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Mécanique Newtonienne

Posté par
Cerise13200
08-12-18 à 20:18

Bonsoir,
Je rencontre un problème avec un exercice traitant la notion de la mécanique Newtonienne.

Le voici:

On étudie le mouvement d'un wagonnet S dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Ce solide, de masse m, est initialement au repos en A. On le lance sur la piste ACD représentée sur la figure, en faisant agir sur lui, le long de la partie AB de sa trajectoire, une force \vec{F} horizontale et de valeur constante. On pose AB = l.
La portion AC de la trajectoire est horizontale et la portion CD est un demi-cercle de centre O et de rayon C; ces deux portions sont dans le même plan vertical.
La piste est parfaitement lisse et les frottements sont négligeables.


*A: Etude du mouvement entre A et B:
1)Déterminer l'accélération du wagonnet.

Voici ce que j'ai trouvé:
Grace à la deuxième loi de Newton:
\frac{\vec{F}}{m} = \vec{a}

2)a) Déterminer l'expression de la vitesse en fonction de F, m et x, distance parcourue.

Voici ce que j'ai essayé de faire:

v(t) = \frac{\vec{F}}{m} * t


et x(t) = \frac{\vec{F}}{2*m} * t²

J'isole le t dans x(t):

t = \sqrt{\frac{2*m*x}{\vec{F}}}


Et je remplace ensuite le t dans l'équation horaire v(t) pour obtenir v:

v = \frac{F}{m} * \sqrt{\frac{2*m}{F} * x}



La correction m'indique cela:

v(t) = x(t) = \frac{\vec{F}}{m} * t

et x(t) = \frac{\vec{F}}{2*m} * t²

Donc, v² = 2\frac{\vec{F}}{m} * x, soit v = \sqrt{2\frac{\vec{F}}{m} * x}

Je ne comprends pas comment ils en sont arrivés à avoir la relation v(t) = x(t). N'est-ce pas des valeurs différentes?

Merci d'avance!

Mécanique Newtonienne

Posté par
Cerise13200
re : Mécanique Newtonienne 08-12-18 à 20:22

Je me suis trompé:
"La portion AC de la trajectoire est horizontale et la portion CD est un demi-cercle de centre O et de rayon C"

C'était:

La portion AC de la trajectoire est horizontale et la portion CD est un demi-cercle de centre O et de rayon R

Posté par
odbugt1
re : Mécanique Newtonienne 08-12-18 à 21:25

Bonsoir,

Tu as raison : On ne peut pas écrire que v(t) = x(t) pour les raisons que tu invoques.

Ce n'est pas la seule incohérence :
Quand tu écris que :
v(t) = \frac{\vec{F}}{m} * t
tu égales un vecteur avec un scalaire !

Quand le corrigé écrit que :

v(t) = x(t) = \frac{\vec{F}}{m} * t

Non seulement il affirme qu'une vitesse est égale à une longueur, mais lui aussi il égale un vecteur avec un scalaire.

Tu ne l'as peut être pas remarqué, mais ton résultat :
v = \frac{F}{m} * \sqrt{\frac{2*m}{F} * x} est l'équivalent du résultat de ton corrigé : v = \sqrt{2\frac{F}{m} * x}

Posté par
Cerise13200
re : Mécanique Newtonienne 09-12-18 à 15:58

Merci infiniment pour votre aide, encore une fois!
Je comprends beaucoup mieux désormais. De plus, je n'avais pas fait la correspondance entre mon résultat et le résultat de la correction...C'est plus clair

Cependant, je rencontre encore un problème à une question de cet exercice (décidément il me cause beaucoup de tort celui-la):

Je vous récapitule mes avancements:

→ Étude du mouvement entre C et D.

5) Faire l'inventaire des forces qui s'exercent sur le wagonnet.

-Voici ce que j'ai trouvé:

►Son poids \vec{P} vertical;
►La réaction \vec{R} de la piste;
►La force \vec{F}, responsable du déplacement du wagon.

-Voici ce que le corrigé à écrit:

►Son poids \vec{P} vertical;
►La réaction \vec{R} de la piste, perpendiculaire à la piste;

Pourquoi la force \vec{F}  n'est plus présente, une fois le wagon situé entre C et D? En effet, étant donné que les forces \vec{P} et \vec{R} s'annulent, une autre force doit forcément être responsable du fait que le wagon se déplace entre C et D; J'aurais justement imaginé que le vecteur \vec{F}, placé vers la direction du vecteur \vec{u} soit la source de ce déplacement... Mais bref; ce problème n'est pas ma plus grosse difficulté actuellement.

6) Appliquer la deuxième loi de Newton et la projeter dans le repère  de Frenet. En déduire les expressions de \frac{dv}{dt} et \frac{v²}{R} en fonction de m, g, N (valeur de la réaction de la piste) et de l'angle .

-Voici ce que j'ai trouvé:
Grâce à la deuxième loi de Newton, \vec{P} + \vec{R} = m * \vec{a}.
On a ici un mouvement non uniforme, donc: \vec{a} = \frac{dv}{dt} * \vec{v} + \frac{v²}{R} * \vec{n}

Projetons sur le repère de Frenet:

►Pour \vec{u} :
Nous projetons \vec{P} sur \vec{u}, donc:
comme cos() = -\frac{P}{Pu} = - \frac{P}{m * g}, soit -P = -m*g*cos()

Or, cos(90° - ) = sin()
Donc, m * \frac{dv}{dt} = -m*g*sin()

Soit \frac{dv}{dt} = -g * sin()


►Pour \vec{n} :

Nous projetons \vec{P} sur \vec{n}, donc:
Comme cos() = \frac{N}{p}, alors N = -p * cos()

Ce qui donne: m * \frac{v²}{R} = -m*g*cos() + N

Par conséquent, \frac{v²}{R} = = -g * cos() + \frac{N}{m}

Cependant, je bloque sur le 7):
7)Montrer que l'expression v² - vc2 = 2g * R * cos( - 1) est en accord avec l'expression de \frac{dv}{dt} trouvée dans la question précédente.


Comment faire pour arriver à ce résultat?

Je suppose qu'il faut dériver cette vitesse pour obtenir l'accélération, mais je ne trouve pas la valeur du corrigée, qui est:

2v*\frac{dv}{dt} = -2g*\sin \theta * R * \frac{d\theta }{dt}

Comment obtenir ce résultat?

Merci d'avance!

Posté par
Cerise13200
re : Mécanique Newtonienne 09-12-18 à 16:10

Voici une photo de la projection:

Mécanique Newtonienne

Posté par
odbugt1
re : Mécanique Newtonienne 09-12-18 à 20:03



Question 5 :
L'énoncé dit clairement que la force \vec F s'exerce entre A et B.
Il n'est donc pas étonnant qu'elle ne figure plus entre C et D.
Le wagonnet lancé par la force   \vec F entre A et B poursuit sa route sur sa lancée.

Question 7 :
En dérivant par rapport au temps l'expression :
V²-(Vc)² = 2gR(1 - cos(θ)) on trouve bien l'expression proposée par ton corrigé :

\large v*\frac{dv}{dt} = -g*\sin \theta * R * \frac{d\theta }{dt}

Or dθ/dt = V/R .... Je te laisse conclure.

Posté par
Cerise13200
re : Mécanique Newtonienne 09-12-18 à 23:46

Bonsoir,
Merci beaucoup encore une fois pour votre réponse!

D'accord, je comprends mieux pour la question 5;
Malheureusement je bloque toujours pour dériver l'expression:  v² - v2c= 2g * R * cos( - 1)
Pour moi, cette expression est présentée sous la forme (u * v)' = u'*v + u*v'  avec:
u' = 2
u = 2gR
v = (cos() - 1)
v' = - sin()

Ainsi, j'obtiens: 2V - 2Vc = 2 * cos( - 1) + 2gR - sin()

Cela ne correspond évidemment pas au résultat de la correction. De plus, je ne sais pas ce que représente 2Vc (Que veut dire l'indice c ?)

Merci d'avance

Posté par
odbugt1
re : Mécanique Newtonienne 10-12-18 à 00:50

Tout d'abord rectifie ton expression à dériver :
Ce n'est pas

V² - ( Vc )² = 2 * g * R * cos (θ-1)

mais

V² - ( Vc )² = 2 * g * R * (cos (θ) - 1) ou bien si on préfère :
V² - ( Vc )² = 2 * g * R * cos (θ) - 2 * g * R

Vc est la vitesse au point C : C'est une constante
g et R sont aussi des constantes.

V et θ sont les variables à dériver.
La dérivée de V² est 2V. dV/dt  ( En maths on écrit cela 2V . V' )
La dérivée de cos (θ) = - sin (θ). dθ/dt ( En maths on écrit cela  -sin(θ) . θ')

La dérivation donne donc :
2 V . dV/dt  - 0 = 2 * g * R * ( - sin (θ). dθ/dt ) soit après simplification :
V . dV/dt = -  g * R * sin (θ). dθ/dt

Posté par
Cerise13200
re : Mécanique Newtonienne 12-12-18 à 10:31

Bonjour,

Merci pour vos explications claires sur la dérivée, j'ai enfin compris.
A bientôt



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