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impedance d'un circuit RLC ; avec les nombres complexes.

Posté par
pppa 24-10-12 à 19:45

Bonjour à tous

je me permets de m'adresser à  vous car je ne suis pas certain d'avoir bien compris comment déterminer l'impédance d'un circuit ; je fais des calculs lourds et aboutis à des résultats que je trouve curieux.
J'aimerais avoir vos avis et le cas échéant m'indiquer si je me trompe.

Voici l'énoncé.

Dans un circuit alimenté par un courant alternatif de pulsation , on associe en parallèle :

- une résistance R de 10

- une bobine d'inductance L, telle que L = 200

- un condensateur de capacité C, tel que \dfrac{1}{C\omega} = 120 \Omega.

Quelle est l'impédance du circuit ? On désigne par Zs l'impédance complexe correspondante.


J'applique la formule \dfrac{1}{Z_s} = \dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{i.L.\omega} + C.\omega i

est-ce la bonne formule ? si oui, ça me fait partir dans des calculs fastidieux, qui m'amènent à

Z_s = \dfrac{9000}{901} - \dfrac{300}{901}i, soit Z = \sqrt{\left(\dfrac{9000}{901}\right)^2 + \left(\dfrac{300}{901}\right)^2}.

Etes-vous d'accord ?

Je vous remercie par avance de prendre un peu de votre temps pour vérifier ces calculs.

Je serais agréablement surpris si le résultat était correct, mais j'ai des gros doutes...

Posté par
Marc35re : impedance d'un circuit RLC ; avec les nombres complexes. 24-10-12 à 22:01

Bonsoir,
Les calculs ne me semblent pas si "fastidieux"...
\Large \frac{1}{Z_s}\,=\,\frac{1}{R}\,+\,\frac{1}{iL\omega}\,+\,iC\omega
C'est la bonne formule...
\Large \frac{1}{Z_s}\,=\,\frac{1}{10}\,+\,\frac{1}{200i}\,+\,iC\omega
Et je suis d'accord avec le résultat...

Posté par
pppare : impedance d'un circuit RLC ; avec les nombres complexes. 24-10-12 à 23:05

Bonsoir Marc

merci d'avoir pris la peine de vérifier.

Pr l'application de la formule, j'avais dc posé : \Large \frac{1}{Z_s}\,=\,\frac{1}{10}\,+\,\frac{1}{200i}\,+\,\frac{i}{120}.

On a donc une impédance très proche de la valeur de la résistance ; c'est cohérent avec les données de l'exercice ?  A mon niveau, je ne parviens pas à avoir des ordres de grandeur sur ce type de montage.

Merci de me dire ce que tu en penses.

Posté par
Marc35re : impedance d'un circuit RLC ; avec les nombres complexes. 24-10-12 à 23:39

Oui
Un calcul approché peut nous permettre de le voir
\Large \frac{1}{Z_s}\,=\,\frac{1}{10}\,+\,\frac{1}{200i}\,+\,i\frac{1}{120}

\Large \frac{1}{Z_s}\,=\,\frac{1}{10}\,-\,i\frac{1}{200}\,+\,i\frac{1}{120}

\Large \frac{1}{Z_s}\,=\,\frac{1}{10}\,+\,i\left(\frac{1}{120}-\frac{1}{200}\right)

\Large \frac{1}{Z_s}\,\simeq\,0,1\,+\,i\left(0,00833-0,005\right)

\Large \frac{1}{Z_s}\,\simeq\,0,1\,+\,0,00333\,i

\Large Z_s\,\simeq\,\frac{0,1\,-\,0,00333\,i}{0,1^2+0,00333^2}\,\simeq\,\frac{0,1\,-\,0,00333\,i}{10^{-2}}

\large Z_s\,\simeq\,10\,-0,333i\,
Donc effectivement, on a une valeur très proche de la résistance.
C'est normal parce qu'on a 10 en parallèle sur 200 en parallèle sur 120 . Quand les impédances sont en parallèle, c'est la plus petite qui compte le plus donc, ici, la résistance.

Posté par
pppare : impedance d'un circuit RLC ; avec les nombres complexes. 25-10-12 à 00:16

Eh bien merci bcp pr ces explications très détaillées.

Citation :
Quand les impédances sont en parallèle, c'est la plus petite qui compte le plus donc, ici, la résistance.


Je l'ignorais.

Une chose que je trouve curieuse, c'est que, étant complètement d'accord avec tes calculs, et avec le résultat que j'avais trouvé et que tu as confirmé, on puisse alors comparer le nbre complexe
10 - 0.333 i avec le réel   \sqrt{\left(\dfrac{9000}{901}\right)^2 + \left(\dfrac{300}{901}\right)^2} \approx 9.989, et affirmer qu'ils sont proches ; ça voudrait dire que i 0.033  ; curieux non ? mais alors  pr i², on est très loin de -1.. Où est la faille ?

Sinon j'ai d'autres exercices ds lesquels les circuits sont scindés en deux portions :
- une dans laquelle on associe en parallèle la bobine et le condensateur,
- puis la résistance hors de la dérivation.

Il faut calculer la résistance équivalente du montage en dérivation, par la formule employée au début sans la partie \dfrac{1}{R}, puis additionner le résultat à la résistance R; c'est cela ?

Et y a-t-il une subtilité lorsque c'est la résistance R et la bobine L qui sont montées en parallèle, et que c'est le condensateur qui est en série après la dérivation ? Là il faut additionner la résistance équivalente de RL avec avec -\dfrac{1}{C\omega}i ?

Merci de me dire

Posté par
Marc35re : impedance d'un circuit RLC ; avec les nombres complexes. 25-10-12 à 12:14

Sans parler d'impédance mais simplement de résistance, si on met 10 en parallèle avec 100, la résistance équivalente est voisine de 10 donc la plus petite (en série, c'est la plus grande qui est prépondérante).

Tu mélanges joyeusement plusieurs choses...
10 - 0,333i est un nombre complexe (valeur approchée dans ce cas).
\sqrt{\left(\dfrac{9000}{901}\right)^2 + \left(\dfrac{300}{901}\right)^2} est le module d'un nombre complexe.
On ne peut donc pas comparer les deux. Ce n'est pas la même chose.
i est le nombre complexe tel que i2 = -1. En général, en physique, on le note j pour ne pas le confondre avec l'intensité (je suis persuadé que l'on aurait dû inventer un symbole spécial pour ce nombre "i" mais, maintenant, c'est trop tard...).

Pour les autres exercices, il n'y a pas de subtilité particulière...

Citation :
Il faut calculer l'impédance équivalente du montage en dérivation, par la formule employée au début sans la partie \dfrac{1}{R}, puis additionner le résultat à la résistance R; c'est cela ?

La bobine et le condensateur en parallèle :
\large \frac{1}{Z_{eq}}\,=\,\frac{1}{iL\omega}\,+\,iC\omega\,=\,-\,i\,\frac{1}{L\omega}\,+\,iC\omega\,=\,i\,\left(C\omega\,-\,\frac{1}{L\omega}\right)\,=\,i\,\frac{LC\omega^2-1}{L\omega}\,\Rightarrow\,Z_{eq}\,=\,\frac{L\omega}{i\left(LC\omega^2-1\right)}\,=\,i\,\frac{L\omega}{1-LC\omega^2}
En série avec la résistance R :
\large Z\,=\,R\,+\,i\,\frac{L\omega}{1-LC\omega^2}

Pour l'impédance équivalente à la bobine et au condensateur en parallèle, on peut aussi faire le produit sur la somme :
\large Z_{eq}\,=\,\frac{iL\omega\,\frac{1}{iC\omega}}{iL\omega\,+\,\frac{1}{iC\omega}}\,=\,\frac{\frac{L\omega}{C\omega}}{i\left(L\omega\,-\,\frac{1}{C\omega}\right)}\,=\,\frac{L\omega}{i\left(LC\omega^2\,-\,1\right)}\,=\,i\,\frac{L\omega}{1\,-\,LC\omega^2}

Pour R en parallèle sur L et le tout en série avec C, le principe est le même...
Z_{eq}  pour R en parallèle sur L et ensuite  Z_{eq}\,-\,\frac{i}{C\omega}

Posté par
Marc35re : impedance d'un circuit RLC ; avec les nombres complexes. 25-10-12 à 12:16

Ne mets pas résistance quand il s'agit d'une impédance

Citation :
il faut additionner la résistance équivalente de RL

Non... il faut dire : il faut additionner l'impédance équivalente de RL

Posté par
pppare : impedance d'un circuit RLC ; avec les nombres complexes. 25-10-12 à 12:17

Merci infiniment

Posté par
Marc35re : impedance d'un circuit RLC ; avec les nombres complexes. 25-10-12 à 12:24

Ce sera peut-être plus simple pour toi de t'arrêter plus tôt dans le calcul...
La bobine et le condensateur en parallèle :
\large \frac{1}{Z_{eq}}\,=\,\frac{1}{iL\omega}\,+\,iC\omega\,=\,-\,i\,\frac{1}{L\omega}\,+\,iC\omega\,=\,i\,\left(C\omega\,-\,\frac{1}{L\omega}\right)
En série avec la résistance R :
\large Z\,=\,R\,+\,\frac{1}{i\,\left(C\omega\,-\,\frac{1}{L\omega}\right)}\,=\,R\,+\,i\,\frac{1}{\frac{1}{L\omega}\,-\,C\omega}


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