction

exercice 1

1) On trace la caractéristique tension-courant $u(i)$ qui est plus adaptée dans ce cas:

Dipôles électrocinétiques : exercices : image 12

2) A faible intensité, la caractéristique est linéaire ne passant pas l'origine, c'est donc un dipôle actif linéaire, qu'on peut modéliser par un générateur de Thévenin.

$\boxed{\text{ À faible intensité, la pile peut être modélisée par un générateur de Thévenin}}$

L'équation caractéristique s'écrit alors $u=e-ri$ , avec $e$ la force électromotrice du générateur et $r$ sa résistance interne, déterminons ces deux constantes:

Lorsque $i=0\text{ A} \text{ : }\boxed{e=1,5\text{ V}}$

Calculons la pente de la droite (en convention générateur): $r=-\dfrac{\Delta u}{\Delta i }$

Application numérique: $r=-\dfrac{1,5-1,4}{0-0,1} \Longrightarrow \boxed{r=1 \Omega}$

Conclusion: $\boxed{\text{L'équation caractéristique de la pile à faible intensité est: } u=1,5-i }$

3) D'après la caractéristique $u(i)$ tracée en 1) :

$\boxed{\text{ La caractéristique de la pile est linéaire jusqu'à }150\text{ mA} }$

exercice 2

1-a) On lit graphiquement:

Dipôles électrocinétiques : exercices : image 11

D'où:

$\boxed{u_l=0,7V}$

b) Pour $u>0,7V$ , la caractéristique est linéaire, la diode est donc équivalent à un générateur de Thévenin en convention récepteur, on peut donc écrire:

$u=e+ri \enskip\enskip \text{ où: } \begin{cases} e\text{ : La force contre électromotrice} \\ r\text{ : La résistace interne} \end{cases}$

Pour déterminer $e$ , on prolonge la droite jusqu'à l'axe des abscisses, on trouve: $\boxed{e=0,5V}$

Calculons la pente de la droite: $r=\dfrac{\Delta u}{\Delta i }$

Application numérique: $r=\dfrac{2-1}{0,3-0,1} \Longrightarrow \boxed{r=5 \Omega}$

Conclusion: $\boxed{\text{ La diode est équivalente à une force contre électromotrice }e=0,5V \text{ en série avec la résistance }r=5\Omega}$

Dipôles électrocinétiques : exercices : image 6

2-a) On réalise le montage suivant:

Dipôles électrocinétiques : exercices : image 1

Puisque $i=0,1A$ , on lit sur la caractéristique de la diode: $u=1V$

Donc, d'après la loi des mailles: $E-Ri=u \Longrightarrow \boxed{R=\dfrac{E-u}{i}}$

Application numérique: $R=\dfrac{1,5-1}{0,1} \Longrightarrow \boxed{r=5 \Omega}$

b)
La puissance reçue par la diode est (en convention récepteur): $\boxed{\mathcal{P}_{r}=ui}$
Application numérique: $\mathcal{P}_{r}=1\times 0,1 \Longrightarrow \boxed{\mathcal{P}_{r}=0,1W}$

La puissance fournie par le générateur (en convention générateur): $\mathcal{P}_{f}=(e-ri)i=ui\Longrightarrow \boxed{\mathcal{P}_{f}=\mathcal{P}_{r} }$
Application numérique: $\boxed{\mathcal{P}_{f}=0,1W}$

Remarque: On constate que l'énergie se conserve dans le circuit.

3) Les droites les mieux adaptées pour modéliser la diode sont:

$\boxed{\begin{cases} i=0& \text{, pour }u\leq 0,5V\\u=5i+0,5 &\text{, pour }u>0,5V\end{cases}}$

Dipôles électrocinétiques : exercices : image 2

Remarque: La tension $u_s=0,5V$ s'appelle la tension de seuil de la diode.

4) Calculons l'intensité de courant traversant la diode, d'après la loi des mailles:

$\begin{matrix}u=E-Ri &\iff& e+ri=E-Ri &\iff& \blue i=\dfrac{E-e}{R+r} & & \left(i>0\text{ puisque }E> e\right)\end{matrix}$

La tension au bornes de la diode est donc:

$\begin{matrix}u=e+ri &\iff& u=e+r\dfrac{E-e}{R+r} \\&\iff& u=\dfrac{e(R+r)+r(E-e)}{R+r}\\&\iff& \blue u=\dfrac{eR+rE}{R+r} \end{matrix}$

La puissance $\mathcal{P}$ reçue par la diode vaut donc:

$\begin{matrix}\marhcal{P}&=& ui&=&\dfrac{eR+rE}{R+r}\times \dfrac{E-e}{R+r} &\Longrightarrow & \boxed{\mathcal{P}=\dfrac{(E-e)(eR+rE)}{(R+r)^2}}\end{matrix}$

Étudions les variations de la fonction $\mathcal{P}$ de variable $R$ , calculons la dérivée $\dfrac{\text{d}\mathcal{P}}{\text{d}R}\text{ : }$

$\begin{matrix} \dfrac{\text{d}\mathcal{P}}{\text{d}R}&=& (E-e)\dfrac{e(R+r)^2-2(R+r)(eR+rE)}{(R+r)^4}&=& (E-e)\dfrac{e(R+r)-2(rE+Re)}{(R+r)^3}}\\\\&=& (E-e)\dfrac{eR+er-2rE-2Re}{(R+r)^3} &=& \boxed{(E-e)\dfrac{e(r-R)-2rE}{(R+r)^3}}\end{matrix}$

$E-e>0 \text{ et }(R+r)^3>0 \text{ , le signe de }\dfrac{\text{d}\mathcal{P}}{\text{d}R}\text{ est celui de }e(r-R)-2rE$

On vérifie si $\dfrac{\text{d}\mathcal{P}}{\text{d}R}$ s'annule:

$\dfrac{\text{d}\mathcal{P}}{\text{d}R}=0 &\iff& e(r-R)-2rE=0 &\iff& eR=er-2rE &\iff& R=\dfrac{r(e-2E)}{e}<0\enskip\left(\text{ pusique }e-2E<0\right)$

Or, $R$ est une résistance, donc $R$ ne peut pas être négative, $\dfrac{\text{d}\mathcal{P}}{\text{d}R}$ ne s'annule donc pas et admet un signe constant qu'on peut trouver en calculant $\dfrac{\text{d}\mathcal{P}}{\text{d}R} (R=0) \text{ : }$

$\dfrac{\text{d}\mathcal{P}}{\text{d}R} (R=0) &=& (E-e)\dfrac{e-2E}{r^2}<0 \enskip\enskip \left(\text{ En effet: } 0<E-e \text{ ; }0<r^2\text{ et }e-2E<0 \right)$

Finalement: $\boxed{\mathcal{P}\text{ est décroissante avec: } \begin{cases} \mathcal{P}_{\text{max}}=\mathcal{P}(0)=\dfrac{E(E-e)}{r} \\ \mathcal{P}\to 0 \text{ quand }(R\to \infty) \end{cases}}$

Applications numériques:

$\mathcal{P}(R)=\dfrac{(1,5-0,5)(0,5R+5\times 1,5)}{(R+5)^2}}=\dfrac{0,5R+7,5}{(R+5)^2}}\Longrightarrow \boxed{\mathcal{P}(R)=\dfrac{R+15}{2(R+5)^2}}}$

$\mathcal{P}_{\text{max}}=\dfrac{1,5(1,5-0,5)}{5}=0,3\text{W}$

La courbe de $\mathcal{P}$ en fonction de $R$ :

Dipôles électrocinétiques : exercices : image 5

exercice 3

On rappelle qu'il est demandé d'exprimer l'intensité de courant en $mA$ .

1) La caractéristique a pour équation $i=ku^n$ , ce qui donne $\begin{cases} \bullet & i_1=ku_1^n \\ \bullet & i_2=ku_2^n \end{cases}$ .

D'où, en sachant que $u_1\text{ et }i_1$ sont non nuls: $\dfrac{i_2}{i_1}=\left(\dfrac{u_2}{u_1}\right)^n\Longrightarrow \boxed{ n=\dfrac{\ln\left(\dfrac{i_2}{i_1}\right)}{ \ln\left(\dfrac{u_2}{u_1}\right)}}}$

Et: $i_2=ku_2^n \Longrightarrow \boxed{k=\dfrac{i_2}{u_2^n}}$

Application numérique:
$n=\dfrac{\ln\left(\dfrac{7,29}{0,27}\right)}{ \ln\left(\dfrac{90}{30}\right)}\Longrightarrow \boxed{n=3}$
$k=\dfrac{7,29}{90^3} \Longrightarrow \boxed{k=10^{-5} mA/V^3}$

2-a) La puissance maximale s'écrit en fonction de la tension et l'intensité de courant maximales admissibles: $\mathcal{P}_M=u_M.i_M$

Et puisque $i_M=ku_M^n$ , alors: $\mathcal{P}_M=ku_M^{n+1}\Longrightarrow \boxed{u_M=\left(\dfrac{\mathcal{P}_M}{k}\right)^{1/n+1}}$

Application numérique: $u_M=\left(\dfrac{1}{10^{-5}.10^{-3}}\right)^{1/4}\Longrightarrow \boxed{u_M=100V}$

b) On a directement: $\boxed{i_M=ku_M^n}$

Application numérique: $i_M= 10^{-5} \times 100^3 \Longrightarrow \boxed{i_M= 10mA}$

Remarque: Attention $k=10^{-5} \red mA$ $/ V^3$

3) On dresse un tableau de valeurs numériques:

$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|} \hline u\text{ en }[V]&0&\pm 20 & \pm 40 & \pm 60 &\pm 80 & \pm 100 \\ \hline i\text{ en }[mA]&0&\pm 0,08 & \pm 0,64 & \pm 2,16 & \pm 5,12 & \pm 10 \\ \hline \end{array}$

Et on trace la caractéristique du dipôle $D$ :

Dipôles électrocinétiques : exercices : image 13

4-a) Le groupement série $(E_0;R)$ n'est autre que le générateur de Thévenin de f.é.m. $E_0$ et de résistance interne $R$ , alors, on écrit (en convention générateur):

$u=E_0-Ri \Longrightarrow \boxed{i=-\dfrac{1}{R}u+\dfrac{E_0}{R}}$

Application numérique: $i=-\dfrac{1}{10}u+10\Longrightarrow \boxed{i=-0,1u+10}$

b) On trace la caractéristique du générateur de tension, le point d'intersection avec la caractéristique de $D$ est le point de fonctionnement recherché:

Dipôles électrocinétiques : exercices : image 4

On lit: $\boxed{ M_0(68\text{ ; }3,2) \text{, donc: }u_0\approx 68V\text{ et }i_0\approx 3,2mA}$

5-a) Puisque $i=ku^n$ , alors:

$\text{d}i=knu^{n-1}\text{ d}u=n\dfrac{i}{u}\text{ d}u \Longrightarrow \dfrac{\text{d}u}{\text{d}i}=n\dfrac{i}{u}$

On en déduit la résistance dynamique du dipôle $D$ :

$R_d=\left(\dfrac{\text{d}u}{\text{d}i}\right)_{(i_0;u_0)}\Longrightarrow \boxed{R_d=n\dfrac{i_0}{u_0}}$

Application numérique: $R_d=3\times\dfrac{3,2}{68}\Longrightarrow \boxed{R_d=0,14 m\Omega}$

b) Lorsque la f.é.m. de la source de tension varie de $\delta E$ , $u \text{ et } i$ varient respectivement de $\delta u \text{ et }\delta i$ tels que:

$u_{(i_0+\delta i )}=u_{(i_0)}+\delta i \left(\dfrac{\text{d}u}{\text{d}i}\right)_{i_0} =u_0+R_d \delta i \enskip\text{, avec }\enskip u_{(i_0+\delta i )}=u_0+\delta u$

Soit: $\delta u = R_d \delta i$

En outre, les points $M_0\text{ et }M_0^'$ appartiennent à la droite caractéristique du générateur de Thévenin (le groupement série $(E,R)$ ) , ce qui se traduit par:

$u=E-Ri\text{ et }u_0=E_0-Ri_0 \enskip \Longrightarrow \enskip u-u_0=E-E_0-R(i-i_0)$

On en déduit:

$\delta E= \delta u +R\delta i =\delta u\left(1+\dfrac{R}{R_d}\right) \Longrightarrow \boxed{\delta u = \dfrac{\delta E}{1+\dfrac{R}{R_d}}}$