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formules d'approximation

Posté par
honacisse 08-11-17 à 14:21

bonjour est ce que quelqu'un peut m'aider svp!! voici le sujet

L'intensité du champ de pesanteur terrestre en un point situé à une altitude z au dessus de la surface terrestre est donné par la relation g(z)=go /R²sur (R+z)²
g: intensité du champ de pesanteur terrestre à l'altitude z
go:intensité du champ de pesanteur au sol ( ou surface terrestre) z=0;go sensiblement égal à 10 m.s-²
R=6400 km rayon terrestre
z= altitude : distance au sol (en m)

Montrer qu'au voisinage du sol z<<R   g(z)  est sensiblement égal à Az + B ou A et D sont des constantes a déterminer.

Posté par
diracre : formules d'approximation 08-11-17 à 15:00

Hello

Commençons par un peu de mathématiques:

Tu te souviens de la définition de la dérivée:

f'(x) = \lim\limits_{\substack{h \rightarrow 0}}\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h) -(x)}

Cela veut dire que pour h suffisamment petit:

f'(x) \approx \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h) -(x)}

pour la valeur 0 de x cela donne:

f'(0) \approx \frac{f(0+h)-f(x)}{(0+h) -(0)}

Soir

f(h) \approx f(0) + h\times f'(0)

Dans ton exercice, ce qui est "petit" c'est le rapport z/R    

Donc:

1) tu écris g(z) comme une fonction de z/R,  appelons f cette fonction
2) tu calcules f(0) et f'(0)
3) Et tu retranscris ce que nous avons établis plus haut:

f(\frac{z}{R}) \approx f(0) + \frac{z}{R}\times f'(0)

A toi de jouer ...

  

Posté par
honacissere : formules d'approximation 08-11-17 à 15:23

mais pour g(z)=go /R²sur (R+z)² ....c'est pas ça que je voulais dire....seulement que je sais le taper sur le message😢😭

** image supprimée **

Posté par
diracre : formules d'approximation 08-11-17 à 15:41

ça j'avais bien compris

donc g(z) = g_0\times\frac{1}{R^2 + z^2}

Soit  g(z) = \frac{g_0}{R^2}\times \frac{1}{1 + (z/R)^2}

Tu continues  en suivant le raisonnement que je te proposais plus haut?

Posté par
diracre : formules d'approximation 08-11-17 à 15:43

Pardon, je me suis pris les pinceaux en recopiant des expressions latex:

g(z) = g_0\times\frac{R^2}{R^2 + z^2}

Soit g(z) = g_0\times \frac{1}{1 + (z/R)^2}

A toi?

Posté par
honacissere : formules d'approximation 08-11-17 à 15:47

OK merci infiniment 😊😊 de votre réponse!

Posté par
honacissere : formules d'approximation 08-11-17 à 16:03

Et je voulais juste demander pourquoi R=1  alors que dans l'énoncé c'est 6400km?🤔

Posté par
diracre : formules d'approximation 08-11-17 à 16:15

Où as tu lu R = 1 ???

Et finalement, tu trouves quoi pour A et B? Tu ne t'imagines pas que l'on va te laisser repartir sans s'être assuré que tu trouves le bon résultat  

Posté par
honacissere : formules d'approximation 08-11-17 à 16:19

Donc g(z)= 10puissance -2 * 1 sur 1 + (0/6400) au carré?

Posté par
honacissere : formules d'approximation 08-11-17 à 16:24

Ça??svp

** image supprimée **

Posté par
diracre : formules d'approximation 08-11-17 à 16:36

Bon, on reprend, j'ai écrit quelques âneries  de mon côté  

g(z) = g_0\times\frac{R^2}{(R + z)^2}     (et non pas R2 + z2, étourdi que je suis )

Soit en factorisant par R2 au dénominateur:

g(z) = g_0\times \frac{R^2}{R^2(1 + z/R)^2}  

On simplifie:

g(z) = g_0\times \frac{1}{(1 + z/R)^2}     avec  z<<R

Posons  x =\frac{z}{R}  g(z) s'écrit alors comme une fonction f de x:

f(x) = g_0\times\frac{1}{(1 + x)^2}    avec x << 1  (x tout petit donc)

En reprenant la considération sur la dérivée de tout à l'heure:

f(x) = f(0) + x\times f'(0)

f(x) = g_0\times\frac{1}{(1 + x)^2}    donc   f'(x)=g_0\times\frac{-2(1+x)}{(1 + x^2)^3}

Posté par
diracre : formules d'approximation 08-11-17 à 16:42

Zut j'ai appuyé sur poster au lieu de aperçu

Je poursuis:

f(0) = g_0   et    f'(0) = -2g_0

Donc  f(x) = f(0) + x\times f'(0)  = g_0 - 2g_0\times x

Or f(x) = f(\frac{z}{R}) = g(z)

Donc g(z) = g_0(1 - 2\frac{z}{R})

On a bon?  

Si je t'ai embrouillé avec mon étourderie initiale, je remets tou au propre en une seul fois


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