Je ne vais probablement pas te répondre de manière satisfaisante mais tant pis.

Une énergie potentielle est en général définie à une constante près, cette constante peut être définie en imposant la condition pour laquelle on considère l'énergie potentielle nulle.

Exemple :
Dans le cas d'une énergie potentielle de pesanteur (pas le cas ici), on peut définir différents niveaux de référence pour les énergies potentielles de pesanteur nulles.
On peut par exemple ckoisir, le niveau du Sol pour cette référence, mais on peut aussi choisir le niveau d'une table ou bien même rejeter la référence à l'infini (ce qu'on fait en général pour les calculs de lancer d'engins spatiaux)...
Peu importe la référence choisie, puisque en général ce qui intéresse est la différence d'énergie potentielle lorsque l'objet passe d'un point à un autre ... Et cette différence ne dépend pas alors du point choisi comme référence.

Donc, on choisit une référence pour les énergies potentielles de pesanteur nulles facile à manipuler dans le problème posé, mais une fois cette référence choisie on la conserve évidemment tout au long du problème.
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Revenons à nos moutons:

Ici, il s'agit d'énergie potentielle élastique mais le problème est similaire, il faut choisir une référence pour les énergies potentielles élastiques nulles et si on veut étudier un système avec plusieurs ressorts, on a vraiment intérêt à prendre le même point de référence pour tous les ressorts du système, sous peine de risquer de se mettre le doigt dans l'oeil dans les réflexions.

... Et c'est là que le bat blesse, on a bien 2 ressorts, mais on impose par l'énoncé des références différentes pour les énergies potentielles élastiques nulles pour les 2 ressorts puisque la référence pour chaque ressort est prise lorsque chacun des ressorts est à sa longueur Lo. Mais le hic c'est que cela correspond à des positions différentes de la masse m alors qu'on essaie d'étudier un système avec les 2 ressorts et la masse.

Je ne prétends pas que cela ne puisse pas se faire, mais je pense que ce n'est pas très futé et risque pour le moins d'engendrer de mauvaises interprétations.

Il aurait été bien plus judicieux de choisir une unique position de la masse, celle par exemple de la masse à son point de repos et de calculer les énergies potentielles d'élasticité à partir de cette position comme référence d'énergie potentielle élastique du système nulle.
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Cela aurait alors donné ceci (mais qui ne correspond pas à ta question).

A l'équilibre , le ressort R1(celui de gauche) tire sur la bille avec une force F1 dans le sens positif de l'axe des abscisses (x')
On a donc : F1 = k1.(L1-L0)

A l'équilibre , le ressort R2(celui de droite) tire sur la bille avec une force F2 dans le sens négatif de l'axe des abscisses (x')
On a donc : F2 = -k2.(L2-L0)

La résultante des forces sur la bille est F = F1 + F2
F = k1.(L1-L0) - k2.(L2-L0)
Et comme on est à l'équilibre F = 0
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Si la bille se déplace d'une longueur x, le ressort 1 a alors une longueur L1-L0-x
La force qu'il exerce sur la bille est F'1 = k1.(L1-L0-x)

Le ressort 2 a alors une longueur L2-L0+x
La force qu'il exerce sur la bille est F'2 = -k2.(L2-L0+x)

La résultante des forces sur la bille est F' = F'1 + F'2
F' = k1.(L1-L0-x) -k2.(L2-L0+x)
F' = k1.(L1-L0) - k2.(L2-L0) - (k1+k2).x
Mais on sait que k1.(L1-L0) - k2.(L2-L0) = 0
--> F' = - (k1+k2).x

Cela se comporte donc comme si sur la bille agissait une force d'un ressort de constante (k1+k2) dont la longueur aurait varié de la longueur x.

L'energie potentielle élastique est donc E = (1/2).(k1+k2).x²
Si on prend le système avec la position de repos de la masse comme 0 de l'énergie potentielle élastique.

Même si cela n'est pas indispensable de faire ainsi, c'est bien plus "parlant", en effet, si la masse est maintenue dans sa position de repos (x = 0) et qu'on la lache, rien ne se passe (tout reste à l'arrêt) et cela correspond à une énergie élastiue du système nulle ... donc facile à "sentir".
Et si on écarte la masse d'une distance x de sa position de repos, l'énergie potentielle élastique du système n'est plus nulle et en lachant la masse elle va se mettre en mouvement (ce qui est facile à comprendre puisque le système a alors de l'énergie potentielle élastique)
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Peut-être cela est-ce trop simple ainsi, ou alors "Pourquoi faire simple quand on peut faible compliqué ?"...

Mais cela ne t'aide pas dans ta question.

Sauf distraction  

Merci pour l'explication, mais comme l'avez vous dit, ça n'aide pas dans la question.
Ce que j'aurais aimé savoir si c'est l'expression que j'ai donnée ( selon ce que j'ai compris du cours ) est justes ou fausse c'est tout. Parce que le reste de l'exercice porte sur cette question, et je ne crois pas vraiment au corrigé.

Les ressorts sont en parallèles ou en série?
A mon avis en série les delta sont relatifs a la position de départ (équilibre). Donc quand on tire tout les points du système se déplacent de x. Donc le signe + pour tout les 2 ressorts.

Merci bamboum sauf que ça reste ambigu un peu. je ne vois pas pourquoi le signe + pour les deux même si les deux ressorts sont en série et opposés l'un à l'autre

Je continue à penser que l'énoncé est malsain écrit tel quel pour les raisons que j'ai énoncées dans ma réponse précédente.

Mais soit :
Si on laisse la masse à sa position d'équilibre (x = 0), les 2 formules (la tienne et celle du corrigé) donnent toutes deux :
Eelastique1 = (1/2).k1.(Delta L1)² + (1/2).k2.(Delta L2)²

1° En prenant la formule du corrigé :

Si on bouge le masse de x :
Eelastique2 = (1/2).k1.(Delta L1 + x)² + (1/2).k2.(Delta L2 + x)²

Eelastique2 - Eelastique1 = (1/2).k1.(x² + 2.x.Delta L1) + (1/2).k2.(x² + 2.x.Delta L2)
Eelastique2 - Eelastique1 = (1/2).(k1+k2).x² + x.(k1.Delta L1 + k2.Delta L2)

Cette différence d'énergie élastique devrait être indépendante de la référence choisie pour les énergies élastiques nulles. et donc le terme (k1.Delta L1 + k2.Delta L2) devrait être nul, ce qui n'est pas le cas et donc pour moi, c'est faux. (Sauf remarque sur les signes des Delta L1 et Delta L2 faite plus loin).
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2° En prenant ta formule:

Eelastique2 = (1/2).k1.(Delta L1 + x)² + (1/2).k2.(Delta L2 - x)²

Eelastique2 - Eelastique1 = (1/2).k1.(x² + 2.x.Delta L1) + (1/2).k2.(x² - 2.x.Delta L2)
Eelastique2 - Eelastique1 = (1/2).(k1+k2).x² + x.(k1.Delta L1 - k2.Delta L2)

Comme les ressort sont étiré tous les 2 au repos par une même force, on a k1.Delta L1 - k2.Delta L2 = 0 t donc :
Eelastique2 - Eelastique1 = (1/2).(k1+k2).x²

Cette différence d'énergie élastique est indépendante de la référence choisie pour les énergies élastiques nulles et c'est donc plus plausible.
(On retrouve d'ailleurs ainsi ce qui é été trouvé dans ma réponse initiale en choisissant le point de repos comme référence pour les énergies élastiques du système nulle)

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tout reste sujet à discussion, car on ne sait pas si Les Delta L1 et Delta L2 sont considérés comme tous les 2 positifs puisque les ressorts sont tous les 2 étirés avec le système au repos (convention habituelle pour les ressorts) ou bien si les Delta L1 et Delta L2 sont "signés" en tenant compte d'un sens positif imposés par le sens choisi de l'axe des abscisses.
Si c'est le cas (delta L signés), alors Delta L1 et Delta L2 sont de signes contraires et c'est la formule du corrigé qui alors serait correcte.

Bref, si on ne connait pas les conventions de signes qui ont été choisies pour les Delta L1 et Delta L2 on ne peut pas décider quelles est la formule (la tienne ou celle du corrigé) qu'il faut prendre en considération.

Ce problème n'existe évidemment pas en prenant un point "malin" comme référence pour les énergies élastiques du système nulles (Donc le système dans sa position de repos).

... Ou alors je me plante du tout au tout ... Ce qui est bien possible.

Salut J-P,
Moi aussi je trouve que l'énoncé est malsain écrit. mais une chose est sûre; la formule du corrigé est fausse.
Je vois les choses plus clairement maintenant. Merci