Je ne sais pas ce qui est attendu par le prof.

Ton calcul est juste mais ...
Si on monte en 1,08 s, la vitesse sera grande quand la charge arrivera au sommet et il sera impossible de l'arrêter instantanément. Donc la charge va "sauter" par inertie plus haut que les 10 m et tout casser.

La vitesse à 10 m de haut avec ton calcul est de 18,4 m/s (vers le haut)

Donc la charge, par inertie, va continuer à grimper de delta h = v²/(2g) = 18,4²/(2*9,8) = 17 m

La charge va donc "sauter" 17 m plus haut que les 10 m de la grue.

Ca va faire mal !!!!!!!!!!
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Si on veut que la charge monte bien de 10 m ... mais ne "saute" pas plus haut, alors, il FAUT arreter de tirer avec la câble avant d'arriver au 10 m, la fin de la montée se faisant sur l'inertie de la charge (le câble continue alors à monter avec la charge, mais sans la tirer vers le haut, pendant cette phase).

Si on mêne les calculs, pour éviter la casse (due au saut plus haut que les 10 m), alors on a ceci :

Traction dans le câble : T = mg + m.a = m.(g + a)

T = 15000*(9,8 + a)

T <= 4.10^5 N

15000*(9,8 + a) <= 4.10^5

a <= 16,9 m/s²

a max = 16,9 m/s²
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a) phase accélérée par la traction du câble (durée t1):
V1 = a.t1 = 16,9.t1
z1 = 16,9 * t1²/2 = 8,45.t1²

b)
phase où la charge monte par inertie (seul le poids agit) (durée de cette phase : t2) :

v = V1 - gt
on veut v = 0 en fin de cette phqse (pour éviter le saut).
0 = 16,9.t1 - 9,8.t2
t2 = 1,72.t1
z2 = V1.t2 - g.t2²/2
z2 = 16,9.t1*1,72.t1 - 9,8*(1,72.t1)²/2

c)
z1 + z2 = 10  (pour monter des 10 m)

8,45.t1² + 16,9.t1*1,72.t1 - 9,8*(1,72.t1)²/2 = 10
t1 = 0,66 s

t = t1 + t2 = 0,66 * (1 + 1,72) = 1,8 s
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Groupement des résultats :

Accélération a = 16,9 m/s² pendant t1 = 0,66 s
Ce qui amène en t = 0,66s une vitesse V1 = 11,2 m/s
la hauteur atteinte en t1 est z1 = 3,7 m

Ensuite le câble ne doit plus tirer vers le haut, juste "suivre le mouvement", sans traction.

La charge freine alors sous l'action de la pesanteur.
Cette phase dure t2 = 1,72 * 0,66 = 1,14 s
La vitesse en fin de cette phase est 0.
Et pendant cette phase, la charge monte (par inertie) de 6,3 m

La durée minimale de la montée est donc t1 + t2 = 1,8 s

... qui reste évidemment très court par rapport à ce qui se fait en pratique.
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Sauf distraction.  

Effectivement je n'avais pas pris en compte la 2eme phase de montée par inertie.

En fait c'est la derniere question d'un exo de 4 pts d'une épreuve de concours (niveau Terminale S) qui dure 3 heures.

Ta réflexion s'inscrit dans la logique de l'exo, mais ça se trouve on peut y répondre en se servant des autres questions. Je vais essayer de mettre l'exo en entier dans l'aprés midi et si tu as le temps de me dire ce que tu en penses...

à tout à l'heure donc..

voici l'énoncé en entier.

1)
z = a.t²/2
6 = a*3,5²/2
a = 0,98 m/s²

2)
T1 = m(g + a)
T1 = 10^4 * (9,81 + 0,98) = 1,08.10^5 N

3)
T2 = mg = 9,81.10^4 N

4)
V1 = V2 = a.t1 = 0,98 * 3,5 = 3,43 m/s

5)
0 = 3,43 - 0,98.(t3-t2)
t3 - t2 = 3,5 s
t3 = 6 + 3,5 = 9,5 s
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Avec l'énoncé complet, je change évidemment la réponse que j'ai faite à partir de l'énoncé tronqué du début.

En effet :

Si on calcule la hauteur à laquelle la charge est hissée avec les questions 1 à 5; on a:

h = 3,43 * (2 * 3,5)/2 + 3,43 * (6 - 3,5) = 20,6 m

Et donc la grue ne fait pas 10 m comme on pouvait le supposer avec l'énoncé initial.

Si la charge peut monter à plus de 27 m (mais on ne peut pas le savoir sans d'autres précisions sur la grue), alors on peut arriver à pleine vitesse en h = 10 m et on trouvera alors t min = 1,09 s pour la question 7 (comme dans ta réponse).

Et bien entendu, la charge continuera ensuite à monter d'au moins 17 m et atteindra 27 m par rapport au sol.

Par contre, si la charge ne peut pas atteindre (contraintes dues à la hauteur de la grue) une hauteur de 27 m par rapport au sol, alors cette réponse est inacceptable.

Dans le cas où la charge doit être arrêtée à h = 10 m, alors c'est la réponse de mon premier message la bonne.

Conclusion : L'énoncé n'est pas suffiamment explicite pour répondre de manière satisfaisante à la question 7.
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Rien vérifié.  

J'avais  trouvé les résultats des questions 1 à 6 et je ne m'étais pas posé la question pour le 7) si la grue devait arriver avec une vitesse nulle ou non à 10m. Seul le résultat de 1,09 s me semblait un peu irréliste. C'est vrai que l'énoncé est en fin de compte ambigu... dommage pour un énoncé de concours ...
En tout cas merci à toi pour toutes ces précisions et travail
A+