Bonjour
Le théorème de Huygens établit une relation entre le moment d'inertie par rapport à un axe _G passant par le centre d'inertie du solide et un axe , parallèle à _G et situé à la distance "d" de celui-ci. Si M désigne la masse du solide :


Ici, tu connais l'expression du moment d'inertie par rapport à _G, l'axe passant par G et perpendiculaire au plan du disque, donc...

D'accord !
Maintenant commençons au début.

Question 1: Équation différentielle du mouvement
Par définition, l'énergie mécanique du système est : E_m = E_c + Ep_p
• l'énergie cinétique est E_c = ½J²
Avec J = J_G + MR² (d'après le Théorème d'Huygens).
Mais J_G = ½MR² pour un disque homogène mobile autour d'un axe passant par son centre.
Alors Ec = ½(½MR² + MR²).²
Soit Ec = ¾MR².²
• l'énergie potentielle de pesanteur du système est : Ep = - mgh (en prenant le niveau de référence le point O)
Mais h = R.sin_m

C'est le bon chemin ?

Pour une position quelconque du pendule, l'élongation angulaire est , _m désignant l'amplitude angulaire.
Tu es bien sûr de ton sinus ?

Oh je vois !
h = R.sin
Alors Ep = - MgR.sin

L'énergie mécanique vaut alors :
Em = ¾MR².² - MgR.sin

Or Em = constante, donc sa dérivée par rapport au temps est nulle.
Donc 3/2MR²". - MgR.'cos = 0

Problème de trigonométrie concernant le sinus.
D'autre part, la dérivée par rapport au temps de (')² est 2'.". Puisqu'il s'agit d'étudier un mouvement : '0 ; il est donc possible de diviser les deux termes de l'égalité par '.
N'oublie pas que l'équation différentielle générale d'un mouvement d'oscillations sinusoïdales est de la forme générale :
" + _o². = 0...

Merci, je reprend.
h = R.cos

L'énergie mécanique vaut alors :
Em = ¾MR².² - MgR.cos

Je dérive : dEm = 3/2MR².".' + MgR.'.sin
Or est trop petit, on peut écrire sin

Ainsi dEm = 3/2MR².".' + MgR.'.
Alors dEm = 3/2MR².".' + MgR.'.
C'est ça ?

Juste une remarque : la dérivée de l'énergie mécanique se note :

.
En absence de frottement, l'énergie mécanique reste constante. Sa dérivée par rapport au temps est nulle à chaque instant.

D'accord.

dEm/(dt) = 0 3/2R" + g = 0

Donc

Oui ! Donc la solution de cette équation différentielle est... ???

La solution est une fonction sinusoïdale de la forme = _mcos(₀t + )
En vérifiant que cette équation est bien la solution de L'équation différentielle précédente, on trouve la pulsation

Donc la période propre du mouvement est

AN : T₀ 1 s ;  pendule battant la seconde

Je m'excuse, ce pendule ne bat pas la seconde !

Et oui ! un pendule qui "bat la seconde" a pour période deux secondes...

2.a) Expression de la nouvelle période
• L'énergie mécanique du pendule est :
Em = Ec + Ep

• l'énergie cinétique est Ec = ½J_'²

• l'énergie potentielle est Ep = - Mgh
Mais h = x.cos
Donc Ep = - Mgx.cos

Alors l'énergie mécanique devient
Em = ½J_'² - Mgxcos

Mais J_' = J_G + Mx²  (Théorème d'Huygens)
Avec J_G = ½MR²

C'est bon, je peux continuer ?

C'est bon ! Même méthode qu'à la question précédente pour la suite.

J_' = ½MR² + Mx²

Ainsi Em = ½(½MR² + Mx²).² - Mgxcos

dEm/(dt) = 0 (½MR²+Mx²).".' + Mgx.' = 0

En simplifiant par ' on obtient

(½MR² + Mx²)" + Mgx. = 0



Du coup la période demandée est

A lire la question suivante, j'ai des doutes sur cette expression de la nouvelle période

Ton expression est correcte. Tu peux te rassurer en vérifiant que le cas particulier x=R conduit à l'expression de la période obtenue à la question précédente.

D'accord !

2.b) A présent, on demande la valeur de x pour laquelle T est minimal.

Là je n'ai pas compris. Pour moi, je devrais poser que tout ce qui est sous le radical 0 et résoudre pour répondre à la question. Mais cette expression sous le radical est déjà positive.

Tu as obtenue l'expression de T en fonction de x.Comme en math, il faut calculer la dérivée de T par rapport à x et remplir un rapide tableau de variations avant de tracer la courbe.
Remarque : la fonction "racine carrée" est monotone croissante. Les sens de variation de f(x) sont identiques à ceux de pour f(x)>0.

Compris !



Cette fonction dérivée est nulle implique que
8gx² - 2gR² - 4gx² = 0 4x² = 2R²

C'est ça ?

Tu n'as pas tenu compte de mon précédent message. Il suffit d'étudier les variations de :



mais ton résultat est correct. Tu viens de démontrer qu'il existe un extremum de T pour . Reste à montrer, en remplissant un tableau de variations comme en math, qu'il s'agit d'un minimum.

Oui, j'ai fait cela.

• x ]0 ; R/2 [, la fonction est strictement décroissante ;

• x ]R/2 ; +[, la fonction est strictement croissante.

Donc la valeur de x recherchée est

Ce que tu viens d'écrire permet d'affirmer que l'on obtient bien un minimum et non un maximum de T.

c) Maintenant on demande de tracer la fonction T = f(x)
Pour cela, est-ce que je dois calculer les limites de la fonction T(x) quand x tend vers 0 puis vers R ?

J'ai l'impression avoir un problème de maths

C'est cela !

Ces deux limites ont donné respectivement + et 1.

Donc x = 0 est l'asymptote vertical

Avant de tracer, la courbe devrait suivre l'axe des ordonnées et descendre jusqu'à son minimum, ensuite remonter jusqu'à T = 1 s.

Pour cela je dois calculer aussi l'image de x = R/2

C'est ça ?

C'est cela ! Voici l'allure de la courbe, tracée pour R=1m. Il est assez difficile de bien visualiser à la fois le comportement asymptotique quand x0 et l'existence d'un minimum en x= R/2...
N'oublie pas de justifier physiquement le comportement asymptotique .

Ah là, la seule justification que je puisse dire est que la période décroît rapidement jusqu'à une certaine valeur, puis croit lentement vers la valeur limite.

A quelle situation physique correspond le cas limite x=0 ?

x = 0, la période vaut . Il semble que le pendule n'oscille pas. Il est au repos.

Très très satisfait comme ça toujours été le cas !
Merci beaucoup vanoise !