Bonjour
1) Ils te demandent quelle est la relation fondamentale entre la charge d'un condensateur et la tension à ses bornes. Si çà ne t'aies pas sauté aux yeux: qA = uAB * C où C est la capacité du condensateur exprimée en Farads.

II) Un échelon de tension est une tension qui est d'abord nulle puis se stabilise à une valeur constante.

D'après la loi d'additivité des tensions tu auras:
E = ri + uAB avec i = dqA/dt  or qA = CuAB donc i = Cd(uAB)/dt
Je suis d'accord avec ton équation qui peut se réecrire duAB/dt + uAB/rC - E/rC = 0
Et là tu dois reconnaître une équation différentielle linéaire du première ordre de la forme y' = ay + b
que tu dois savoir résoudre. Les solutions (très générales) sont de la forme uAB = Cexp(at) + D avec a ici qui vaut -1/T soit T = rC.

Des "T" sont apparus, c'est une erreur :p.

Résoudre l'équation différentielle va nous aider à trouver le résultat donner par le sujet et après nous permettre de déduire l'expression de la constante c'est bien ca?Je viens de commencer le chapitre et je sais pas encore bien résoudre l'équation différentielle pour donner des solutions de la forme uAB=C*exp(at)+D. Si quelqu'un pourrait me dire les étapes à suivre j'en serais très reconnaissante merci d'avance.

Si tu n'as pas encore vu les équations différentielles alors tu peux simplement te servir de la solution qu'on te donne. On te donne une forme générale, qui contient des constantes. Dans toutes solutions physiques, les constantes s'obtiennent en considérant les conditions aux limites de ton problème (par exemple les conditions initiales).

Ici à t = 0, le condensateur ne sait pas encore chargé donc la tension à ses bornes est nulle.
On a donc uAB(t=0) = 0, donc puisqu'on connaît la forme de uAB on peut écrire :
E(A-exp(0)) = 0 ce qui implique que A = 1.
Donc uAB(t) = E(1-exp(-t/)

Reste à déterminer .

Puisque uAB est solution de l'équation différentielle, tu peux l'injecter dedans avec duAB/dt = E/Texp(-t/)

On a: E/Texp(-t/) + E - Eexp(-t/) - E/rC = 0
Cette relation est vrai quelque soit t, donc pour nous simplifier la vie, fixons t = 0.
On a donc E/ - E/rC = 0 on peut simplifier par E, il reste donc = rC.

Etant donné que j'ai vu les équations différentielles ca aurait donné quoi avec? Qu'est ce qu'on aurait du faire?

Hé bien dans ce cas, tu aurais été capable toi-même de trouver la solution de l'équation différentielle.

Un peu de maths:
duAB/dt =  -uAB/rC + E/rC  donc c'est de la forme y' = ay + b avec a = - 1/rC et b = E/rC

Les solutions générales d'une équation différentielle linéaire du premier ordre sont les fonctions de la forme, pour tout t, f(t) = exp(at) - b/a
avec un facteur constant réel.

ici -b/a = - -E*rC/rC = E => f(t) = exp(-t/rC) + E
Il faut trouver la valeur de pour obtenir LA solution du problème complètement déterminer (sans inconnues).
se détermine via les conditions initiales (à t = 0 la fonction est nulle) et on trouve la relation E + = 0 donc = -E
et donc finalement uAB = E(1-exp(-t/rC).

Ok! Mais il y a un truc que j'ai pas compris. A partir de quoi peut on trouver l'équation différentielle de la forme y'=ay+b et comment on sait que a=-1/RC et b=E/RC d'ou est ce qu'on le sort?

On a obtenu l'équation différentielle de uAB à partir de la loi d'additivité des tensions.
On a bien une relation entre la dérivée par rapport au temps de uAB et uAB elle-même et cette relation est  bien du type y' = ay +b avec y = uAB !! donc tu trouves a et b par identification.