Voici la manière dont j'ai compris .on prend les équations de A et B:  xA=vAtA et xB =vBtB,,,au premier croisement, on a : xB=vBtB+40 =vAtA==>ta=tB=tr1==>tr1=40/(vA-vB) (1) .au second croisement, on a :xA=vAtA+20=vBtB où tA=tB=tr2==>tr2=-20/(vA-vB) (2) or les 20s=tr1-tr2==>(vA-vB)=3.   C'est là que je suis bloquer. Veuillez m'aider pour la suite.

Pourrais-tu préciser ce que représentent  xA, vA, tr1, etc ?

xA est la distance parcourue par le premier coureur.  tr1 est le temps de croisement du premier croisement , vA est la vitesse du premier coureur. XB  est la distance parcourue par le second coureur, vB est la vitesse du second coureur et  tr2 est  le temps de croisement du second croisement

D'accord. On a donc pour le premier croisement (en M) :
xA = vA*tr1 = . . .
xB = vB*tr1 = 40 .

Merci mais maintenant comment pourrai-je déterminer la longueur de la piste circulaire ainsi que les vitesses ?

As-tu bien écrit toutes les équations ?

Bon pour ces équations je  l'est fait de la manière dont j'ai compris le sujet .mais je ne sais pas si j'ai commis d'erreur ou pas .c'est ce qui fait que je suis bloquer.

Pourrais-tu montrer les équations que tu as écrites ?

Voici les équations : l'équation du premier coureur qui part de A:xA=vAtA..l'équation du second coureur qui part de B:xB=vBtB. C'est sont ces deux équations que j'ai utilisé

Tu ferais mieux de compléter les équations que j'avais ébauchées à 21h04.

OK si je prenais, : xA=va*tr1 et xB=vB*tr2=40.pour le premier croisement. Et xA=vA*tr2 =20 et xB=vB*tr2 pour le second croisement. Comment pourrai-je maintenant répondre au différentes questions ?

Le premier croisement a lieu au temps  tr1 . La deuxième équation doit donc être rectifiée ainsi :  xB = vB*tr1 .
Par ailleurs, je te conseille d'exprimer  xA  en fonction du périmètre P du cercle.

OK je sais que le périmètre du cercle=π*r avec r=diamètre divisé par 2 .maintenant comment pourrai-je avoir le rayon du cercle. ? Pour écrire que xA=va*tr1=π*r? Est ce comme ça qu'on exprime xA en fonction du périmètre ?

Le rayon de la piste n'est pas demandé, seulement sa longueur. Donc  P  suffit.

OK maintenant si vous  me donnait les équations à combinées  pour la résolution, je s'aurai me débrouiller je pense.

Ne peux-tu compléter ma première équation de 21h04 ?

Non parce-que je me demande si j'applique la même méthode pour le second croisement pour obtenir :
xA=vA*tr2=?20
xB=vB*tB
comment m'en sortir pour la suite ?

Pour le moment, il s'agit du premier croisement.
Dans cette première équation, il y a  xA , que tu pourrais exprimer en fonction du périmètre  P  de la piste.

OK mais comment exprimé xA en fonction du périmètre P du cercle sachant que le périmètre du cercle est pi*rayon ?

Pas besoin du rayon, seulement du périmètre.
As-tu fait une figure ?

Oui mais sur la feuille parce-que j'ai pas d'ordinateur actuellement et je ne peut pas reproduire le schéma dans mon téléphone pour vous le monté. Mais de même voici c'est que je vient de tenter :
1er croisement :
xA=vA*tr1= π*D (en fonction du périmètre) et
xB=vB*tr1=40. Veuillez m'aider pour la suite.

Celui qui part de B couvre bien 40 m de B à M : xB = 40 .
Le parcours de celui qui part de A est l'arc AM. Quelle est sa longueur  xA  en fonction du périmètre P de la piste ? (un simple coup d'oeil sur la figure permet de répondre)

OK après observation,voici ce que j'ai eu :xA=l'arc(AM)+k(2πr),k€Z .est ce bon?

Certes, mais on a ensuite  AM = AB - BM = . . . .

OK maintenant comment combiné l'équation du premier coureur et celle du second coureur pour répondre aux questions ?

Tu ne complètes pas mon dernier message (en introduisant le périmètre) ?

Désolé voici c'est que j'ai eu :
AM=AB-BM
        =(1/2)*P-BM
       =(1/2)*(2πr)-BM
       =πr-BM
Or:BM=xB=40==>
AM=(πr-40)
Est ce vrai ?

Donc  xA = P/2 - 40 (pas besoin de  r).

OK  maintenant comment pourrai-je combiné les équations du premier croisement ? qui sont les suivantes :
xA=P/2-40=vA*tr1
xB=vB*tr1=40

Voilà donc les deux équations concernant le premier croisement.
Reste à écrire des équations analogues pour le second croisement. Tu pourrais appeler  x'A  et  x'B les distances parcourues par les deux coureurs jusqu'au point P.

OK voici c'est que j'ai eu jusqu'au point P:
x'A=v'A*tr2=20
x'B=l'arc(AP)+k(2πr)
       Or: AP=AB-BP
                      =P/2-P/3
                      =P/6==>
x'B=AB-BP
       =P/6=v'B*tr2
   Est que cela est vrai ?

Non.
Le coureur parti de B est passé par M et A avant d'atteindre P.
Le coureur parti de A est passé par M et B avant d'atteindre P.
Détermine en conséquence les distances parcourues x'A et x'B.
Note que l'emploi de  v'A et v'B est inutile, car les vitesses des coureurs sont toujours les mêmes : vA et vB.

OK reverifies ça aussi :
x'A=v'A*tr2=AM+MB+BP
                            =AB-MB+MB+BP
                            =P/2+BP
et
x'B=v'B*tr2=BM+MA+AP
                          =40+AB-BM+20
                          =60+P/2-40
                          =20+P/2

Est ce bon ?

x'B : oui (avec vA).
x'A : tu peux exprimer BP en fonction de P.

OK pour exprimé BP,voici comment j'ai
Fais :

BP=BA-AP
       =  P/2-20
Est ce bon ?

Oui.

OK maintenant qu'on a quatre équations, comment répondre aux différentes questions ?

Il y a une cinquième équation à écrire (relis la fin de l'énoncé).
D'où un système de cinq équations à cinq inconnues : tr1, tr2, vA, vB et P , à résoudre.

J'ai relis mais je n'est aucune idée de la determination de la cinquième équation .

20 secondes entre les deux croisements . . . .

Donc cela signifie que :
20 s=tr1-tr2
Est ce ça la dernière équation?

A peu près. Comme tr2 est évidemment supérieur à tr1, je l'écrirais plutôt  tr2 - tr1 = 20 .

OK comme ça je veut réunir toutes les équations pour pouvoir trouver les inconnues.

Bonjour Sacko et Priam

Je crois, pour avoir survolé rapidement vos échanges que ce que vous appelez tr2 est une durée égale à 20s puisque l'énoncé dit :
"il s'est écoulé 20 secondes entre les deux croisements".
Dans ce cas il ne reste que quatre inconnues.

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D'autre part je propose une autre approche pour résoudre cet exercice :

Soit " L " la longueur d'un demi-tour de piste.
J'appelle "première phase" celle qui s'étend depuis le départ des coureurs jusqu'au premier croisement  et "deuxième phase" celle qui va du premier au second croisement.

Pendant la première phase les coureurs ont parcouru à eux deux un demi-tour de piste ce qui a nécessité une durée θ₁
Pendant la deuxième phase les coureurs ont parcouru à eux deux un tour de piste entier ce qui a nécessité une durée  θ₂=20s (durée entre les deux croisements)
Les vitesses étant constantes on en déduit que θ₁= θ₂/2 =10s
Le coureur parti de B qui a parcouru 40m en 10s a donc une vitesse de 4m/s
Pendant la même durée, l'autre coureur parti de A a parcouru (L-40) m

Sur l'ensemble des deux phases les coureurs ont parcouru à eux deux 1,5 tour de piste soit une distance de 3L
Ils se croisent alors au point P à 20m de A
Deux cas sont à envisager suivant que P est situé d'un côté ou de l'autre par rapport à A :
Premier cas : Le coureur parti de B a parcouru (L+20)m pendant que l'autre a parcouru (2L-20)m
Second cas : Le coureur parti de B a parcouru (L-20)m pendant que le plus rapide a parcouru (2L+20)m

Etude du premier cas :
D'une phase à l'autre (ou sur l'ensemble des deux phases) le rapport des distances parcourues par les coureurs reste constant donc :
40/(L-40) = (L+20) / (2L-20)
On trouve que L=100m donc que la piste a une longueur de P = 2L = 200m
Et que le coureur qui a parcouru (L-40)m en 10s a donc une vitesse de 6m/s

Le second cas se traite de la même manière.

Oui bonjour odbugt1
Merci d'avoir contribué à cette résolution.