Exercice 3 Arc en ciel
Le phénomène de l'arc-en-ciel est basé sur les lois de Descartes régissant les réflexions et réfractions de la lumière. Il n'est visible que lorsqu'un rideau de pluie (naturel ou artificiel) est éclairé et que l'observateur regarde ce rideau en tournant le dos à la source lumineuse.
On se reportera à la figure 1 pour localiser les diverses notations de l'exercice.
Un rayon lumineux entre en E dans une goutte d'eau sphérique avec une incidence i: il subit une réfraction. Au point R. il subit une réflexion. Il ressort finalement de la goutte au point S.
L'indice de réfraction de l'air est nair=1 et celui de l'eau est noté neau. Sa valeur dépend de la longueur d'onde de la lumière.

1. On cherche à déterminer l'expression de la déviation D en fonction de l'angle d'incidence i et de l'angle a (a dépend de l'indice optique de l'eau et sera déterminé à l'aide de la relation de Descartes).

En considérant le triangle OEF, déterminer la relation entre les angles i, b et g, puis la relation entre les angles i, b et D.
En considérant le triangle OER, déterminer la relation entre les angles a et b.
En appliquant la loi de la réfraction, donner l'expression de l'angle a en fonction de l'angle d'incidence i et de l'indice optique neau de l'eau.
Rassembler les résultats des questions précédentes et donner l'expression de l'angle de déviation D en fonction de l'angle d'incidence i et de l'angle a.
2. La lumière blanche émise par le Soleil est en fait composée de nombreuses couleurs.

Comment qualifie-t-on ce type de rayonnement?
On donne la fréquence n et vitesse v de propagation dans l'eau de deux de ces couleurs:
Rayonnement
A
B

Fréquence n (Hz)
7,50.1014
3,80.1014

Vitesse de propagation v (m.s-1)
2,23.108
2,25.108


Déterminer les longueurs d'onde des rayonnements A et B dans le. vide. On rappelle la valeur de la célérité de la lumière dans le vide: c=3,00.108m.s-1. Donner les couleurs de ces deux rayonnements.

Les fréquences des rayonnements changent-elles lorsque le rayon lumineux pénètre dans la goutte d'eau? Qu'en est-il des longueurs d'onde?
Calculer les indices de réfraction nA et nB de l'eau respectivement pour les rayonnements A et B. Comment qualifie-t-on un milieu tel que l'eau?
3. La goutte est maintenant éclairée par un large pinceau de lumière (émis par le soleil, par exemple). La goutte est alors touchée par une multitude de rayons entrant avec des angles d'incidence différents. L'intensité lumineuse maximale est observée dans la direction de la déviation minimale qui correspond, on l'admettra, à une incidence de 60,0°.
Calculer la déviation minimale d'un rayon constitué d'un rayonnement A. Même question pour un rayon constitué d'un rayonnement B. Conclure.

4. Lorsqu'un rideau de pluie est éclairé par le soleil, un observateur peut voir toutes les couleurs de l'arc-en-ciel. Ce ne sont donc pas les mêmes gouttes qui produisent toutes les couleurs.
L'observateur est situé à 1,00km du rideau de pluie (figure 2). A quelle altitude est située la goutte qui produit le rayonnement A de l'arc-en-ciel ? Même question pour le rayonnent B. On négligera la taille de l'observateur devant l'altitude des gouttes considérées.



5. Que se passe-t-il lorsque l'observateur se rapproche de l'arc-en-ciel?