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Satellites, vaisseaux spatiaux et trous noirs.
Bonjour,
je bloque un peu sur l'exo d'un DM à rendre prochainement, je recherche un petit coup de pouce... Merci d'avance à tous !
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La terre sera considérée comme un corps sphérique de masse notée M et de rayon noté R. Le référentiel géocentrique sera assimilé à un référentiel galiléen dans cet exercice.
La cste de gravitation universelle est G = 6,672.10^-11 unités SI.
On montre que l'énergie potentielle gravitationnelle d'un objet ponctuel de masse m soumis à l'attraction d'un corps sphérique de masse M est donnée par la formule : Ep = - (GMm)/r où r est la distance séparant l'objet du centre du corps.
1 - Un satellite de masse m << M tourne autour de la terre à une altitude h au-dessus de sa surface, en-dehors de l'atmosphère.
a) Rappeler l'expression vectorielle de la force gravitationnelle F exercée par la Terre sur ce satellite. On s'aidera d'un schéma.
F(T->S) = G x (m x M)/d²
Or m négligeable face à M donc : F(T->S) = GM/d².
Pour le schéma, on connait tous la représentation classique donnée en Seconde...
b) Donner l'expression générale de l'énergie mécanique Em d'un objet de masse m se déplaçant à une distance r du centre de la Terre, à une vitesse quelconque v.
Em = Ep + Ec avec :
Ec = 0,5mv²
Ep = - (GMm)/r
d'où : Em = 0,5mv² - (GMm)/r.
???
c) Il n'y a pas de frottements hors de l'atmosphère terrestre, puisque l'on se trouve dans le vide. L'énergie mécanique se conserve donc. En utilisant cette propriété, montrer que si le mouvement du satellite est circulaire, alors il est uniforme.
Il faut utiliser les lois de Kepler, non ?
Donner la première loi de Kepler, puis la seconde : "sur un cercle, pendant des intervalles de temps égaux, OM ne balaie des surfaces égales que si la vitesse M est constante : le mouvement circulaire est donc uniforme.
Donner la troisième loi de Kepler avec a = R comme période de révolution d'un corps céleste en mouvement circulaire uniforme :
T = 2
(R^3/GM) puis retrouver ce résultat avec la seconde loi de Newton ?
Comme il n'y a aucun frottement, la vitesse ne variera pas, d'où raisonnement (je donne ici rapidement le brouillon mais je ne rédigerai bien entendu pas ainsi !).
d) Retrouver l'expression donnant la vitesse v(S) du satellite en fonction de son altitude h.
On est censé arriver à :
v = (G x(Mo/R) ???
e) En déduire la période de révolution T1.
Euh...
f) Déterminer Em pour un satellite en orbite circulaire, la comparer à Ep et à l'énergie cinétique.
Je bloque.
g) Application numérique :
h = 590 km ;
R = 6 371 km ;
M = 5,974.10^24 kg ;
m = 11 t.
Calculer F, g, v(S) et T (ceci est le télescope spatial Hubble).
2 - Le lancement du satellite Hipparcos a été raté. Le moteur qui devait lui permettre d'atteindre son orbite géostationnaire ne s'est pas allumé, et il est resté sur une orbite de transfert. Sur cette orbite, son altitude n'est pas constante : elle variait entre h1 = 508 km et h2 = 35 888 km.
a) Quelle forme avait l'orbite d'Hipparcos ?
A quel endroit de l'orbite la vitesse d'Hipparcos était-elle maximale ?
Une ellipse.
Maximale en l'aphélie.
b) Déterminer le demi-grand-axe de cette orbite et en déduire la période de révolution T2, faire l'application numérique.
Demi-grand-axe a = 17 690 km.
3ème loi de Kepler :
T²/a² = cste
<=> T²/a² = 2,987.10^-7
<=> T = (a² x 2,987.10^-7)
<=> AN.
Merci de confirmer...
3 -
a) Vers quelle valeur tend l'énergie potentielle de l'objet lorsqu'il s'éloigne à l'infini ?
+ 
???
b) Pour échapper à l'influence gravitationnelle de la Terre, un vaisseau spatial doit pouvoir s'en éloigner à l'infini. Donner une condition sur son énergie mécanique pour que ce soit possible.
Qu'elle se conserve ???
Je sèche complètement.
c) En déduire que, lorsqu'il se trouve à une distance r du centre de la Terre, sa vitesse doit être supérieure à une vitesse minimale notée v(L) et appelée vitesse de libération.
...
d) Comparer la vitesse de libération v(L) et la vitesse de satellisation v(S). Calculer alors numériquement la vitesse de libération pour Hubble.
4 - On rappelle que le volume d'une sphère de rayon r est donné par : V = (4/3)r^3.
a) Exprimer la masse volumique 
d'un corps sphérique en fonction de la vitesse de libération pour un objet se trouvant à sa surface et du rayon r de ce corps.
b) Exprimer le champ gravitationnel g à la surface d'un corps sphérique en fonction de la vitesse de libération pour un objet se trouvant à sa surface.
c)Un "trou noir" est un corps dont la masse est telle que même la lumière ne peut s'en échapper. La vitesse de libération est alors celle de la lumière dans le vide : v(L) = c. Trouver une formule donnant le rayon R(S) d'un trou noir en fonction de sa masse.
d) AN : le trou noir au centre de la galaxie M87 a une masse M = 1,3.10^40 kg et c = 2,998.10^8 m.s^-1.
Calculer R(S), g et pour ce trou noir.
Merci pour toute aide...
Bonjour,
Alors c'est parti 
1/ a) Ta réponse n'est pas fausse mais elle ne me semble pas adéquate pour l'énoncé. Ils te disent qu'ils étudient un satellite de la Terre, il faut donc que d² soit en fait le rayon de la Terre + la distance séparant la Terre du satellite d'où R+h (ut verras pour l'application numérique, ça te sera plus claire en plus)
b) je suis d'ac avec toi
c) Je pense que ton prof s'attend plus au repère de Frenet qu'à Kepler ici... Il faut que dans ton schéma tu dessines le repère de Frenet (N,S,T). C'est-à-dire, un vecteur n perpendiculaire au vecteur t sécants en S. Comme ceci : 
La force de gravitation va vers le centre de la Terre donc la force gravitationnelle est orientée vers O, le centre. T'en déduis grâce au repère de Frenet également que le vecteur accélération est orienté lui aussi vers O.
T'étudies alors le vecteur a: at = dv/dt = 0 car vecteur a orienté vers le centre
an = v²/R+h
Ensuite Em = 0 parce que les forces de frottements sont négligés donc pas de forces non-conservatives et comme tu l'as dis: le vitesse ne variera pas.
d) On a dit par le repère de Frenet que:
at = dv/dt = 0 car mouvement uniforme
an = v² / R+h = G*M / (R+h)²
petit produit en croix : v² = (R+h)(G*M) / (R+h)² = G*M / (R+h)
tu veux v et non v² donc suffit d'enraciner: v= racine(G*M / (R+h) )
e) T= 2(R+h)/v
Tu remplaces v par racine (G*M / (R+h)) puis tu élèves tout ça au ², simplifie etc... jusqu'à obtenir T= 2*racine((R+H)^3/G*M) ) si t'arrives pas à le retrouver, dis le-moi
Après application numérique, je te fais confiance
Pardon j'ai oublié la f)
Em = 0,5mv² - (GMm)/R+h
Or v² d'après la question d) est = G*M / (R+h)
d'où:
Em = 0,5m * (G*M / (R+h)) - (GMm)/R+h
Tu simplifies:
mGM/2(R+h) - 2(GM)/2(R+h) = -GMm/2(R+h) voilà pour déterminer Em
Par contre je vois pas ce qu'il veut dire par comparer avec Ec et Ep...
Bonjour
Tu livres un combat final contre la physique? 
La réponse à la question 1) pose problème:
tu écris:
m négligeable face à M donc : F(T->S) = GM/d²
cette expression signifierait que m = 1 kg
Donc que le satellite soit tout petit ou pas:
pour le c) je crois plus 'élégant' d'étudier le satellite dans son repère de Frenet. et décomposer la 2nde loi de la dynamique (
F = ma) suivant les 2 axes du repères. Comme cela le d) n'est plus qu'une formalité!
2) Effectivement vas y a fond sur le lois de Kepler (j'ai pas vérifier le calcul encore!)
3) à l'infini, r tend vers l'infini mais g tend vers zero! zut! reste à exprimer g en fonction de r, et l'unviers sera sauvé!
Pour calculer la vitesse de libération, maintenant que tu as démontrer que l'energie potentielle à l'infini était nulle, tu fais un bilan de l'énergie mecanique (qui se conserve) entre la distance r et l'infini.
Le reste, même s'il s'agit d'un trou noir, devrait être plus clair!
A te lire, pour les questions éventuelles!
Mais Mjpopo veillait, et comme je le sais incollable sur la mécanique stellaire, il t'a fourni des réponses de 1er choix!
Avec tout de même une petite remarque, sur 1)a) je ne suis quand même pas d'accord avec la simplification par m qui contredit la structure de corps de 
Je pensais... pour la question 1)c), juste avant d'étudier le vecteur a, tu peux rajouter qu'il est radial et centripète. Ton prof va pleurer d'émotion devant ta copie
Bonjour à tous les deux, merci beaucoup pour vos réponses et désolée de ne pas être passée plus tôt !
Effectivement, pour la 1 - a), j'ai eu un petit doute concernant l'expression...
Pour la 1 - c), je n'avais pas pensé au repère de Frênet car il n'est pas énoncé dans le cours du prof (nous avons bien sûr étudié un mouvement circulaire uniforme (donc accélération centripète, etc.) mais le repère de Frênet n'a jamais été défini ou utilisé explicitement, voilà pourquoi je suis partie directement sur Kepler ! (Ca peut sembler surprenant...) En revanche, dans le livre, il est bien mentionné noir sur blanc.
En comparant les deux méthodes, vous avez raison, la démonstration grâce au repère de Frênet semble plus pertinente et rapide qu'avec Kepler.
Dans la rédaction, je peux toujours repartir de l'explication du cours pour le mvt circulaire uniforme et poursuivre avec l'étude proposée par vous deux !
(Et je mentionnerai que le vecteur est radial et centripète ! )
1 - e), j'ai bien réussi à retrouver l'expression finale sans souci !
1 - g)
Donc :
F = G x (Mm)/(R+h) = 6.671.10^-11 x (5.974.10^24 x 11 000)/(6 731 + 590) = 6.297.10^14.
Vs = (G x M/(R+h)) = ... = 2.4.10^5 km.s^-1.
T = 0.18 s.
On ne revient pas sur le 2.
Pour la 3 - 1), je ne vois pas vraiment pour g tendrait vers 0...
Donc avec la réponse proposée, j'arrive à g = (-G x M)/(r x z)...
Comme Ep nulle vers + , on a Em = Ec.
Or Em = (-GMm)/(R+h) et Ec = 0.5mv² comme donné dans le 1 - c). Puis ne reste qu'à remplacer pour trouver v ?
Puis il me restera à comparer les deux expression V(L) et V(S)...
1) c) pas de souci, mieux vaut trop que pas assez et mieux vaut être corrigé maintenant que d'être surpris le jour du bac...
g) F a pour unité "pompe à vélo du curé"?
et la conversion des km en m a été mangée?
Vs = 2,59E4 m.s-1 de mon côté...
T = 578 s de mon côté...
0,18s me paraît vraiment très peu pour un satellite autour de la Terre... t'imagines? en 0,18s, il aurait fait le tour de notre planète bleue! zer iz a soucy!
tout comme on peut très bien s'être plantés tous les deux 
Pour la 3 - 1), je ne vois pas vraiment pour g tendrait vers 0...
Désolé j'ai peu être pris un raccourci trop brutal
Ecrivons
Tout aussi célèbre que
donc
donc quand h tend vers
,g (la gravité) tend vers
Donc E_p est le produit d'un terme qui tend vers 0 (g) et un terme qui tend vers l'infini (h) c'est (presque) une forme indéterminée, pour la lever on exprime g en fonction de h pour s'apercevoir que E_p est proportionnel à 1/h, donc quand h tend vers l'infini E_p tend vers 0
C'est plus clair?
F s'exprime en Newton, donc F = 6.297.10^14 N, pardon !
Ah, étrange, après conversion, je tombe toujours sur Vs = 7.567.10^4 m.s^-1...
Je détaille le calcul :
Vs = (6.672.10^-11 x 5.974.10^24 / (590 000 + 6 371 000)) = 7.567.10^4 m.s^-1 !
Pour T =
F= 6,298E11 N => t'as pas convertis les km en m (unités du SI!)
En refaisant j'ai Vs = 7,57E3 m.s-1
et T = 920 s... racine(6371E3 + 590E3)^3 / (6,671E-11*5,974E24)) = 920 s
Non?
Oui, je comprends mieux pour la 3 - a), merci beaucoup !
Il faut donc que l'énergie mécanique se conserve et comme Ep tend vers 0 en +, on a Em = Ec. Comme Ec = 0.5mv², Em dépend de v donc sur la distance r - +, la vitesse est uniforme.
Puis pour V(L) :
Ec = Em
<=> 0.5mv² = (-GMm)/(R+h)
<=> ...
<=> v = (-2GM/(R+h))
???
Or V(S) = (G*M/(R+h))
Donc V(L) = -2V(L) ???
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