Niveau terminale

Qu'est ce que la dérivé d'un vecteur ?

Posté par
oliiiii 16-01-14 à 00:32

Bonsoir,
étant malade et absent depuis plusieurs jours en classe, je n'arrive pas en relisant le cour à comprendre qu'estce que la dérivée par rapport au temps d'un vecteur et encore moins la notation d/dt.
Si qql peut m'aider !
Merci d'avance

Posté par re : Qu'est ce que la dérivé d'un vecteur ? 16-01-14 à 08:27

Bonjour,

Le vecteur dérivé par rapport au temps du vecteur $\vec{V}$ est :
. un vecteur
. dont les coordonnées s'obtiennent en dérivant par rapport au temps les coordonnées de ce vecteur $\vec{V}$
_______

Exemples :

Soit un mobile M en chute libre. Sa position peut être repérée dans un repère muni d'un système d'axe Oxy par le vecteur $\vec{OM}$ dont les coordonnées (x ; y) sont des fonctions du temps (x(t) ; y(t)). (Les coordonnées changent avec le temps, puisqu'il est en mouvement dans ce repère).

On peut écrire :

$\vec{OM}(t)\ \begin{array}{|c}x(t) \\ y(t) \end{array}$

Supposons que l'on ait trouvé une expression des coordonnées du vecteur position :

$\vec{OM}(t)\ \begin{array}{|ccc}x(t)&=&v_0.\cos (\theta_0).t \\ y(t)&=&\frac{-1}{2}.g.t^2\,+\,v_0.\sin (\theta_0).t \end{array}$

Le vecteur vitesse $\vec{V}$ , qui est également fonction du temps $\vec{V}(t)$ , est la dérivée par rapport au temps du vecteur position $\vec{OM}$

$\vec{V}(t)\,=\,\large \frac{d\vec{OM}(t)}{dt}$

et donc, en notant (v_x(t) ; v_y(t)) les coordonnées de ce nouveau vecteur :

$\vec{V}(t)\ \begin{array}{|ccc}v_x(t)&=&v_0.\cos (\theta_0) \\ v_y(t)&=&-g.t\,+\,v_0.\sin (\theta_0) \end{array}$

De même le vecteur accélération $\vec{A}(t)$ s'obtient en prenant la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse $\vec{V}(t)$

$\vec{A}(t)\,=\,\large \frac{d\vec{V}(t)}{dt}$

Si l'on note (a_x(t) ; a_y(t)) les coordonnées du vecteur accélération $\vec{A}(t)$ on les calculera en prenant les dérivées par rapport au temps des coordonnées du vecteur vitesse, c'est-à-dire :

$\vec{A}(t)\ \begin{array}{|ccc}a_x(t)&=&0 \\ a_y(t)&=&-g \end{array}$
__________

De nombreux exercices sur la chute des corps en terminale suivent le chemin inverse :
. on sait que le mobile n'est soumis qu'à une seule force, son poids dans le champ de pesanteur caractérisé par le vecteur accélération $\vec{g}$
. on cherche la vitesse en fonction du temps du mobile connaissant sa vitesse initiale $\vec{V_0}$
. on en déduit les équations horaires, ou position du mobile en fonction du temps, en connaissant sa position à l'origine des temps.

Posté par re : Qu'est ce que la dérivé d'un vecteur ? 16-01-14 à 13:51

Merci beaucoup ! Ca m'a bien aidé !

Posté par re : Qu'est ce que la dérivé d'un vecteur ? 16-01-14 à 16:11

Je t'en prie.
À une prochaine fois !

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