Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Principe de moindre action
Bonjour,
J'ai trouvé un dispositif où le principe de moindre action n'est pas applicable. Bon, ok, j'ai dû faire une erreur mais je ne trouve pas. Voici un résumé:
***Lien supprimé : un énoncé doit être recopié***
Voilà, si ça vous intéresse et si vous pouvez m'aider ce serait sympa 
Bonne soirée
Dispositif: théorique, simplifié pour permettre de limiter les calculs.
Cycle: j'étudie seulement la déformation du dispositif.
Composition:
- un container clos (6 côtés), exemple de dimension: côté de 1 mètre
- N sphères (couleur bleue), exemple de dimension du rayon: 1e-6 m, le rayon des sphères est petit mais pas nul, N est très grand
- N ressorts, la force ne dépend pas de la longueur, c'est une force constante, les ressorts sont supposés n'avoir aucun volume (on peut les imaginer en externe car il n'y a qu'une seule couche de sphères). La force des ressort est une force par unité de surface (il y a la même épaisseur pour tous les éléments du dispositif). C'est par exemple, 1N pour une surface de 1 m². Les ressorts attirent.
- c'est un dispositif en trois dimensions mais une seule couche de sphères en profondeur pour limiter les calculs. Les sphères ont un rayon donc il y a une profondeur.
Caractéristiques:
- Pas de gravitation
- Système clos
- Pas de masse
- Pas de friction
- Tous les volumes sont constants
- Pas de gaz ou pression externe
- En trois dimensions
Figure 1 - Au départ le dispositif est comme cela:
Figure 2 - A la fin le dispositif est comme cela:
En couleur jaune, ce sont les axes (fixes) de rotations des murs 1 et 2. La ligne verte montre les points d'attache des ressorts.
Idée principale:
NB: je parle de haut, bas, sol, etc. mais il n'y a pas de gravité c'est juste pour expliquer avec mes dessins. Sans précision de l'unité c'est du SI.
J'utilise des sphères et ressorts théoriques pour créer une pression comme le fait la gravité avec de l'eau. Je ne peux pas utiliser la gravité car mon dispositif nécessite de faire varier la direction de l'attraction. La couleur bleue, c'est un peu comme de l'eau, les sphères bleues comme des molécules d'eau sauf qu'il n'y a pas de masse et pas de friction pour simplifier les calculs. Je compte toutes les énergies. Les sphères bleues sont petites comme cela je peux utiliser les calculs des pressions (fluide et gravité), c'est bien plus simple que de calculer pour chaque sphère toutes les forces, énergies, etc. Il y a un ressort pour chaque sphère bleue. Chaque ressort est fixé entre la ligne verte et une sphère bleue.
Il est possible de réfléchir comme avec les pression d'un fluide sous gravité, exemple au départ: en haut à droite la pression est de zéro et en bas à gauche la pression est maximale. Attention, pour l'exemple précédent c'est la pression en un point pas sur un segment. La pression varie tout le long de chaque segment. Au départ, il y a une pression sur tous les murs du container.
Figure 3 - Voici un exemple avec des valeurs ponctuelles pour les pressions:
Les pressions sont progressives, elles vont, pour la ligne du haut, de 0 à 0.707 par exemple.
NB: toutes les vues sont de côté sauf indication contraire.
Figure 4 - La figure suivante montre des détails du container
Si je peux utiliser les lois de la pression d'un fluide sous gravité, c'est parce que j'ai TOUJOURS les ressorts dans la même orientation (l'orientation des ressorts est la même pour tous les ressorts à chaque instant mais elle CHANGE au cours du temps), il est donc important d'avoir la même orientation des ressorts. Les ressorts change leur orientations mais ils le font tous en même temps.
Figure 5 - En rouge, le gros ressort représente l'orientation de tous les ressorts:
Ci dessus, j'ai dessiné un gros ressort rouge dans le container, pour montrer que l'orientation des ressorts change lorsque le container se déforme. Au départ, l'angle des ressorts est de 45° par rapport au sol et à la fin il est de 90° (vertical). J'ai dessiné le dispositif dans le TEMPS ! Il ne se déplace pas, c'est juste pour monter deux étapes. Les ressorts suivent l'orientation des murs de côté 1 et 2
Système instable:
Le dispositif ne se déforme pas de lui même comme je le voudrai, car il est instable et je souhaite contrôler le “milieu” dans lequel sont les sphères et où agisse les ressorts, donc j'imagine qu'un dispositif externe le contrôle, je suppose que ce dispositif externe est parfait, ce dispositif externe récupère les énergies ou en donne selon le cas. On peut réfléchir sans ce dispositif du moment qu'on le considère parfait. Je pense que le fait de sortir les sphères donne un système à fonction discontinue.
Mouvements:
- Le container est déformé, mais la hauteur est conservée constante. Le container a 4 côtés (vue de côté, bien entendu), un est fixe: celui du bas (couleur verte). Les murs 1 et 2 tournent autour des axes jaunes situés sur la ligne verte.
- Les ressorts suivent la pente du mur 1 (le mur 1 a toujours la même pente que le mur 2), au départ les ressorts ont une pente de 45° par rapport au sol. Au final, les ressorts ont une pente de 90°.
J'ai deux possibilités pour déformer le dispositif:
A/ Je ne sors pas ni ne rentre les sphères du container. Dans ce cas la somme de l'énergie reste cosntante. De plus Noether est applicable.
B/ Je sors une couche de sphères et j'en rentre une en MÊME temps, car tous les volumes doivent être constants. Dans ce cas, j'ai le mouvement de la figure 6.
La figure 6 suivante montre comment je rentre et je sors les sphères au fur à à mesure (volume constant).
Il faut remarquer que j'ai toujours besoin d'une couche intermédiaire de sphères pour permettre au container de garder son volume constant. Cette couche intermédiaire au prochain pas:
Condition initial: Au départ, j'ai une couche en rab.
Premier pas: je rentre la couche intermédiaire en rab de la condition initiale et je sors une couche. Cette couche devient la couche intermédiaire pour le prochain pas.
Deuxième pas: je rentre la couche intermédiaire précédente et je sors une couche, etc.
Etc.
Mouvement des sphères:
Les sphères sortent/entrent du container à la perpendiculaire (vue de dessus) et uniquement en vitesse perpendiculaire. Plusieurs remarques:
- les murs font leur rotation en même temps que je sors les sphères et en même temps que je rentre les sphères.
- Il y a toujours une couche intermédiaire de sphères avec les ressorts
Somme des forces, juste pour bien montrer que la somme des forces est nulle:
X est l'axe des absisses et Y l'axe des ordonnées
Exemple avec une force constante de 1/surface N/m² , la force est donnée par rapport à une surface, cela permet de ne pas changer les valeurs si on change la taille des sphères (nombre de sphères)
Les intégrales ci-après sont données pour une utilisation avec le site Wolfram
Les ressorts donnent une force sur la ligne verte de Fx=√2/2 N et Fy=√2/2 N
Le mur du haut donne Fy=integrate x/√2 dx from 0 to 1 = 0.35355 N
Le mur du bas (pression des sphères) Fy=- integrate √2+x/√2 dx from 0 to 1 = - 1.7678 N
Le mur à gauche Fx=integrate x/√2 dx from 0 to √2 = √2/2 N et Fy=- integrate x/√2 dx from 0 to √2 = -√2/2 N
Le mur à droite donne Fx=-integrate (1/√2+x)/√2 dx = - √2 N et Fy= integrate (1/√2+x)/√2 dx = √2 N
La somme des forces vaut bien 0 N en X et en Y.
La somme des énergies:
A/ Solution sans sortir/entrer les sphères.La somme des énergies est constante.
Pour simplifier j'ai:
La somme des énergies qui vaut S = X-W-Y mais X=W+Y donc la somme des énergies est zéro.
X est l'énergie potentielle des ressorts au départ
Y est l'énergie potentielle des ressorts au final
W est le travail des murs 1 et 2 (pression+rotation, donc travail)
Avec une longueur de 1 mètre pour la base du dispositif et avec une force constante quelque soit la longueur pour chaque ressort qui vaut 1/surface N/m², il est facile de calculer les énergies potentielles au départ et à l'arrivée. Au départ, elle vaut sqrt(2)/2 J et à l'arrivée elle vaut 1/2 J.
Le mur à droite demande une énergie (J):
Le mur de gauche fournit une énergie de (J):
La somme de l'énergie gagnée par les murs est égale à l'énergie perdue par les ressorts.
Notez que les ressorts à l'intérieur du container changent leur longueur sans fournir ou demander de l'énergie car la force du ressort de chaque sphère est totalement compensée par les forces provenant des sphères autour. C'est le même principe que la poussée d'Archimède: monter ou descendre un volume d'eau dans de l'eau sur Terre ne demande ou ne fournit pas d'énergie.
B/ Je sors/entre les sphères
J'ai les mêmes calculs pour ce qui concerne:
- l'énergie potentielle au départ
- l'énergie potentielle finale
- le travail des murs
Les sphères qui bougent vers la droite à l'intérieur du container ne donne pas ni ne fournissent d'énergie.
L'énergie potentielle contenue dans tous les ressorts de la couche qui sort et de celle qui entre est la même.
L'énergie nécessaire pour entrer les sphères est supérieur à l'énergie nécessaire pour les sortir car les pressions ne sont pas les mêmes. Les pressions à gauche sont toujours plus grande. Cette énergie correspond à la somme des travaux des murs.
La somme de l'énergie est de : sqrt(2)/2-1/2
Annuler
connectez vous