Bonsoir.

Epp=mgh est l'énergie potentielle associée à la pesanteur et est totalement indépendante d'éventuelles forces de pression.

La pression est associée à une force F vérifiant : dF=PdS, donc en supposant que la pression est uniformément de 5 bar, et que l'on note S la surface du bouchon en bas, alors la force exercée vaut PS, orientée dans le sens vertical ascendant.
Il ne faut pas oublier non plus la pression atmosphérique de 1 bar exercée sur le haut du bouchon.
À cela on ajoute le poids, la poussée d'archimède et éventuellement la force de frottement de l'air.

Merci pour votre réponse si rapide,
Donc pour résoudre le problème de la bouteille vous effectueriez un bilan des forces exercées sur le bouchon puis grâce à Newton en déduirait l'accélération du bouchon en fonction du temps. Si je ne me trompe pas, il faudrait ensuite prendre en compte les frottements de l'air pour déterminer la hauteur à laquelle l'accélération deviendrait nulle, hauteur qui serait donc la hauteur maximale du bouchon. C'est bien cela ?

Une accélération nulle ne correspond pas nécessairement à une hauteur maximale.
La hauteur maximale, dans ce cas-là, correspond à une vitesse nulle.

Oui pardon ^^ petite faute inattention...

J'ai un peu écrit depuis mais je me trouve encore confronté à un autre problème : je trouve une accélération de 280m.s-² ce qui est énorme et implique des forces de frottements de l'air très importante sachant que le bouchon ne vole jamais à plus de 10m. Pourriez vous me dire si je me suis trompé ?

Voilà ce que j'ai fait (j'ai ajouté quelques chiffres significatifs) :

Soit S la surface du bouchon : S=7.00 cm²
On étudie le système {bouchon}, assimilé à un point, dans le référentiel terrestre supposée galiléen.
On suppose que la bouteille est posée sur un sol « plat ».
On se place au moment où le bouchon n'a pas encore sauté, on néglige donc les frottements de l'air.
De plus on peut négliger la poussée d'Archimède.

Bilan des forces :
- le poids d'intensité P=mg=10.0*9.81=9.81x10^(-2) N et orienté vers le centre de la Terre
- la pression d'intensité F=PxS=4.00x10^5 x 7.00x10^(-4)=280 N et orienté vers le haut

D'après la 2e loi de Newton : vecteur(a)=vecteur(P) + vecteur(F)
Soit l'axe vertical suivant : (origine : bouchon à t(0), sens : vers le haut)
Les forces vecteur(P) et vecteur (F) n'ont pas de composante horizontale.
On obtient donc : a= F-P = 2.80x10^4 - 9.81x10^(-2) = 280 m.s-²

Juste pour chercher la petite bête, il est curieux de parler de la surface d'un bouchon qui est pourtant assimilé à un point matériel.

Une question se pose alors : Si le bouchon est assimilé à un point, comment calcule-t-on la force de pression qui s'exerce en réalité sur sa surface ? Eh bien on peut dire qu'on imagine directement une force d'intensité 280 N s'exerçant sur le bouchon. Physiquement, on ment, mais mathématiquement les calculs seront identiques, et surtout ça évite de parler de la surface d'un point.

Je n'ai pas vérifié les valeurs numériques, mais cela n'est pas si aberrant que ça. Une accélération de 280 m/s² ce n'est jamais que 28 fois l'accélération de la pesanteur, donc l'ordre de grandeur n'est pas choquant.
Après c'est vrai que 280 c'est quand même étonnant, mais bon il faut dire qu'on oublie des facteurs assez important, notamment la force de frottement de l'air qui mine de rien joue un rôle non négligeable en fait.
Et puis on imagine bien qu'une fois que le bouchon a quitté la bouteille, la pression s'exerçant en dessous n'est plus de 5 bars, mais décroît rapidement vers 1 bar.

Bref, l'important c'est que le raisonnement est bon : appliquer la deuxième loin de Newton pour connaître l'expression de l'accélération, c'est-à-dire z'' si on note (Oz) l'axe vertical ascendant, et donc en déduire la vitesse z' et notamment en déduire la hauteur maximale qui correspond à z'=0. C'est ce qu'on demande à un élève de terminale, et pour traiter de manière réalise ce problème qui est faussement simple, il faut attendre d'être dans le supérieur et étudier la mécanique des fluides et les forces de pression plus en détail.

Oui j'avais remarqué le coup de la surface d'un point mais par habitude de rédaction... ^^
En tout cas merci beaucoup pour toutes vos réponses, je n'avais réalisé que la force exercé sur le bouchon décroissait rapidement à 1 bar et c'est pour cela que je trouvais cela étonnamment grand, c'est vrai qu'en prenant en compte le fait que cette force ne s'exerce que pendant une fraction de seconde et les frottements de l'air cela n'est plus si aberrant.
En réalité ce n'est pas du tout un exercice, je m'étais mis dans la tête de fabriquer un dispositif pour propulser un engin suite à une surpression et je souhaitai faire quelques calculs avant afin de déterminer la quantité de gaz que je devais produire ; j'avais pris l'exemple de la bouteille de champagne pour être plus clair. Mais bon puisqu'il faut à priori attendre le supérieur je vais devoir me résoudre à faire de l'empirique.
En tout cas merci beaucoup pour le temps que vous m'avez consacré.

Bonne soirée (plutôt bonne nuit d'ailleurs)
Jean

Ce n'est pas en connaissant l'accélération au "démarrage" qu'on pourra en déduire quoi que ce soit sur la vitesse ou la hauteur atteinte.
Pour pouvoir le faire, il faudrait connaître l'accélération en fonction du temps.

En se mettant dans un cas "parfait", c'est à dire par exemple si on entourait la sortie de la bouteille par un cylindre obligeant le gaz à ne servir qu'à pousser le bouchon et pas filer vers ailleurs ... mais sans que ce cylindre ne freine le bouchon, on aurait à peu près ceci :

Soit V le volume de gaz, S la section du bouchon, x la distance parcourue par le bouchon (verticale vers le haut) , (Vo le volume de gaz pour x = 0 et Po la pression du gaz pour x = 0)

V(x) = Vo + S.x

PV = nRt
En supposant que T est constant pendant l'expérience, on aurait : PV = Cte

P(x) = Po.Vo/V(x)
P(x) = Po.Vo/(Vo + S.x)
La résultante des forces sur le bouchon est alors : F = (P(x) - Patmos)*S - mg
F = [Po.Vo/(Vo + S.x) - Patmos]*S - mg

Et donc (hors perte par frottement) : [Po.Vo/(Vo + S.x) - Patmos]*S - mg = m.d²x/dt²

C'est l'équation du mouvement du bouchon pour x dans [0 ; (Po.Vo/Patmos - Vo)/S]

Exemple numérique :
Po = 5.10^5 Pa
Patmos = 10^5 Pa
S = 7,5 cm² (7,5.10^-4 m²)
m = 10 g
Vo = 25 cm³ (25.10^-6 m³)

On trouve, sauf erreur que pour t1 = 4 ms (environ), x(t1) = 13,3 cm et v(t1) = 47 m/s, c'est à cet endroit et instant que P(x) = Patmos

Pour le reste, on peut faire : (1/2).m.V1² = m.g.delta h ---> delta h = 47²/2*10 = 110,5 m

Donc h totale atteinte par le bouchon : 0,13 + 110,5 = 110,6 m
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Il va sans dire qu'un bouchon de champagne n'atteindra pas du tout une telle hauteur pour plusieurs raisons, parmi lesquelles :

- Les conditions (voir début avec cylindre) du calculs ne sont jamais rencontrées, une grande partie du gaz file vers l'extérieur sans pousser sur le bouchon. (on peut essayer un modèle mathématique à penser pour tenir compte de cet effet prépondérant ... mais ce n'est pas de la petite bière).

- Les frottements air-bouchon n'ont pas un effet négligeable.
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Dans des cas concrets pratiques, on ne peut évidemment pas négliger les 2 effets ci-dessus, on "sent" bien qu'ils font diminuer la "vraie" hauteur de quasi un facteur 10.

Sauf distraction ... ou erreur(s)

Merci pour votre réponse, j'ai à peu près compris mais j'aurais juste deux questions :
- V est le volume de gaz... mais où ? Dans la bouteille ?
- l'égalité V(x)=Vo + Sx, elle sort d'où ? Je me souviens pas l'avoir vu en Terminale, c'est une formule de sup ?
En tout cas merci pour votre réponse

V est le volume de gaz ...
Mais cela ne suppose pas que la bouteille soit initialement remplie de gaz.

Vo est le volume de gaz (qui peut être de l'air) dans la bouteille en x = 0.
Mais il peut y avoir aussi un volume de liquide dans la bouteille ... qui n'entre pas dans le calcul.

Exemple, dans une bouteille de 775 cm³, au départ, il peut y avoir 750 cm³ de liquide et 25 cm³ de gaz.
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Remarque :
Tenir compte qu'une grande partie du gaz file vers l'extérieur sans pousser sur le bouchon est difficile.

Par contre, estimer l'effet du frottement air-bouchon n'est pas très difficile, cela introduit dans l'équation un terme f = k.v² qui s'oppose au mouvement.

k peut être estimé par k = (1/2).Rho(air) * S * Cx, soit à peut près k = 4.10^-4 (SI) dans l'exemple numérique.

L'équation différentielle à résoudre devient alors :

[Po.Vo/(Vo + S.x) - Patmos]*S - mg - k.(dx/dt)² = m.d²x/dt²  

...

Lire "à peu près" évidemment.

Il va sans dire qu'il faut aussi tenir compte de la force de frottement f lorsque x > 13,3 cm

Ah oui je viens de comprendre pour l'équation mais en fait ce n'est valable que lorsque le bouchon est encore en contact avec la bouteille si je ne me trompe pas, sinon cela n'a plus de sens.

Ok jusqu'à l'équation différentielle j'ai compris mais il y a quelque chose qui me gêne depuis le début. Vous dites que pour x=13,3cm alors P(x)=Patmos mais ca me parait complètement irréaliste. Si j'ai bien compris jusque là, au moment où le bouchon n'est plus en contact avec la bouteille (soit environ x=2,0cm) la pression de la bouteille s'équilibre avec celle de l'atmosphère ce qui donne P(x)=Patmos et par la suite pour tout x >= 2cm, P(x)=Patmos.
Et donc à partir de x=2,0 cm l'équation différentielle devient :
- mg - k.(dx/dt)² = m.d²x/dt²

Cela montre bien que dès que le bouchon est sorti de la bouteille, son accélération est orienté vers le bas et donc sa vitesse (orienté vers le haut) va ralentir et devenir nulle à la hauteur maximale.
Pouvez-vous me dire si je me trompe dans mon raisonnement ?  

Salut Jean4568,  quelle prépa fais tu?