Bonsoir,
Je rencontre un problème sur un exercice du chapitre traitant la relativité restreinte.
Voici l'énoncé de mon exercice:

Proxima Centauri est l'étoile a plus proche du système solaire: 4,22 A.l. Elle est aussi appelée Alpha Centauri C ou, en français, Proxima du Centaure. C'est une naine rouge qui, comme son nom l'indique, est située dans la constellation du Centaure, visible dans l'hémisphère sud.
Un vaisseau spatial, se déplaçant d'un mouvement rectiligne uniforme, doit atteindre cette étoile depuis la Terre. La durée du voyage, mesurée par le pilote du vaisseau spatial, doit être égale à 10ans.

1)Quelle doit être la vitesse du vaisseau spatial?

Voici comment j'ai raisonné:

La distance d = 4,22 * 9,46 * 10^15 = 4 * 10^16m est mesurée dans le référentiel terrestre supposé galiléen R.

Si l'on attache un référentiel inertiel R' à la fusée, la durée du voyage t' = 10ans est une durée propre, mesurée par le pilote immobile dans la fusée.

On possède la distance et le temps propre (t' = 10ans = 3,154 * 10^8 secondes)
On peut donc trouver la vitesse relative v':
v' = d/t = 1,27*10^8 m.s-1

Or...Je bloque désormais. Le corrigé me confirme que je dois aller plus loin dans mon raisonnement, et je ne comprends pas pourquoi. N'est-ce pas la vitesse que doit atteindre le vaisseau spatial ?

Voici le raisonnement du corrigé:
A l'aide de la transformation de Lorentz: x = * (x' + u * t'), que l'on écrit pour chaque événement(début du voyage et fin du voyage), on obtient:


Soit: ;
où , et


On en déduit
soit
Donc , élevons au carré:

D'où 0,18(1-²) = ²; puis:
0,18 - 0,18 ² = ².
Ainsi, ² = 0,152, soit = 0,390.

On en déduit la vitesse du vaisseau spatial: u = 0,390 c = 1,17 * 10^8 m/s


Je ne parviens toujours pas à comprendre comment doit-on, et dans quelles circonstance utiliser la formule x = * (x' + u * t') . Le cours me la donne bien, sans pour autant m'expliquer sa signification...

De plus, le dernier passage me pose particulièrement problème; le voici:

D'où 0,18(1-²) = ²; puis:
0,18 - 0,18 ² = ².

Je ne comprends vraiment pas d'où sort ce raisonnement; qu'ont-ils utilisés pour en arriver là?

Merci d'avance!