Niveau terminale

Mouvement et interaction

Posté par
Sasouno 28-01-21 à 00:07

Bonjour, dans le chapitre mouvement et interaction on doit calculer la dérivé dans certains exercices, mais j'ai du mal à comprendre ce chapitre parce que je sais pas calculer la dérivé, je sais qu'il y'a des tableaux qui aident à calculer la dérivée mais ça m'aide pas parce que dans certains exercice je dois trouver les primitives du vecteur position OAx= ? ; OAy= ?; OAz = ? ;
Et pour pouvoir trouver les primitives du vecteur position on me donne les dérivés du vecteur vitesse par exemple Vx = 0 ; Vy = Vo Cos alpha ; Vz =-gt + Vo Sin alpha

Et dans la correction de l'exercice la primitive de Vy = Vo Cos alpha c'est
OAy =( VoCosalpha) x t
Et la primitive de Vz = -gt + Vo Sin alpha c'est OAz = -1/2gt^2

Mais quand je regarde dans les tableaux de dérivés je trouve pas ces 2 primitives associée à ces 2 dérivées, du coup je comprends plus rien au chapitre

Merci pour votre aide, j'en ai vraiment besoin

Posté par re : Mouvement et interaction 28-01-21 à 05:20

Hello

La dérivée d'une fonction exprime, lorsque cela est possible, la variation d'une fonction en un point.
Prenons une fonction $f$ du temps, la variation de cette fonction entre 2 instant $t$ et $t+dt$
est:   $\dfrac{f(t+dt) - f(t)}{dt}$
Donc le nombre dérivé (cf programme 1ere) de f en t sera, quand il existe:
$\lim\limits_{t \to 0} \dfrac{f(t+dt) - f(t)}{dt}$
Cela permet de définir la fonction dérivée de $f$ , notée $f'(t)$ ou bien $\dot{f}(t)$ ou bien $\dfrac{df}{dt}(t)$ , comme étant la fonction qui partout où elle est définie associe à la variable $t$ la valeur $\lim\limits_{t \to 0} \dfrac{f(t+dt) - f(t)}{dt}$
Prenons 3 petits exemples "tout bêtes", soit $x(t)$ la position d'un mobile en fonction du temps:

1/ Supposons que le mobile soit "immobile":   $x(t)  =  c  =  constante$

$\dot{x}(t) = \lim\limits_{t \to 0} \dfrac{f(t+dt) - f(t)}{dt} = \lim\limits_{t \to 0} \dfrac{c - c}{dt} = \lim\limits_{t \to 0} \dfrac{0}{dt}=0$

On retrouve bien que si la position ne change pas avec le temps, la vitesse est nulle

2/ Supposons que la position du mobile varie linéairement avec le temps:   $x(t) = \alpha \times t$

$\dot{x}(t) = \lim\limits_{t \to 0} \dfrac{f(t+dt) - f(t)}{dt} = \lim\limits_{t \to 0} \dfrac{\alpha \times (t+dt) - \alpha\times(t)}{dt}=\lim\limits_{t \to 0} \dfrac{\alpha \times dt }{dt} = \alpha$

On retrouve bien que la vitesse du mobile est constante

3/ Supposons que la position du mobile varie linéairement avec le carré du temps:   $x(t) = \alpha \times t^2$

$\dot{x}(t) = \lim\limits_{t \to 0} \dfrac{f(t+dt) - f(t)}{dt} = \lim\limits_{t \to 0} \dfrac{\alpha \times (t+dt)^2 - \alpha\times(t)^2}{dt}=\lim\limits_{t \to 0} \dfrac{\alpha (2tdt+dt^2) }{dt} = \lim\limits_{t \to 0} \alpha (2t+dt) = 2\alpha t$

Si a position du mobile varie linéairement avec le carré du temps, la vitesse sera elle une fonction linéairement du temps

Maintenant chercher une primitive d'une fonction $f$ c'est chercher une fonction $F$ dont la dérivée est $f$

Par exemple tu connais la vitesse $v(t)$ en fonction du temps, tu va chercher sa primitive pour déterminer la position $x(t)$ (la dérivée de la position par rapport au temps étant la vitesse instantanée)

Maintenant si tu connais $f$ tu ne pourras déterminer   $F$   par le calcul qu'à une constante près. (je t'engage à démontrer que si $g(t) = f(t) + c$ alors $f'(t) = g'(t)$

Cette "indétermination" dans le calcul de la primitive est généralement "levée" en s'interessant aux conditions initiales: si on connait $x(t)$ à une constante près, la donnée de $x(t) = 0$ te fournira la valeur de la constante

Mine de rien, on vient de redémontrer les 3 premières lignes de ton tableau des dérivées/primitives usuelles

Si f(x)= constante,  f'(x) = 0
Si f(x) = a.x, f'(x) = a
Si f(x) = a.x², f'(x) = 2a.x

Si f(x)= 0,  F(x) = constante
Si f(x) = a, F(x) = a.x + constante
Si f(x) = a.x , F(x) = 1/2.a.x² + constante

Je te laisse reprendre ton exercice? En ayant bien en tête que la valeur de "constante" se détermine par la prise en compte des conditions initiales

A toi?

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