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phase d'un filtre RC
Bonjour,
je vous propose un exercice concernant l'étude de la phase d'un filtre à avance de phase.
Les constantes R , C et k sont des réels caractéristiques du circuit et R>0 , C>0 et k>1.
La fonction de transfert d'un tel filtre est donnée par :
où w
[0,+
]
Dans toute la suite on pose x = RCw.
1) Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire du nombre complexe
el=
Im=
a) Montrer que le nombre complexe admet un argument
(x)dans l'intervalle ;
je suis parti du fait que
un cos= 0 et un sin =-1 à +1
mais je n'arrive pas à l'appliquer ou le demontrer
b) En déduire que (x)=tan -1 avec (x
[0;+[)
en faisant on obtient la Tan
retrouvant ainsi (x)=tan -1
2) Etudier les variations de la fonction pour x[0;+[
idem qu'en 2/a)
En déduire la valeur numérique de k pour que le maximum de la phase soit égal à
quelqu'un pourrait il m'expliquer et m'aider?
par avance, merci
peut etre une solution pour 2/a)
, ne possede pas de partie reelle
module de
Arg H en sin = =1
sin-1 (1)=
le complexe n'ayant pas de partie Reel,cos-1(0)=0
suis je dans la bonne directions?
Attention, on n'écrit pas le "j" quand on on écrit la partie imaginaire de H: Im = (-x + xk)/(k²+x²)
a)
Rel > 0
Im > 0 (puisque k - 1 > 0)
---> arg de H dans le 1er quadrant, soit dans [0 ; Pi/2]
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b)
tg(Phi) = Im/Reel (puisque Phi dans le 1er quadrant)
tg(Phi) = [(-x + xk)/(k²+x²)]/[(x²+k)/(k²+x²)]
tg(Phi) = (-x+xk)/(x²+k)
arg(H) = arctg[(-x+xk)/(x²+k)] = arctg[(k-1).x/(x²+k)]
Attention, cette méthode ne serait pas correcte si on avait eu Rel < 0
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theta(x) = arctg[(k-1).x/(x²+k)]
theta'(x) = 1/(1 + (k-1)².x²/(x²+k)²) * (k-1) * (x²+k-2x²)/(x²+k)²
theta'(x) = 1/(1 + (k-1)².x²/(x²+k)²) * (k-1) * (k-x²)/(x²+k)²
Comme k > 1, theta'(x) a le signne de k-x²
theta'(x) > 0 pour x dans [0 ; Vk[
theta'(x) = 0 pour x = Vk
theta'(x) > 0 pour x > Vk
theta est donc max pour x = Vk
theta max = theta(Vk) = arctg[(k-1).Vk/(k+k)]
Et si on veut theta max = Pi/6
---> arctg[(k-1).Vk/(2k)] = Pi/6
(k-1).Vk/(2k) = 1/V3
(k-1).V(3k) = 2k
(k-1).V3 = 2Vk
V3.k - 2Vk - V3 = 0
k = 3
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Sauf distraction. 
je ne comprend pas d'où provient et le calcul de theta'?
est il la derivée de fct usuelle genre
et d'où provient ton Vk Vk=
k?
merci
theta'(x) est la dérivée première par rapport à la variable x de theta(x) = arctg[(k-1).x/(x²+k)]
L'étude du signe de theta'(x) fait partie de la technique "classique" d'étude des variations de theta(x) ... qui permet de déterminer la valeur maximun de theta(x).
Evidemment pour mener à bien la recherche de theta'(x), il est utile ici de connaître la dérivée d'un arctg(..). et si on ne la connait pas, il faut la chercher... avec les connaissances de Terminale.
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Et oui, j'ai écrit Vk pour
ok jp
pour moi et je viens de verifier dans mon cours lointains....
tan'(x)=1/(1+x²)
donc dans l'exercie pour (x)= [(k-1).x/(x²+k)
soit tan'([(k-1).x/(x²+k))=1/(1+([(k-1).x/(x²+k))²).....
et je ne trouve pas pareil
f(x) = arctg(u(x))
f '(x) = u'/(1+u²)
Et ici u = (k-1).x/(x²+k)
u' = (k-1) . (x²+k-2x²)/(x²+k)²
u' = (k-1) . (k-x²)/(x²+k)²
f '(x) = [(k-1) . (k-x²)/(x²+k)²]/(1 + ((k-1).x/(x²+k))²]
Qui est bien équivalent à ce que j'ai écrit
On peut évidemment triturer cette relation pour la faite plus "jolie", mais c'est une perte de temps ici.
Il suffit de constater que [(k-1)/(x²+k)²]/(1 + ((k-1).x/(x²+k))²] est forcément > 0 puisque k > 1 et donc on conclut de suite que :
f '(x) a le signe de k-x²
...
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Sauf distraction.
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