Niveau terminale

Une Equation différentielle

Posté par
Liteman 15-03-10 à 21:46

Bonjours à tous membres de ilephysique,

j'ai fini mon DM mais je bloque sur une question:

Équation différentielle : a(t)= (dv/dt)_t=-A*v(t)+B
A=46.2USI et B=8.51USI (calculer précédemment)

Supposons que =1 la vitesse répond donc à l'équation différentielle:
(dv/dt)_t=-A*v(t)+B (1)
dont la solution est de forme v(t)=V_lim*(1-(exp)(-t/))

Vérifier que l'expression v(t) est bien solution de l'équation différentielle (1).
En déduire les valeurs de et V_lim (on rappelle que A et B sont connues)

Merci de vos réponses

Posté par re : Une Equation différentielle 15-03-10 à 22:09

Bonsoir,
Si = 1, l'équation différentielle est :
$3$\frac{dv}{dt}\,=\,-A\,v(t)\,+\,B$

Citation :
Vérifier que l'expression v(t) est bien solution de l'équation différentielle (1).

Il suffit de calculer dv/dt à partir de v(t) et de remplacer dans l'équation différentielle.

Posté par re : Une Equation différentielle 16-03-10 à 13:14

Bonjours,
je suis d'accord avec vous mais c'est après que je bloque.
d(v)/d(t) on remplace d(v)/d(t)=d[V_lim*(1-e^-t/)]/d(t)
=V_lim*(-e^-t/)*(-t/)
c'est bien ça?
Merci

Posté par re : Une Equation différentielle 16-03-10 à 16:53

$3$\frac{dv}{dt}\,=\,-A\,v(t)\,+\,B$
et
$3$v(t)\,=\,V_{lim}\,(1-e^{-\frac{t}{\tau}})$
$3$\frac{dv(t)}{dt}\,=\,V_{lim}\,\frac{1}{\tau}\,e^{-\frac{t}{\tau}}$

$3$V_{lim}\,\frac{1}{\tau}\,e^{-\frac{t}{\tau}}\,=\,-A\,V_{lim}\,(1-e^{-\frac{t}{\tau}})\,+\,B$
$3$V_{lim}\,\frac{1}{\tau}\,e^{-\frac{t}{\tau}}\,+\,A\,V_{lim}\,(1-e^{-\frac{t}{\tau}})\,-\,B\,=\,0$
$3$V_{lim}\,e^{-\frac{t}{\tau}}\,(\frac{1}{\tau}\,-\,A)\,+\,A\,V_{lim}\,-\,B\,=\,0$

Cela doit être vrai quel que soit t.
Donc $3$v(t)\,=\,V_{lim}\,(1-e^{-\frac{t}{\tau}})$ est solution si :
==> $3$\frac{1}{\tau}\,-\,A\,=\,0\,\Rightarrow\,A\,=\,\frac{1}{\tau}\,$
==> $3$A\,V_{lim}\,-\,B\,=\,0\,\Rightarrow\,B\,=\,A\,V_{lim}\,\Rightarrow\,B\,=\,\frac{V_{lim}}{\tau}$

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