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Mouvement satellique et énergie mécanique
Bonjour, je suis actuellement bloqué sur deux exercices, l'un sur l'énergie mécanique, l'autre sur les oscillations. J'essaie encore de réussir le second seul, en revanche pour le premier, j'aurais besoin d'une confirmation extérieure pour me dire si mes tentatives ne sont pas complétement erronées. Cela risque d'être assez long à lire (et plus encore à résoudre), aussi je vous remercie sincèrement pour le temps que vous serez prêt à me sacrifier.
Voici l'énoncé :
Exercice 3 - Mouvement d'un satellite
Lancé le 20 juin 2008 de Vandenberg (Californie), le satellite océanographique Jason 2 permet, entre autre, de mesurer la hauteur des océans.
Données : constante de gravitation : G = 6,67.10-11 N.m2.kg-2 ; masse de la Terre : MT = 5,97.10^24 ; rayon de la Terre : RT = 6378 km.
1. Rappeler l'expression de la force de gravitation F qu'exerce la Terre (centre O, masse MT) sur un satellite (représenté par un point matériel M de masse m), en fonction de la constante de gravitation G, des masses MT et m de la distance r = OM et du vecteur unitaire ur . Représenter cette force sur un schéma.
2. Représenter sur ce schéma la force réciproque exercée par le satellite sur la Terre.
3. On se place dans le référentiel géocentrique noté (Rg). Définir le référentiel géocentrique. Dans toute la suite, le référentiel géocentrique (Rg) est considéré comme galiléen et seule l'action de la Terre est prise en compte.
On admet que la trajectoire de Jason 2 est circulaire, de centre O, de rayon
r0 = 7714 km, soit une altitude h = 1336 km (juste au dessus de l'ionosphère). La masse du satellite Jason 2 est m = 525 kg.
4. La force gravitationnelle est une force conservative. Montrer que l'énergie mécanique du satellite est conservée.
5. Pourquoi le travail de la force gravitationnelle est-il nul dans le cas d'une trajectoire circulaire ?
6. L'énergie potentielle du satellite est définie par : Ep =−G MTm / r . En utilisant la conservation de l'énergie mécanique, montrer que le mouvement circulaire du satellite est uniforme.
7. Dans le cas d'un mouvement circulaire et uniforme, l'accélération est donnée par : a = (v0²/ r0)ur
Exprimer la vitesse orbitale du satellite v0 en fonction de G, M, T et r0. Calculer sa valeur.
8. Exprimer la période de révolution T0 en fonction de G, M, T et r0. Calculer sa valeur.
9. Exprimer son énergie mécanique Em en fonction de G, MT, m et r0. Calculer sa valeur.
Et voici mes réponses. J'ai bien conscience d'y avoir mal réondu. Par exemple je me doute qu'un calcul est requis pour les questions 4 et 5, je n'ai simplement aucune idée de comment procéder.
Exercice 3
1. FA→B = -G(MTm/r²)ur
2.
3. Le référentiel géocentrique est le référentiel dont l'origine est le centre
de la Terre et dont les trois axes pointent vers des étoiles suffisamment
lointaines pour être considérées comme fixes.
4. D'après le théorème de l'énergie mécanique, il y a conservation de
l'énergie mécanique lorsque qu'il n'y pas de force non-conservative
ou lorsque le travail de l'ensemble de ces-dites forces est nul.
Ce qui est le cas ici puisque la seule force agissant du système est
une force conservative.
5. Dans le cas d'une trajectoire circulaire, le vecteur de la force
gravitationnelle est perpendiculaire à la trajectoire de la planète
l'exerçant, son travail est donc nul dans ce cas de figure.
6. L'énergie mécanique et la somme des énergies cinétiques
et potentielles d'un système donnée : Em = Ec + Ep
Ec = (1/2)mv0²
Ep = -GMTm/r0
Donc Em = (1/2)mv0² - GMTm/r0
Ici G, MT, m et r0 sont des constantes. Reste à déterminer v0.
Or d'après le théorème de l'énergie cinétique, l la variation de
l'énergie cinétique est égale au travail de l'ensemble des forces
conservatives : ΔEc = W(F)
Puisque le travail de la seule force conservative du système est nul,
nous avons W(F) = 0 et finalement ΔEc = 0
L'énergie cinétique est donc constante, donc la vitesse et constante
et le mouvement circulaire du satellite est uniforme.
7. a = (-v0²/r0)ur
<=> a = v0²/r0
<=> v0 = √(a/r0)
Puisque la vitesse est constante, v0(t) = v0(0) et v0(0) =
Dans le cas d'un mouvement circulaire et uniforme, on a :
Em = (1/2)mv0² - GMTm/r0
<=> (1/2)mv0² = GMTm/r0
<=> mv0² = 2GMTm/r0
<=> v0² = 2GMTm/rm = 2GMT/r0
<=> v0 = √(2GMT/r0)
A.N. : v0 = √(2*(6,67.10^-11) (N.m².kg^-2) * (5,97.10^24) (kg) / (7714.10^3)
= 10160,74 m.s^-1
Vérification dimensionnelle : N = kg.m.s^-2
Donc [v0] = (N.m².kg^-2. kg / m)^1/2 = (kg.m.s-2.m².kg^-2. kg / m)^1/2 = (m². s^-2)^1/2 = m.s^-1
Il s'agit bien de l'unité propre à une vitesse.
8. T0 = 2πr0/v0 = 2πr0 / √(2GMT/r0)
A.N. : T0 = 2π(7714.10^3) / √(2(6,67.10^-11)(5,97.10^24)/(7714.10^3)
= 4770,17 s
Vérification dimensionnelle : N = kg.m.s^-2
Donc [T0] = m / (N.m².kg^-2.kg / m)^1/2 = m / (kg.m.s^-2.m².kg^-2.kg.m^-1)^1/2
= m / m.s^-1 = s
Il s'agit bien de l'unité propre à une période.
9. Em = (1/2)mv0² - GMTm/r0
<=> Em = (1/2)m(√(2GMT/r0))² - GMTm/r0 = (1/2)m2GMT/r0 - GMTm/r0
= m2GMT/2r0 - GMTm/r0 = (m2GMT - 2(GMTm)) / 2r0 = ( -MTm)) / 2r0
A.N. : Em =
525*2*(6,67.10^-11)*(5,97.10^24)/(2*(7714.10^3))-(6,67.10^-11)*(5,97.10^24)/(7714.10^3)
= [525*2*(6,67.10^-11)*(5,97.10^24) - 2*((6,67.10^-11)*(5,97.10^24))] / (2*(7714.10^3))
= 2,70.10^10 J
Vérification dimensionnelle : N = kg.m.s^-2 et J = kg.m².s^-2
Donc [Em] = N.m².kg^-2.kg² / m = kg.m.s^-2.m².kg^-2.kg² / m = kg.m^3.s^-2 / m = kg.m².s^-2 = J
Bonjour,
Bravo pour ta presentation du sujet.
1) il faut adapter les notations: ici ce n'est pas A et B mais , ...
Il faut faire un dessin pour préciser le vecteur ur entre autres.
2) a faire sur le dessin
3)oui
4) oui
Ou plus simplement:
la seule force agissant sur le système est une force conservative , donc l' Em du systeme se conserve, d'après le theoreme de l'Em
5)
Dans le cas d'une trajectoire circulaire, le vecteur de la force gravitationnelle est toujours perpendiculaire à la trajectoire de la planète
l'exerçant, son travail est donc nul dans ce cas de figure.
C'est la terre qui exerce la force sur le satellite.
6)
L'énergie mécanique est la somme des énergies cinétiques
et potentielles d'un système : Em = Ec + Ep
Ec = (1/2)mv0²
Ep = -GMTm/r0
Donc Em = (1/2)mv0² - GMTm/r0
Ici G, MT, m et r0 sont des constantes. Et Em aussi!!
Donc v0 est constante .
Le reste de ce que tu as répondu est juste, mais c'est une autre démonstration non demandée.
7) je ne comprends pas ton calcul mais tu trouves la vitesse de libération a la fin, c'est pas bon signe..
Merci pour vos réponses, par contre je ne suis pas sur de comprendre ce que vous voulez dire par vitesse de libération.
7) ta réponse n'est pas la bonne.
Il suffit d'appliquer la 2e loi de Newton pour trouver la bonne vitesse.
Désolé mais je n'en ai aucune idée : je n'est pas logique. Si a est égale au carré de la vitesse par la distance, comment trouver son intégrale sans tomber sur une anomalie du genre vitesse égale à la vitesse au cube ?
Désolé mais je n'en ai aucune idée : ce n'est pas logique. Si a est égale au carré de la vitesse par la distance, comment trouver son intégrale sans tomber sur une anomalie du genre vitesse égale à la vitesse au cube ?
Applique la 2e loi de Newton au satellite :
Tu connais a, tu connais F donc tu écris:
F = ....
Et tu en déduis la vitesse
F = a
<=> -GMTm/r0² = v0²/r0
<=> v0² = -GMTmr0/r0² = -GMTm/r0
<=> v0 = √(-GMTm/r0)
A.N. : v0 = √((6,67.10^-11)*(5,97.10^24)*525 / (7714.10^3))
= 164622,7745 m.s^-1
Analyse dimensionnelle : N = kg.m.s^-2
Donc [v0] = (N.m².kg^-2. kg / m)^1/2 = (kg.m.s^-2.m².kg^-2. kg / m)^1/2 = (m². s^-2)^1/2 = m.s^-1
J'ai limpression que tu ne connais pas bien les lois de Newton
Et comme tu fais de l'analyse dimensionnelle (ce qui est très bien) tu devrais voir tout de suite que
F =a
est une horreur en physique !
Pour être honnête, c'était sensé être un exercice sur l'énergie mécanique, mais souvenir sur la dynamique sont un peu rouillés... Pouvez-vous me dire comment faire s'il vous plaît ?
La physique est un ensemble coherent, il n'y a pas d'un coté l'energie mecanique et de l'autre les lois de Newton, tout ca est lié, et tout ca est au programme.
La 2e loi de Newton s'ecrit: 
F = ma
C'est la loi fondamentale de la dynamique !
Je te laisse revoir ca en details d'urgence et refaire tes calculs.
La seule force en action dans ce système est -GMTm/r0²
On a donc : -GMTm/r0² = ma, n'est-ce pas ?
***Edit gbm : bonsoir à vous deux, @Nallitsac : clique sur la maison : 
Mouvement dans un champ de gravitation.
De manière générale sur la mécanique de Newton : Décrire un mouvement***
Si 
r est le vecteur unitaire dirigé de O vers M
Alors:
Fterre->satellite= - GMT m/ro2 r
et a= - Vo2/ror
(vecteurs en gras)
comme F=ma (2e loi de Newton)
on en deduit: ...
D'accord, donc :
GMTm/r0² = ma
<=> GMTm/r0² = m(v0²/r0)
<=> v0² = GMT/r0
<=> v0 = √(GMT/r0)
A.N. : v0 = √((6,67.10^-11)*(5,97.10^24) / (7714.10^3))
= 7184,73 m.s^-1
Analyse dimensionnelle : N = kg.m.s^-2
Donc [v0] = (N.m².kg^-2. kg / m)^1/2 = (kg.m.s^-2.m².kg^-2. kg / m)^1/2 = (m². s^-2)^1/2 = m.s^-1
Est-ce correct cette fois ?
Oui, 7 km/s c' est bcp mieux
4 chiffres significatifs suffiront pour une vitesse orbitale (donc 7185 m/s)
D'accord, merci. Je suppose donc que les questions 8 et 9 sont faussées. Néanmoins le procédé est bon n'est-ce pas ?
Oui, il faut revoir les calculs
7) Vo= 7185 m/s
8) vo T = 2
ro donc T = ...
9) Em = (1/2)mvo² - GMTm/ro = ... = - GMTm/(2ro) = ...
8) v0 T = 2r0 donc T = 2r0 / v0
A.N. : (2*(7714.10^3)) / 7185 = 6746 s
Vérification dimensionnelle :
[T0] = m / m.s^1 = s
Il s'agit bien de l'unité propre à une période.
9. Em = (1/2)mvo² - GMTm/ro = (mvo²ro - 2GMTm) / (2ro)
A.N. : (525*7185*(7714.10^3) - 2*(-6,67.10^-11)*(5,97.10^24)*525) / (2*(7714.10^3))
= 2,710.10^10
Vérification dimensionnelle : N = kg.m.s^-2 et J = kg.m².s^-2
Donc [Em] = kg².m - N.m².kg^-2.kg² / m = kg².m - kg.m.s^-2.m².kg^-2.kg² / m =
kg² - kg.s^-2.m².kg^-2.kg² = kg² - kg.s^-2.m² = kg.m².s^-2 = J
Il s'agit bien de l'unité propre à une énergie.
9. Em = (1/2)mvo² - GMTm/ro = (mvo²ro - 2GMTm) / (2ro)
Je ne comprends pas ce que tu fais. Il faut remplacer Vo par sa valeur en fct de G,m, etc. Et ca se simplifie.
On trouve:
Em = - GMTm/(2ro) = ...
Attention! Em est négative.
Oui pardon. Donc :
Em = (1/2)mvo² - GMTm/ro = (1/2)mGMT/r0 - GMTm/ro = - GMTm/(2ro)
A.N. : -(6,67.10^-11)*(5,97.10^24)*525) / (2*(7714.10^3))
= -1,355.10^10 J
Vérification dimensionnelle : N = kg.m.s^-2 et J = kg.m².s^-2
Donc [Em] = N.m².kg^-2.kg² / m = kg.m.s^-2.m².kg^-2.kg² / m =
kg.s^-2.m².kg^-2.kg² = kg.s^-2.m² = kg.m².s^-2 = J
Il s'agit bien de l'unité propre à une énergie.
Par contre Em négative ne correspond bien qu'à son vecteur ?
Par contre Em négative ne correspond bien qu'à son vecteur ?
??
Em est un scalaire !
Pas un vecteur.
En meca classique, l'énergie mécanique n'est définie qu'à une constante près, ni sa valeur ni son signe n'ont de sens physique, seules les variations d'énergie ont un sens (par exemple dans le theoreme de l'Em)
Excusez-moi vraiment, mais je ne suis pas sur de comprendre. Quelle est cette constante ? Qu'entendez-vous par sens physique ?
Revois ton cours sur l'energie potentielle : une Ep n'est définie qu'à une constante près
Donc Em aussi.
La valeur de l'Ep (et donc le signe) n'a pas d'interprétation physique , si tu préfères.
Ici Ep= -GMT m / r (négatif!)
On choisit comme convention que Ep est nulle à l'infini
Mais on pourrait choisir Ep= -GMT m / r + K
avec K constante arbitraire, ça ne changerait rien (sauf la valeur de Em)
Bon désolé je ne comprends toujours pas. Ce n'est pas grave. Je repasserai demain pour régler les derniers détails de l'exercice, et peut-être poster mes difficultés pour le second.
Quoi qu'il en soit je vous remercie pour tout votre temps et votre patience. Bonne nuit 
Bonjour,
Prenons un autre exemple:
Tu as dû voir qu'à proximité de la surface terrestre ,l energie potentielle de pesanteur Epp =m g h
où h est la hauteur du corps par rapport à un niveau de référence h=0 m
Ce niveau de référence peut être pris n'importe où (au niveau du sol, au niveau de la mer, au niveau du 4e étage d'un immeuble, etc.)
Et donc tu vois bien que la valeur de Epp est arbitraire
Seules les variations d'Epp ont un sens: c'est l'inverse du travail du poids si la hauteur varie de 
h.
Epp = mg h = -WP
En conclusion, trouver Ep ou Em négatif ou nul n'est pas anormal
Men revanche Ec est tjs positive
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