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Etablir l'équation des oscillations d'un circuit (L;C) idéal
Bonjour!
J'ai beaucoup de mal à faire cet exercice, bien qu'il y ai la correction dans mon livre, je ne la comprends pas. Si vous pouvez m'aider, me l'expliquer ou me donner une autre méthode, ce sera bienvenu!
Enoncé:
1.Exprimer l'équation différentielle régissant l'évolution, au cours du temps, de la charge q d'un condensateur lors des oscillations d'un circuit (L;C) série idéal.
2.Montrer que l'équation q(t)=qm.cos(2
/To .t) est une solution de cette équation différentielle si To=2
LC
3. Déduire de l'équation proposée les conditions initiales, c'est à dire les valeurs de la charge du condensateur, de la tension aux bornes du condensateur et de l'intensité du courant à l'instant initial correspondant au début des oscillations.
Voici ce que j'ai fait, et ce n'est pas très brillant:
1. Je crois que j'ai réussi. Je trouve (d²q/dt²)+(q/LC)=0
2. J'ai essayé de remplacer dans l'expression que j'ai trouvé mais...je n'y arrive pas. La correction indique: En dérivant 2fois la solution proposée, on obtient q(t)+(4²/To²) x q(t)=0
3. Je ne sais pas comment faire non plus.
Merci de votre aide!!
Ok d'accord. Maintenant, essayons de dériver une seconde fois:
d²q/dt²= d(-qmsin(2/To t) /dt = -qm cos (2/To t)
C'est ça?
Comment je fais maintenant pour vérifier que q(t)=qmcos(2/To xt) est solution de l'équation si To=2LC
aïe tu avais presque réussi la première fois et là tu me fais n'importe quoi !
donc on a : dq/dt = -qm(2/To) sin(2/To.t)
donc on redérive : d²q/dt² = -qm(2/To)² cos(2/To.t)
on a donc : -qm(2/To)² cos(2/To.t) + 1/LC qm.cos(2/To.t) = 0
en simplifiant par ce qui peut l'être, on trouve :
(2/To)² = 1/LC
ce qui donne To = 2LC
Ah oui,merci,j'ai compris mon erreur! Par contre,je n'arrive pas à isoler To en simplifiant.Mais je vais encore chercher.Pour les conditions initiales,je comprends que q=qm et i=0 mais je ne vois pas cmt le déduire des résultats précédents!
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