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oscillations mécaniques libres 2

Posté par
moussolony 14-12-19 à 14:45

Bonjour
Lors d une séance de TP, ton groupe étudié les oscillations mécaniques libres d un pendule horizontal afin de représenter son équation horaire .
Le pendule est constitué d un solide de masse m=0,1 kg, de centre d inertie G, attaché a l extrémité libre d un ressort horizontal, de raideur k.Il a un mouvement rectiligne sinusoïdal.au cours de ce mouvement ,le solide passe a la position initiale XO=0 m, avec une vitesse de valeur VO=0,5 m/s ,orienté vers l extrémité fixe.
Données :wo=7,85 rad/s, pi=3,14 rad
échelle :1,5 cm=> 1 cm, et 1 cm=> 0,2 s
Tu est choisi pour la rédaction du compte rendu
1/ établis l équation différentielle du mouvement du centre d inertie G du solide.
2/ montrer que l équation horaire x=Xm*cos(wot+) est la solution de l équation différentielle avec
w^20=\frac{k}{m}
4/ déterminé;
3/1 .To,,Xm, et K
3/2 l équation horaire du mouvement du centre d inertie du solide
4/ représente sur deux périodes l équation horaire du mouvement

Réponse
Question
Système : le solide
Référentiel : terrestre suppose galiléen dans le repéré(0,i)
Inventaire des forces
Le poids P du solide
La réaction normale
La tension T du ressort.
Application du théorème du centre d inertie
P+Rn+T=ma
Projection dans le repéré choisi
-T=max
-T=mx"
-kx-mx"=0
x
Question 2
x=xm*cos(wot+)
x'=-wo*xm*cos(wot+)
x*xm*cos(wot+) et x" + (k*x)/m
-w^2o*cos(wot+)+ k*x/m=0
-k/m*xm*cos(wot+)=-kx/m
x=xm*cos(wot+)
Question 3
k=w^2o*m
An=> k=(7,85)^2*0,1=61,2 N/m

To=2pi√(k/m)
To=2*3,14*√(6,2/0,1)
To=49,6 s
x(t)=xm*cos(wot+)
x'(0)=xm*cos=0
Cos0
=-pi/2 ou =pi/2
x'(0)=-wo*xm*sin(wot+)=0,5>0
-wo*xm*sin>0
Comme wo*xm>0
-sin>0
Sin<0
Sin(-pi/2)=-1<0 ou sin (pi/2)=1>0
=-pi/2
-wo*xm*sin(-pi/2)=0,5
xm=0,5/wo=0,5/7,85
Xm=0,06 m
Question 3/2
x(t)=0,06*cos(7,85t-pi/2)
Question 4
J ai besoin d aide


To=

Posté par
diracre : oscillations mécaniques libres 2 14-12-19 à 19:13

Hello

En style télégraphique

La dérivée de de cos, c'est -sin

Pour déterminer phi, tu dois t'intéresser aux conditions initiales, je lis x(t=O) = 0

Enfin pour la question 4, en abscisse le temps, en ordonnée l'élongation x(t) , entre t = 0 et t = 2T0

Posté par
moussolonyre : oscillations mécaniques libres 2 14-12-19 à 19:51

Bonsoir
J aimerais savoir si mes réponses sont exactes?

Posté par
diracre : oscillations mécaniques libres 2 15-12-19 à 06:47

Il me semble que tu te prends les pieds dans le tapis à plusieurs endroits:

1/ équation différentielle  m\ddot{x} + kx = 0 ,

2 / si x = x_mcos(\omega_0t+\phi), alors

\dot{x} = -x_m\omega_0sin(\omega_0t+\phi)  et \ddot{x} = -x_m\omega_0^2cos(\omega_0t+\phi)

m\ddot{x} + kx = x_m(k-m\omega_0^2)cos(\omega_0t+\phi)

Donc  m\ddot{x} + kx = 0, \forall t \ge 0   si \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}

3/   T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} \approx 0,8 s

x(t=0) = 0 m et \dot{x}(t=0) = -0,5 m/s   en choisissant l'axe Ox orienté vers l'extrémité libre du ressort

Donc cos\phi = 0     et     -x_m\omega_0sin\phi = -0,5

Donc   \phi = \frac{\pi}{2}\approx 1,07  rad    et     x_m =\frac{50}{7,85}\approx 6,4  cm

Soit, exprimé en cm  x = -6,4sin(7,85t)

Posté par
diracre : oscillations mécaniques libres 2 15-12-19 à 08:52

Et la représentation graphique via un petit pgm python

oscillations mécaniques libres 2

Posté par
moussolonyre : oscillations mécaniques libres 2 15-12-19 à 10:21

Bonjour
Question2
Si x=xm*cos(wot+)
x'=-xm*WO*sin(wot+)
x(wot+)
mx"+kx=m(-xm*w^2o*cos(wot+)+kx
Mais je ne vois pas kx dans la response 2 que vous avez posté

Posté par
diracre : oscillations mécaniques libres 2 15-12-19 à 10:29



m\ddot{x} + kx = -mx_m\omega_0^2cos(\omega_0t+\phi) +kx_mcos(\omega_0t+\phi)

tu factorises ce qui peut l'être, ie    x_mcos(\omega_0t+\phi)

Et tu obtiens bien   m\ddot{x} + kx = x_m(k-m\omega_0^2)cos(\omega_0t+\phi)

Sauf pbm de reveil domincal trop matinal de ma part ...

Posté par
moussolonyre : oscillations mécaniques libres 2 15-12-19 à 10:40

idem
Question 3/2
Où est passe
je pense plutôt que
x=-6,4*cos(7,85t-(/2)]

Posté par
diracre : oscillations mécaniques libres 2 15-12-19 à 11:10

Tu te trompes à nouveau

pour converser le bon signe il faut un + pi/2 et non pas un - pi/2

enfin je te rappelle que cos(x+pi/2) = -sin(x) et que cos(x-pi/2) = sin(x)

Bref, une petite dose de rigueur en plus te rendrait service?

Posté par
diracre : oscillations mécaniques libres 2 15-12-19 à 11:18

Dans ton sujet "oscillations mécaniques libres 3" tu pointes d'ailleurs sur le thème: ce sont les conditions initiales (position et vitesse) qui te permettent de trancher sur la phase à l'origine (0 ou pi,  +pi/2 ou -pi/2, ...)
Avec de l'entrainement ça va rentrer

Posté par
moussolonyre : oscillations mécaniques libres 2 15-12-19 à 11:54

S il vous plaît la valeur de xm
J essais de refaire j ai trouvé que
x=0,5/7,85
Xm=0,06 m
Est ce que je suis bloqué de consertir en cm .
J ai une question ceux ci
Xm=50/7,85=6,4 m/ s
Pourquoi vous avez utilisé 50m/s or dans l énoncé c est plutôt 0,5
Je ne comprends pas

Posté par
diracre : oscillations mécaniques libres 2 15-12-19 à 12:09

Alors

L'énoncé te dit:   v(t=0) = 0,5 m/s

et tu as établis   x_m.\omega_0 = v(t=0) avec \omega_0 = 7,85 rad/s

donc x_m = \frac{v(t=0)}{\omega_0}

Soit tu conserves l'unité de mesure de l'énoncé (le mètre):

x_m = \frac{0,5  ms^{-1}}{7,85  s^{-1}} = 0,064  m

Soit tu "anticipes" que l'ordre de grandeur de l'allongement de la vitesse sera le centimètre et tu convertis la vitesse en cm/s

v(t=0) = 50 cm/s

x_m = \frac{50  cms^{-1}}{7,85  s^{-1}} = 6,4 c m

C'est plus clair?

Posté par
moussolonyre : oscillations mécaniques libres 2 15-12-19 à 12:15

OK, c est clair maintenant
Question 4
Je n arrive toujours pas a représenter

Posté par
diracre : oscillations mécaniques libres 2 15-12-19 à 14:52

Comme indiqué hier, sur l'axe des abscisses tu mets   t   entre  0  et  2 \times 0,8 = 1,6 s  sur l'axe des ordonnées tu mets   x(t) = -6,4sin(7,85t)

Posté par
moussolonyre : oscillations mécaniques libres 2 15-12-19 à 15:57

Merci infiniment


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