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équation différentielle circuit L,C
Bonjour tout le monde,
J-P, je profite vite de ta présence sur le forum 
J'aimerais connaître la démonstration mathématique qui permet de trouver la solution de l'équation différentielle q''+ q/LC= 0. Est ce que J-P ou quelqu'un d'autre a le courage de se lancer?
q'' + q/LC = 0
p² + 1/LC = 0
p = +/- V(1/(LC)) (avec V pour racine carrée).
q = A.sin(t/V(LC)) + B.cos(t/V(LC))
A et B sont des constantes à déterminer à partir des conditions initiales.
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Bonjour,
En transformée de Laplace, on a
Mais à quoi est égal ?
J'ai pensais faire le rapprochement avec la fonction de Dirac définie comme suit :
Ainsi peut on écrire ?
Auquel cas, on a sur
?
Hum ?
Non soucou, ce n'est pas correct.
Tu as trouvé une solution (et encore, seulement si ta cste = 0)
mais pas toutes les solutions possibles.
Une équation différentielle d'ordre 2 à en général des solutions acontenant 2 constantes indépendantes.
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Je reprends mes solutions et montre que c'est correct:
q = A.sin(t/V(LC)) + B.cos(t/V(LC))
q' = [A/V(LC)].cos(t/V(LC)) - B/V(LV)].sin(t/V(LC))
q'' = -(A/(LC))sin(t/V(LC)) - (B/(LC)).cos(t/V(LC))
Et on a bien alors: q'' + q/LC = 0 et ceci quel que soient les valeurs des constantes A et B.
Celles-ci sont en général déterminées par les conditions particulières.
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Si je reprends ta solution:
q = +/- V(LC).sin(t/V(LC)) + cste
q' = +/- cos(t/V(LC))
q'' = -/+ (1/V(LC)).sin(t/V(LC))
--> l'éq de départ donne:
q'' + q/LC = 0
-/+ (1/V(LC)).sin(t/V(LC)) +/- (1/V(LC)).sin(t/V(LC)) + cste = 0
Et cela n'est correct que si la cste = 0 (comme je te l'avais annoncé plus haut).
Donc ta solution devient: q = +/- V(LC).sin(t/V(LC))
Et si je veux imposer q(o) = Q(0) (différent de 0), c'est impossible. (Tout simplement parce que tu n'as pas trouvé toutes les solutions possibles de l'équation différentielle).
Dans les solutions que j'ai donnée, pas de problème, cela détermine la constante B. (B = Qo)
A est déterminé par une seconde contrainte dépendant du problème posé.
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Merci J-P,
Tu as trouvé une solution (et encore, seulement si ta cste = 0)
Ouf, ça me rassure... C'est déjà pas mal.
C'est vrai j'avoue ne pas maitrisé entièrement la transformée de Laplace,
Pourtant, si , on a en appliquant la transformée inverse
qui est de la forme
Bon, je vais déjà voir ce que je web propose... Juste pour infos, cette équation différentielle figure dans mon livre de maths (terminale STI) sous une forme quelque peu différente (). j'avais regardé leur méthode de calcul.
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