Bonjour
D'accord pour 1)
Pour 2 : tu sembles considérer que le déplacement de l'interface de la distance "x" ne modifie pas les altitudes des surfaces libres dans les deux réservoirs, ce qui serait une bonne approximation pour S>>s1. Ici, l'énoncé fournit les valeurs de S et s1 ; je pense donc qu'il faut faire intervenir le rapport s1/S dans le résultat en considérant que les volumes des deux liquides restent fixes.

On a S*x = s1*h
avec h = déplacement du liquide 2

Soit h = (S/s1)*x

Cela donne : ΔP = μ1*g(h1+x) - μ2*g(h2-h) = μ1*g(h1+x) - μ2*g(((μ1/μ2)*h1)-((S/s1)*x)) = μ1*g*x+μ2*g*((S/s1)*x) = (μ1+μ2*(S/s1))*g*x

Donc x/ΔP = 1 / ((μ1+(μ2*(S/s1)))*g)

Résultat : x/ΔP ≈ 1,13*10-6  m³/N

La situation n'est pas si simple. Il faut s'intéresser aux variations d'altitudes des trois surfaces et supposant que les volumes des deux liquides restent fixes.
Quand l'interface s'enfonce de x, le réservoir 1 perd le volume s₁.x ; la surface libre du réservoir 1 s'enfonce donc de"d" tel que S.d=s₁.x (conservation du volume du liquide 1)
Donc : la surface libre du liquide 1 s'enfonce de x.(s₁/S) quand l'interface s'enfonce de x. La hauteur de liquide 1 augmente donc de : x.[1-s₁/S) et la hauteur totale du liquide 1 devient :


Je te laisse réfléchir et raisonner sur la conservation du volume du liquide 2 afin déterminer par quoi il faut remplacer h2 dans la relation fondamentale de la statique.

Du coup on a ΔP = μ1*g(h1+x(1-s1/S)) - μ2*g (h2-s1/S*x) ?

Non. Il faut d'abord tenir compte de la conservation du volume du liquide 2. Quand l'interface descend de x, cela fait remonter le volume s₁.x dans le réservoir 2. L'altitude de la surface libre du liquide 2 augmente donc de x.s₁/S... Je te laisse continuer...

La hauteur totale du liquide 2 est h2+s1/S*x

Donc  ΔP = μ1*g(h1+x(1-s1/S))-μ2*g(h2+s1/S*x)

Et on trouve x/ΔP = 1 / g(μ1(1-s1/S)+μ2*s1/S) ?

Pas tout à fait. Pour le liquide 2, l'interface descend de x alors que la surface libre monte de x.s₁/S donc il faut remplacer h₂ par :
h₂+x+x.s₁/S.

On a donc :

hauteur totale du liquide 1 = h1+x(1-s1/S)
hauteur totale du liquide 2 = h2+x+x(s1/S)

Cela donne : ΔP = μ1*g(h1+x(1-s1/S))-μ2*g(h2+x+x(s1/S))

Donc : x/ΔP = 1/g(μ1(1-s1/S)+μ2(1+s1/S)) ?

Comment appliques- tu le principe de la statique des fluides ? N'oublies pas que, selon le schéma : ₂> ₁ .
D'accord maintenant pour les dénivelés mais pas pour la suite.

Je ne vois pas où se trouve mon erreur. J'ai bien remplacé h2 par h2+x+x*s1/S ?

Tu as un problème de signe. Je note Po la pression au dessus des deux réservoirs à la question 1. Pour la question 2, la pression à l'interface s'écrit de deux façons différentes :



Je te laisse simplifier et terminer. Pour x>0, tu dois logiquement trouver P>0 sachant que µ₂>µ₁.

Donc x=(ΔP-μ2*g*h2+μ1*g*h1)/(g*(μ2(1+s1/S)-μ1(1-s1/S)))

Cela donne : x/ΔP = 1 / (g(μ2(1+s1/S)-μ1(1-s1/S))) ?

Oui. Tu peux remarquer que, pour obtenir une très bonne sensibilité du dispositif à détecter de faibles variations de pression, il faut que soit le plus petit possible, ce qui correspond à deux masses volumiques les plus proches possibles et à s₁ nettement inférieure à S. Cependant, il n'est pas évident de trouver deux liquides non miscibles de masses volumiques très proches.

Pour l'application numérique, je peux garder les mêmes unités que dans l'énoncé ?

De par son expression, X/P  se mesure logiquement en m/Pa mais, sachant que P=F/S dans certains cas : 1Pa=1N/m² . On voit bien que :
1m/Pa=1m³/N

Du coup on a :
x en mètres
Δ𝑃 en pascals
𝑔 en m/s^2
𝜇1 et 𝜇2 en Pa*s
𝑠1 et 𝑆 en m^2

Quand on a le choix,on choisit l'unité qui paraît la plus simple compte tenu de la définition de la grandeur. Une masse volumique se mesure comme une masse divisée par un volume . L'unité la plus usuelle et la plus parlante pour une masse volumique est donc le kg/m³. On pourrait utiliser le Pa.s²/m² (pas le Pa.s) , mais cela ne présente aucun intérêt pratique. D'accord avec tes autres unités.