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Mouvement de la lune autour de la terre
Bonsoir, j'ai besoin d'aide avec cet exercice s'il vous plaît :
Données :
Constante de gravitation universelle : G = 6,67×10^-11 m3.kg-1.s-2
Masse de la Lune : ML = 7,34 × 10^22 kg
Masse de la Terre : MT = 5,97×10^24 kg
Distance moyenne du centre de la Lune OL au centre de la Terre OT : d = 3,84 × 10^5 km
On se place dans le référentiel géocentrique, supposé galiléen.
On étudie le système {Lune}, sans tenir compte de l'influence du Soleil.
1. Faire un schéma, sans souci d'échelle, sur lequel apparaîtront la Terre ainsi que la Lune et son orbite, supposée circulaire. Représenter le vecteur FT/L représentant la force modélisant l'interaction gravitationnelle exercée par la Terre sur la Lune, ainsi que le vecteur unitaire u, orienté depuis la Lune vers la Terre.
2. Donner l'expression vectorielle de FT/L.
3. Établir l'expression vectorielle de l'accélération de la Lune, en fonction de G, MT, d et du vecteur unitaire u.
4. Montrer, en utilisant un repère mobile de Frenet lié à la Lune (que l'on représentera sur la figure de la question 1) que la vitesse de la Lune sur son orbite est constante d'une part, et qu'elle s'exprime par la relation :
VL =
GM
5. Calculer la valeur de cette vitesse.
6. Etablir en utilisant la question 4, l'expression de la période de révolution de la Lune autour
de la Terre en fonction de G, MT et d.
7. Calculer la valeur de cette période en jours et heures.
8. Enoncer la troisième de Képler dans le cas d'une orbite circulaire et en déduire de la question 6 l'expression de la constante intervenant dans cette loi.
Pour la question 1) est-ce que c'est correcte ? (C'est un brouillon)
J'ai représente d (distance Terre-Lune depuis leurs centres)
A quoi correspond le vecteur unitaire u ?
Merci d'avance
Ensuite pour la 2)
Le rayon R est d
F T/S = G . (MT . ML)/ d^2) . vecteur(u)
Avec G : constante de gravitation= 6,67×10^-11 m3.kg-1.s-2
MT : masse de la Terre = 5,97×10^24 kg
ML : masse de la Lune = 7,34 × 10^22 kg
Et vecteur(u) : vecteur unitaire
Le vecteur u a une unité ? Et il est égal à combien ? 1 ?
Pour la 3)
On applique la seconde loi de Newton :
La somme des probabilités total du vecteur(F)= ML . Vecteur(a)
=> Vecteur(FT/S)= G . (MT . ML)/ d^2) . vecteur(u)= ML . Vecteur(a)
Ainsi vecteur a=G. (MT)/d^2 . Vecteur(u)
4)d'après la question précédente, le vecteur accélération de la {Lune} est centripète : il est orienté vers le centre de la trajectoire, dans ce mouvement circulaire, la vitesse est donc constante
Je ne sais pas ce qu'il faut rajouter sur le schéma
Ce que tu as fait est exact.
Toutefois ta justification de la question 4 ne .... justifie rien.
Tu trouveras des compléments dans cette fiche : 
Mouvement dans un champ de gravitation
Un vecteur n'a pas d'unité, mais en physique sa norme en a (le plus souvent) une.
Exemple :
le vecteur n'a pas d'unité mais sa norme " g " est une grandeur physique qui s'exprime en m/s²
Un vecteur unitaire est un vecteur dont la norme est égale à 1 (sans unité)
Ce vecteur unitaire sert à indiquer une direction est un sens.
Tout vecteur (non nul) peut être exprimé comme le produit d'un scalaire par un vecteur unitaire.
Exemple : Dans un référentiel terrestre, le vecteur peut être écrit comme le produit du scalaire " g " par un vecteur unitaire
vertical dirigé vers le bas.
On écrit dans ce cas que : = g
D'accord merci...
Donc sur le schéma que j'ai fait à la question 1, je dois rajouter uniquement le vecteur t ? (Le vecteur n sur votre lien étant ici représenté par le vecteur u quo est déjà placé)
Que signifie le vecteur t ? Il indique aussi une direction ? Il représente le fait que la lune tourne autour de la terre ?
Et donc le début de ma justification est faux ?
D'ailleurs à la question 4) il y a une erreur
Il faut prouver que VL=racinecarre(G.MT/d)
Donc on reprend l'expression du vecteur accélération selon la seconde loi de Newton et aussi dans la base de Frenet
On a donc (le mouvement étant circulaire) :
vecteur(a)=at . Vecteur(t) + au . Vecteur(u) =
dv/dt . vecteur(t) + v2/d . Vecteur(u)
=> Vecteur(a)=G.MT/d2.vecteur(u)= dv/dt . vecteur(t) + v2/d . Vecteur(u) => dv/dt=0 car la vitesse est constante
On en déduit que :
Vecteur (a) {at=0
{au=v2/d=G.MT/d2
v2=(G.MT/d2) . d
v=vL=Racinecarre(G.MT/d)
Je pense m'être trompé, dans mon cours, l'accélération dans le repère de frenet s'écrit :
Vecteur(a)=at.vecteur(t)+an . Vecteur(n)
Avec at=dv/dt et an=v2/R
Est-ce le vecteur n ou le vecteur t que je dois remplacer par le vecteur u ?
Voir schéma.
Le vecteur unitaire de ton schéma est confondu avec le vecteur unitaire
de la base de Frenet :
=
Le vecteur unitaire de la base de Frenet est tangent à la trajectoire de la lune et de même sens que son mouvement.
Question 4 :
Tu as montré que :
(*1)
D'autre part, on a dans la base de Frenet :
C'est à dire, puisque =
(*2)
En comparant (*1) et (*2) on obtient :
a) dv/dt = 0 ce qui implique que le mouvement est uniforme
b) G*MT / d² = v²/d qui donne le résultat que tu as trouvé :
D'accord merci ! Mais la question dit en utilisant un repère de frenet donc je dois utiliser le schéma et dire que comme le mouvement est circulaire, la vitesse est constante ?
Et donc ça je ne le dit pas ? : donc d'après la question précédente, le vecteur accélération de la {Lune} est centripète : il est orienté vers le centre de la trajectoire, dans ce mouvement circulaire, la vitesse est donc constante
La solution que je t'ai proposée utilise le repère de Frenet.
Dans cette solution je montre que dv/dt = 0 donc que la variation de la vitesse par rapport au temps est nulle, ce qui évidemment signifie que la vitesse est constante (mouvement uniforme)
Autre possibilité :
On arrive au résultat :
G, MT et d sont des constantes, il en résulte que v est aussi une constante.
Ah d'accord merci et est-ce que je peux rajouter la phrase que j'ai dit ou c'est totalement inutile ?
je trouve pour la question suivante
VL=32202,12047 m.s -1 ?
Mais la formule dit MT, on est pas censé utiliser ML ?
Ah d'accord merci et est-ce que je peux rajouter la phrase que j'ai dit ou c'est totalement inutile ?
La phrase dont tu parles est une affirmation, c e n'est pas une démonstration. Elle est donc inutile.
je trouve pour la question suivante
VL=32202,12047 m.s -1 ?
Je trouve un résultat différent.
Poste le détail de ton calcul, si tu désires que je vérifie lequel des deux s'est trompé.
Mais la formule dit MT, on est pas censé utiliser ML ?
Si la formule dit " MT " il n'y a aucune raison d'utiliser " ML "
Ton erreur provient de la distance Terre / Lune
d = 3,84.105 km = 3,84.108 m
C'est la valeur en mètres qui doit être utilisée.
Je trouve 1018,32 m.s-1 soit 1,02 *10^-3 m.s-1 ?
Pour la question suivante :
On sait que V= 2pie*d/T
Donc T=2pie*d/V ? Pas la peine de développer plus comme on connaît V ?
Je trouve 1,02 *10^-3 m.s-1 ?
La réponse correcte est V = 1,02.103 m/s .
Ton résultat est donc un million de fois trop petit.
Pour la question suivante :
Pas la peine de développer plus comme on connaît V ?
Relis l'énoncé de cette question !
Ah oui
On sait que : V= 2pie*d/T
Donc T=2pie*d/V
=> T=2pie*d/V
Or V=Racinecarre(G.MT/d)
Donc T= 2pie*d/Racinecarre(G.MT/d)
T= 2pie*d/ [Racinecarre(G.MT) / racinecarre(d)] ?
D'accord merci... je vais développer pour passer a votre formule...
Je trouve T=2369335.832 s faut-il mettre en chiffre significatifs ?= 2369335.832/3600=658,1 h=658,1/24=27,4 jours
3 chiffres significatifs comme pour les données.
Attention l'énoncé précise que le résultat doit être exprimé en jours et heures.
Les résultats doivent être rendus avec 3 chiffres significatifs mais les calculs doivent être menés à la calculatrice avec un maximum de précision :
J'ai trouvé : T = 27 jours et 10h
Mais sur la copie, comme T est d'abord exprimé en secondes je dois mettre la valeur que je trouve sans arrondi ? C'est seulement le résultat final qu'il faut mettre en chiffre significatif ?
Tu peux écrire sur ta copie que T = 2,36.106 s et continuer les calculs avec toutes les décimales.
Cela donne T = 27,42286843 jours que tu écris 27,4 jours
Tu continues sans l'écrire avec la précision maximum :
27,42286843 jours = 27 jours et 0,42286843 jour
0,42286843 jour = 10,14884222 heures arrondies à 10h
Et finalement tu rends T = 27 jours et 10h
D'accord merci !
Ensuite pour la dernière question, je ne sais pas si c'est bien rédigé :
Selon la loi des des périodes, pour toutes planètes, le rapport entre le carré de la période T de révolution autour du soleil et le cube du Demi-grand axe a de la trajectoire est la meme :
T2/a3=constante
La trajectoire étant un cercle de rayon d, on peut écrire :
T2/d3=constante
L'expression de la période de révolution de la Lune autour de la Terre est :
T=2pieracinecarre(d3/(G.MT))
On élève au carré :
T2=4pie2.D3/(G.MT
=> T2/d3=4pie2/G.MT=constante
J'ai une dernière question s'il vous plaît, sur le schéma dois-je faire apparaître le vecteur u et n ou seulement u ?
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