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[Electricité] Résolution équation différentielle second ordre

Posté par
infophile 24-01-07 à 17:42

Bonjour

En électricité on étudie l'équation différentielle du second ordre suivante :

4$ \frac{q}{C}+(R+r)q'+Lq''=0 avec C, R, r et L des constantes.

Sauf qu'on se place dans les conditions idéales c'est à dire qu'on impose \red (R+r)=0.

Si on ne fait pas cette hypothèse comment doit-on s'y prendre pour résoudre cette équation ?

Merci

Posté par
J-Pre : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord 24-01-07 à 18:04

Appelons R+r = R' pour faciliter l'écriture.

p²L + R'p + 1/c = 0
p²LC + R'C.p + 1 = 0

p = (-R'C +/- V(R'²C²-4LC))/(2LC)

1°) si (R'²C²-4LC) < 0

p = -(R'/(2L)) +/- i.(V(4LC - R'²C²))/(2LC)

q = e^(-(R'/(2L))t) * [A(sin(((V(4LC - R'²C²))/(2LC)).t) + B.cos(((V(4LC - R'²C²))/(2LC)).t)]

A et B étant des constantes réelles dépendant des conditions initiales.
-----
2°)
Si  (R'²C²-4LC) > 0

q = A.e^(((-R'C + V(R'²C²-4LC))/(2LC)).t) + B.A.e^(((-R'C - V(R'²C²-4LC))/(2LC)).t)
A et B étant des constantes réelles dépendant des conditions initiales.
-----
3°)

Si (R'²C²-4LC) = 0

q = A.e^(-(R'/(2L))t) + B.t.e^(-(R'/(2L))t)
A et B étant des constantes réelles dépendant des conditions initiales.
-----
Sauf distraction.  

Posté par
alexcre : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord 24-01-07 à 18:10

bonjour
la résolution de ce type d'équation différentielle n'est plus au programme de terminale!!
néanmoins voici la méthode:
soit une équation différentielle de 2ème ordre du type y''+ay'+by=o qui a pour équation caractéristique r²+ar+b=0 de discriminant
* si >0: f(x)= e(r1.x)+e(r2.x)  ou r1 et r2 sont les racines de l'équation caractéristique
* si =0: f(x)=(x+)e(r.x)  où r est la racine double de l'équation caractéristique
* si <0: f(x)= (cosx+sinx)e(x)  où r1=+i et r2=-i


et sont des constantes à déterminer a l'aide des conditions de l'exercice

J'espère avoir répondu à ta question

Posté par
infophilere : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord 24-01-07 à 18:13

Bonsoir J-P

On introduit p mais que représente-t-il ? Je ne vois pas d'où il vient.

Merci encore une fois de te soucier de mes problèmes

Posté par
infophilere : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord 24-01-07 à 18:14

Ok donc le p viendrait de l'équation caractéristique d'après alexc, mais je relance ma question : elle sort d'où ?

Posté par
infophilere : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord 24-01-07 à 19:35

Up

Posté par
infophilere : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord 24-01-07 à 20:42

Up

Posté par
J-Pre : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord 25-01-07 à 09:56

alexc a appelé "r" ce que j'ai appelé "p"

Peut-être une modification des conventions ?

Pour moi, et dans de nombreux ouvrages on note p, mais c'est sans importance.

Posté par
1 Schumi 1re : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord 25-01-07 à 12:55

L'équation caractéristique c'est ce qu'on utilise pour résoudre les équadiffs d'ordre 2 (ou plus) quand il n'y a pas de second membre et que les coefficients sont constants( ce qui est le cas ici)
Voici la méthode générale :

On considère l'équation différentielle du second ordre suivante :
\textrm \large y''+ay'+by=0 (E).
Soit (e) l'équation caractéristique de (E):
\textrm \large x^2+ax+b=0 (e).

Démontrons la propriété suivante.
Soit f une fonction définie sur \textrm \large \mathbb{R}, mais à valeur dans \textrm \large \mathbb{C}, de la forme \textrm \large f(x)=e^{\lambda x}, avec \textrm \large \lambda \in \mathbb{C}.
\textrm \large f solution de (E) \Longleftrightarrow \lambda \hspace ssolution de (e).
En effet, on a :
\textrm \large f solution de (E) \Longleftrightarrow f''(x)+af'(x)+bf(x)=0
\textrm \large \Longleftrightarrow \lambda^2e^{\lambda x}+a\lambda e^{\lambda x}+be^{\lambda x}=0
\textrm \large \Longleftrightarrow e^{\lambda x}(\lambda^2+ a\lambda+b)=0
\textrm \large \Longleftrightarrow (\lambda^2+ a\lambda+b)=0 car \textrm \large e^{\lambda x}\neq 0
\textrm \large \Longleftrightarrow \lambda \hspace ssolution de (e).

On admettra celle qui suit (en fait, c'est démontrable à notre niveau, mais c'est vachement long, et très très technique, donc j'admets, mais si tu veux ...):
Soit \textrm \large f_1 et \textrm \large f_2 deux solutions distinctes et linéairement indépendantes de (E) sur un intervalle (non réduit à un point) I. Alors, les solutions de (E) sur I sont l'ensemble des fonctions de la forme \textrm \large Af_1+Bf_2
avec \textrm \large (A,B)\in\mathbb{R}^2.

Une fois qu'on a fait cela, on peut s'attaquer au reste.


1) (e) admet deux solutions réelles distinctes \textrm \large r_1 et \textrm \large r_2.

D'après la propriété du dessus, on connaît deux solutions de (E).
Ce sont les fonctions \textrm \large h_1 et \textrm \large h_2, avec \textrm \large h_1(x)=e^{r_1 x} et \textrm \large h_2=e^{r_2 x}.
D'après la propriété admise, l'ensemble des fonctions {f} solutions de (E) sur \textrm \large \mathbb{R} sont les fonctions de la forme:


\fbox{\textrm \blue \large f(x)=Ae^{r_1x}+Be^{r_2x}, (A,B)\in\mathbb{R}^2}.

Les constantes A et B étant déterminées grâce aux conditions initiales (tout comme pour les équadiffs du premier ordre)


2) (e) admet une solution double \textrm \large r.

Dans ce cas, on connaît une solution de (E). C'est la fonction définie sur I par \textrm \large h_1(x)=e^{rx}.
C'est déjà bien, sauf que c'est insuffisant pour conclure.
Dans ce cas, deux solutions : soit on fait comme pour les equadiffs du premier ordre, càd qu'on prend une fonction  quelconque solution de (E), et puis on déballe tout.

Soit, on prend la méthode courte.
En effet, on remarque () que la fonction \textrm \large h_2(x)=xe^{rx} est solution aussi de (E).
On a donc bien nos deux solutions \textrm \large h_1 et \textrm \large h_2.

On peut donc conclure que l'ensemble des fonctions {f} solutions de (E) sur I, est l'ensemble des fonctions de la forme : \textrm \large f(x)=Axe^{rx}+Be^{rx}.


\fbox{\textrm \blue \large f(x)=(Ax+B)e^{rx}}.


3) (e) admet deux solutions complexes conjuguées \textrm \large \lambda_1 et \textrm \large \lambda_2=\bar{\lambda_1}.

Là c'est marrant.
D'après la première propriété, on connaît deux fonctions solutions de (E) sur I.
Ce sont les fonctions définies par \textrm \large z_1(x)=e^{\lambda_1x} et \textrm \large z_2=e^{\lambda_2x}.
Ouaip, mais on va pas loin avec ca. Ce sont des fonctions à variables complexes, donc pour l'étude ... bof bof.
Posons \textrm \large \lambda_1=a+ib et \textrm \large \lambda_2=\overline{a+ib}=a-ib avec \textrm \large (a,b)\in\mathbb{R}^2
Par conséquent:
\textrm \large z_1(x)=e^{(a+ib)x} et \textrm \large z_2=e^{(a-ib)x}
Ou encore:
\textrm \large z_1(x)=e^{a}e^{ibx} et \textrm \large z_2=e^{a}e^{-ibx}.

Continuons :
Posons \textrm \large f_1=\frac{z_1+z_2}{2} et \textrm \large f_2=\frac{z_1-z_2}{2i}
Toujours pas le flash ?(regarde au dessous si non)

\white \textrm \large f_1(x)=e^{ax}cos(bx) et \white \textrm \large f_2(x)=e^{ax}sin(bx)

\textrm \large f_1 et \textrm \large f_2 sont bien deux solution linéairement indépendantes sur \textrm \large \mathbb{R}. De plus, ce sont aussi des solutions de (E). On a donc bien nos deux solutions.
On peut donc conclure, en disant que l'ensemble des fonctions {f} solutions de (E) sur I sont toutes les fonctions de la forme :

\fbox{\blue \textrm \large f(x)=e^{ax}(Acos(bx)+Bsin(bx))}


Traitons un exemple.
Pour le premier cas, et le deuxième, je te laisse faire.
Le troisième est plus intéressant.

Soit l'équation différentielle (E) suivante:
\textrm \large y''+y'+y=0 (E)
l'équation caractéristique associée à (E) est :
\textrm \large x^2+x+1=0 (e).

Résolvons (e).
\textrm \large \Delta=1^2-4=-3=(i\sqrt{3})^2
(e) admet donc deux solutions complexes \textrm \large x_1 et \textrm \large x_2=\overline{x_1}.
\textrm \large x_1=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2} et \textrm \large x_2=\overline{x_1}=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}.
\textrm \large Re(x_1)=\frac{-1}{2} et \textrm \large Im(x_1)=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Par conséquent, l'ensemble des solutions {f} de (E) sur \textrm \large \mathbb{R}, sont l'ensemble des fonctions de la forme:

\textrm \large \textrm \large f(x)=e^{\frac{-1}{2}x}(Acos(\frac{\sqrt{3}}{2}x)+Bsin(\frac{\sqrt{3}}{2})x)


A vérifier.

Ayoub.

Posté par
infophilere : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord 25-01-07 à 19:05

Salut Schumi !

Joli démonstration je te remercie

Par contre le truc qu'on admet bof bof

Posté par
1 Schumi 1re : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord 25-01-07 à 19:08

Quoi tu veux aussi la démo ?


Ayoub.

Posté par
1 Schumi 1re : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord 25-01-07 à 19:09

Demain je te le donnerai, là je dois y aller.

Posté par
infophilere : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord 25-01-07 à 19:21

Merci

Bonne soirée

Vraiment nickel ton post

Posté par
1 Schumi 1re : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord 26-01-07 à 12:22

Citation :
Vraiment nickel ton post


Je me suis inspiré des posts légendaires de Nightmare.


Ayoub.

Posté par
Skopsre : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord 26-06-07 à 18:42

Citation :
On admettra celle qui suit (en fait, c'est démontrable à notre niveau, mais c'est vachement long, et très très technique, donc j'admets, mais si tu veux ...):


Je veux

Dans ton exemple, je ne vois pas pourquoi 3$b=\frac{sqrt{3}}{2} alors que dans l'équation caractéristique b=1
Même chose pour a

Skops

Posté par
Skopsre : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord 26-06-07 à 18:43

Si quelqu'un veut latexifier la démo, qu'il ne se gêne surtout pas

Skops

Posté par
1 Schumi 1re : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord 26-06-07 à 19:41

Ton message est adressé à qui ?

Posté par
infophilere : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord 26-06-07 à 19:42

Ah un volontaire Skops

Posté par
1 Schumi 1re : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord 26-06-07 à 19:44

Skops >>

"a" et "b" ne représente pas les coeff de "x²+x+1" mais les parties réelles et imaginaires des racines.

Posté par
1 Schumi 1re : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord 26-06-07 à 20:11

Skops >>

Demain, je vais essayer de la poster ta démo. Mais je me suis trompé, c'est pas vraiment du niveau Terminale (c'est pour ça que je l'ai pas posté )


Ayoub.

Posté par
Skopsre : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord 26-06-07 à 20:25

1Schumi1 >> Ok pour a et b

C'est pas grave, poste la quand même

Skops

Posté par
Skopsre : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord 26-06-07 à 20:29

Et merci d'avance

Skops

Posté par
monrowre : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord 26-06-07 à 23:51

On a fait la démo cette année et oui c'est vrai... c'est long

mais elle est du niveau Tale

Posté par
infophilere : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord 27-06-07 à 00:02

Tssss oui mais vous voyez pleins de choses que nous on ne verra qu'en Sup

C'est pas cool

Posté par
monrowre : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord 27-06-07 à 00:14

RAPPEL

Soient f et g deux fonctions définies sur le même intervalle I.

On dit que deux fonctions f et g sont deux fonctions sont proportionnelles s'il existe un k de \mathbb{R} tel que pour tout x de I: g(x)=k.f(x)

Soient y_1 et y_2 deux solutions de l'équadiff (E)\quad y''+ay'+by=0. Et soient \alpha_1 et \alpha_2 deux nombres réels.

On peut montrer facilement que \alpha_1 y_1 + \alpha_2 y_2 est aussi une solution.

Donc, on peut conclure que toute combinaison linéaire de deux solutions de (E) est solution de (E).

Soient y_1 et y_2 deux solutions non proportionnelles de (E). Et soit y une solution de l'équadiff.

On montre que y est une combinaison linéaire des deux solutions y_1 et y_2. C'est-à-dire, il existe \alpha_1 et \alpha_2 tel que: y=\alpha_1 y_1 + \alpha_2 y_2

On a: y(x)=\alpha_1 y_1(x) + \alpha_2 y_2(x)

et: y'(x)=\alpha_1 y_1'(x) + \alpha_2 y_2'(x)

Pour déterminer: \alpha_1 et \alpha_2, il suffit de résoudre ce système: \{y(x)=\alpha_1 y_1(x) + \alpha_2 y_2(x)\\y'(x)=\alpha_1 y_1'(x) + \alpha_2 y_2'(x)

Le déterminant de ce système est: D(x)=y_1(x)y_2'(x)-y_1'(x)y_2(x)

On admet que D(x) est non nul donc le système a une seule solution: (\alpha_1,\alpha_2).

Résultat: Toute solution de (E) est une combinaison linéaire de deux solutions non proportionnelles de (E).

** On va résoudre l'équadiff (E)

On cherche des solutions du genre: y: x\to e^{rx} r est un réel.

y est solution de (E) équivaut: r^2e^{rx}+are^{rx}+be^{rx}=0

et puisque la fonction exponnentielle ne s'annule jamais

donc: r^2+ar+b=0

Donc si r est solution de: r^2+ar+b=0 donc: y: x\to e^{rx} est solution de (E)

Posté par
1 Schumi 1re : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord 27-06-07 à 09:23

Oui, ben c'est ca que j'allais posté.
En france, c'est pas au prog.

Posté par
monrowre : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord 27-06-07 à 20:45

Juste une petite remarque, j'ai fait une erreur de traduction

on dit pas fonctions proportionnelles mais fonctions associées

Posté par
1 Schumi 1re : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord 28-06-07 à 06:34

On dit aussi linéairement dépendantes.


Ayoub.

Posté par
1 Schumi 1re : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord 14-07-07 à 13:16

Una autre manière de voir les choses, c'est de démontrer que l'ensemble des solutions d'une équadiff du second ordre à coeff constants est un ev de dimension 2. Ca doit être marrant à démontrer, mais bon, perso, je vois pas trop comment on derait s'y prendre.
Qui s'y colle?


Ayoub.


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